丰台区2013~2014学年度第一学期期末练习
初三数学
一、（本题共36分,每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1. 已知 ,则下列比例式成立的是( )
A． B. C. D.
2．如图，在 中， 、 分别是 、 边上的点，且 ，如果 ,那么 的值为( )
A． B. C. D.
3. 已知⊙ 的半径为4 c，如果圆心 到直线l的距离为3.5 c，那么直线l与⊙ 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
4. 一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字不小于3的概率是( )
A． B． C． D.
5. 在小正方形组成的网格图中，直角三角形的位置如图所示，则 的值为（ ） B. C. D.
6. 当 时，函数 的图象在( )
A．第四象限 B. 第三象限 C．第二象限 D．第一象限
7. 如图，⊙ 的半径为5， 为弦， ，垂足为 ，如果 ，那么 的长是（ ）
A．4 B. 6 C. 