第23章 一元二次方程检测题
（本检测题满分:120分，时间：120分钟）
一、（每小题2分，共24分）
1.下面关于 的方程：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．其中是一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2013•河南中考）方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
3．（2013•山东潍坊中考）已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ）
A.当 时，方程无解
B.当 时，方程有一个实数解
C.当 时，方程有两个相等的实数解
D.当 时，方程总有两个不相等的实数解
4.若 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．-2或3 D．2或-3
5.（2013•四川泸州中考）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6．（2013•安徽中考）目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发 放的资助金额的平均增长率为 ，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7.利华机械厂四月份生产零件50万个，若五、六月份平均每月的增长率是 ，则第二
季度共生产零件（ ）
A．100万个 B．160万个 C．180万个 D．182万个
8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 ，则平均每次降价的百分率
是（ ）
A. B. C. D.
9.关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．已知 分别是三角形的三边长，则方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
11.（2013•浙江丽水中考）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个 一元一次方程是 ，则另一个一元一次方程是（ ）
A. B. C. D.
12.（2013•兰州中考）用配方法解方程 时，配方后所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
二、题（每小题3分，共 18分）
13．（2013•天津中考）一元二次方程 的两个实数根中较大的根是 .
14．已知关于 的方程 的一个根是－1，则 _______．
15．（2013•兰州中考）若 ，且一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 .
16．若 是关于 的一元二次方程，则 的值是________．
17．若 且 ，则一元二次方程 必有一个定根，它是_______．
18．若长方形的长是 ，宽为 ，一个正方形的面积等于该长方形的面积，则正方形的边长 是_______．
三、解答题（共78分）
19.（10分）在实数范围内定义运算“ ”，其法则为： ，求方程（4 3） 的解．
20.（10分）求证：关于 的方程 有两个不相等的实数根．
21．（10分）在长为 ，宽为 的长方形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原 长方形面积的80％，求所截去的小正方形的边长.
22．（10分）若方程 的两根是 和 ，方程 的正根是 ，试判断以 为边长的三角形是否存在？若存在，求出它的面积； 若不存在，说明理由．
23.（10分）（2013•四川乐山中考）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ 的两边 的长是这 个方程的两个实数根，第三边 的长为5，当
是等腰三角形时，求 的值．
24．（14分）（2013•广东中考）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐 款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率.
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？
25．（14分）李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”．该城市的出租车收费标准按下表计算，请求出起步价 ．
里程（千米）
价格（元）
第23章 一元二次方程检测题参考答案
1.B 解析：方程①与 的取值有关；方程②经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程③是分式方程；方程④的二次项系数经过配方后可化为 ，不论 取何值，都不为0，所以方程④是一元二次方程；方程⑤不是整式方程，也可排除.故一元二次方程仅有2个．
2.D 解析：由 ，得 或 ，解得 .
3.C 解析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用.当 时，原方程变为一元一次方程 ，该方程的解是 ，故A项错误；当 时，原方程变为一元二次方程 ，方程有两个不相等的实数解： ，故B项错误；当 时，原方程为一元二次方程， ，方程总有两个实数解，当且仅当 时，方程有两个相等的实数解，故C项正确，D项错误.
4.C 解析：根据方程的特点可考虑用换元法求值.设 ，则原方程可化为
，解得 .
5.D 解析：因为一元二次方程 有两个不相等的实数根，所以 ，且 ，解得 且 .
6.B 解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为 ，得去年下半年发放给每个经济困难学生 元，今年上半年发放给每个经济困难学生 元.根据关键语句“今年上半年发放了438元”可得方程 .
7.D 解析：五月份生产零件 （万个），六月份生产零件 （万个）， 所以第二季度共生产零件 （万个），故选D．
8.A 解析：设平均每次降价的百分率为 ，由题意得 ，所以 ，所以 （舍去）， ，所以平均每次降价的百分率为
9.A 解析：因为
所以方程有两个不相等的实数根.
10.A 解析：因为 ，
又因为 分别是三角形的三边长，所以 ，
所以 ，所以方程没有实数根.
11.D 解析：将 两边开平方，得 ，则另一个一元一次方程是 ，故选D.
12.D 解析：移项，得 .配方，得 ，即 ，故选D.
13. 解析：方程的两根是 ，所以较大的根是 .
14. 解析：把 代入方程，得 ，则 ，所以 ．
15. 且 解析：因为 ， ，又 ，
所以 ， ，即 ， ，所以 ， ，
所以一元二次方程 变为 .
因为 有实数根，所以 ，解得 .
又因为 ，所以 且 .
16.-3或1 解析：由 得 或 ．
17.1 解析：由 ，得 ，原方程可化为 ，
解得 ．所以一元二次方程 的一个定根为1.
18. c 解析：设正方形的边长为 c，则 ，解得 ，由于边长不能为负，所以 舍去，故正方形的边长为 c．
19.解：∵ ，∴ ．
∴ ．∴ ．∴ ．
20.证明：∵ 恒成立，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
21.解：设小正方形的边长为 .
由题意，得 ，
整理，得 解得
所以截去的小正方形的边长为 .
22.解：不存在.理由：解方程 ，得 ．
方程 的两根是 ．
所以 的值分别是 ．
因为 ，所以以 为边长的三角形不存在．
23．（1）证明：∵ ，
∴ 方程有两个不相等的实数根.
（2）解：一元二次方程 的解为 ，
即 .
当 ，且 时，△ 是等腰三角形，则 ；
当 ，且 时，△ 是等腰三角形，则 ，解得 .
所以 的值为5或4．
24.解：（1）设捐款增长率为 ，根据题意列方程，得 ，
解得 （不合题意，舍去）.
答：捐款增长率为10%．
（2） （元）．
答：第四天该单位能收到 元捐款．
25.解：依题意，得 ，
整理，得 ，解得 .
由于 ，所以 舍去，所以 ．
答：起步价是10元．
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