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单元检测六 图形变换
(时间：120分钟 总分：120分)
一、(每小题3分， 共30分)
1．下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°.将直角梯形ABCD绕边AD旋转一周，所得几何体的俯视图是( )
3．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 ( )
A．(－a，－2b) B．(－2a，b) C．(－2a，－2b) D．(－2b，－2a)
4．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下( )
A．小明的影子比小强的影子长 B．小明的影子比小强的影子短
C．小明的影子和小强的影子一样长 D．无法判断谁的影子长
5．如图是由4个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形不可能是( )
6．将一个正方形纸片依次按图a，图b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，最后将图d中的纸再展开铺平，所看到的图案是( )
7．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的( )
A．F B．G C．H D．K
8．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点G，F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE＝2 cm，则AC的长为( )
A．33 cm B．4 cm C．23 cm D．25 cm
9．在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图)，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是( )
A．AB2＝BC•BD B．AB2＝AC•BD C．AB•AD＝BD•BC D．AB•AD＝AD•CD
二、题(每小题3分，共24分)
11．在直角坐标系中，已知点P(－3,2)，点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位长度得 到点R，则点R的坐标是__________．
12．小明、小辉两家所在位置关于学校中心对称，如果小明家距学校2千米，那么他们两家相距________千米．
13．下图是某几何体的三视图及相关 数据，则该几何体的侧面积是__________．
14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝__________.
15．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB．若OC∶OA＝1∶2 ，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝__________mm.
16．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有__________．
①∠A＋∠B＝90° ②AB2＝AC2＋BC2 ③ACAB＝CDBD ④CD2＝AD•BD
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4.以斜边AB的中点D为旋转中心，把△ABC按逆时针方向旋转α角(0°＜α＜120°)，当点A的对应点与点C重合时，B，C两点的对应点分别记为E，F，EF与AB的交点为G，此时α＝________°，△DEG的面积为____．
18．太阳光线与地面成60°角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是103 cm，则皮球的直径是__________．
三、解答题(共66分)
19．(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知点B(4,2)，BA⊥x轴于A．
(1)将点B绕原点逆时针方向旋转90°后得到点C，求点C的坐标；
(2)将△OAB平移得到△O′A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点B′的坐标为(2，－2)，在坐标系中作出△O′A′B′，并写出点O′，A′的坐标．
20．(6分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)．
21．(8分)如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
22．(8分)如图，先把一矩形纸片ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.
(1)求证：△PBE∽△QAB；
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由．
(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？
23. (9分)如图，在3 ×3的正方形网格中，每个网格都有三个小正方形被涂黑．
(1)在图1中将一个空白部分的小正方形涂黑，使其余空白部分是轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)在图2中将两个空白部分的小正方形涂黑，使其余空白部分是中心对称图形但不是轴对称图形．
24. (9分)如图，△ABC中，A(-2,3)，B(-3,1)，C(-1,2)．
(1)将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
(3)将△AB C绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3.
25．(10分)观察发现
如(a)图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP＋BP的值最小．
作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P.
再如(b)图，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小．
(1)作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为__________．
(2)实践运用
如(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．
(3)拓展延伸
如(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上 找一点P，使∠APB＝∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
26．(10分)在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，∠B＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB，B C或其延长线于E，F两点，如图1与图2是旋转三角板所得图形的两种情况．
(1)三角板绕点O旋转，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况(即给出△OFC是等腰直角三角形时的BF的长)，若不能，请说明理由．
(2)三角板绕点O旋转，线段OE与OF之间有什么数量关系？用图1或图2加以证明．
(3)若将三角板的直角顶点放在斜边的点P处(如图3)，当AP∶AC＝1∶4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你的结论．
参考答案
一、1.C 2.D 3.C
4．D 灯光下的影子是中心投影，影子应在物体背对灯光的一面，小强和小明的影子大小还与他们离灯光的远近位置有关．
5．C 6.D
7．C 因为△DEM∽△ABC，所以相似比DEAB＝24＝12.
当点M在H点时，DMAC＝36＝12.
8．D
9．C 在第1行从左向右第3个小正方形涂上阴影，第3行第1个小正方形涂上阴影或第4个小正方形涂上阴影都可形成轴对称图形．
10．A
二、11.(1，－2) 点Q是点P关于x轴的对称点，
则Q(－3，－2)，再向右平移4个单位，纵坐标不变，横坐标加上4得－3＋4＝1，即R(1，－2)．
12．4
13.πac2 14.18
15．2.5 由△OCD∽△OAB，得CDAB＝OCOA＝12.
∴AB＝2CD＝20.∴x＝(25－20)÷2＝2.5(mm)．
16．①②④ 17.60 32 18.15 cm
三、19.解：(1)如图，由旋转，可知CD＝BA＝2，OD＝OA＝4，
∴点C的坐标是(－2,4)．
(2)△O′A′B′如图所示，O′(－2，－4)，A′(2，－4)．
20．解：(1)△ABC和△DEF相似．
理由：根据勾股定理， 得AB＝25，AC＝5，BC＝5，DE＝42，DF＝22，EF＝210，
∴ABDE＝ACDF＝BCEF＝522.∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任 意2个均可．
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P 5D，△P2P4P5，△P1FD.
21．解：(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF.
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，
又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.
∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°.
又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，
∴四边形AEGF是正方形．
(2)设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x，
∵BD＝2，DC＝3，∴BE＝2，CF＝3.
∴BG＝x－2，CG＝x－3.
在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2，
∴(x－2)2＋(x－3)2＝52，
化简得x2－5x－6＝0，解得x1＝6，x2＝－1(舍)．
∴AD＝x＝6.
22．解：(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝180°－90°＝90°，
∠PBE＋∠PEB＝90°，∴∠ABQ＝∠PEB.
又∵∠BPE＝∠AQB＝90°，∴△PBE∽△QAB.
(2)相似．∵△PBE∽△QAB，∴BEAB＝PEBQ.
∵BQ＝PB，∴BEAB＝PEPB，即BEEP＝ABPB.
又∵∠ABE＝∠BPE＝90°，∴△PBE∽△BAE.
(3)点A能叠在直线EC上．
由(2)得，∠AEB＝∠CEB，∴EC和折痕AE重合．
23．解：(1)
(2)
(答案不唯一，正确即可)
24．解：
25．解：(1)3.
(2)作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，连接OA′，AA′.
∵点A与A′关于CD对称，∠AOD的度数为60°，
∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′.
∵点B是AD的中点，
∴∠BOD＝30°.
∴∠A′OB＝∠A′OD＋∠BOD＝90°.
又∵OB＝OA′＝2，
∴A′B＝22.
∴PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B＝22.
(3)找点B关于AC的对称点B′，连接DB′并延长交AC于P即可．
26．解：(1)△OFC能成为等腰直角三角形，包括：
当F在BC中点时，CF＝OF，BF＝52；
当B与F重合时，OF＝OC，BF＝0.
(2)如图1，连接OB，则对于△OEB和△OFC有OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，
∵∠EOB＋∠BOF＝∠BOF＋∠COF＝90°，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△OEB≌△OFC，
∴OE＝OF.
(3)如图2，过P点作PM⊥AB，垂足为M，作PN⊥BC，垂足 为N，则
∵∠EPM＋∠EPN＝∠EPN＋∠FPN＝90°，
∴∠EPM＝∠FPN.
又∵∠EMP＝∠FNP＝90°，
∴△PME∽△PNF，
∴PM∶PN＝PE∶PF.
∵Rt△AMP和Rt△PNC均为等腰直角三角形，
∴△APM∽△PCN，∴PM∶PN＝AP∶PC.
又∵PA∶AC＝1∶4，∴PE∶PF＝1∶3.
5 Y
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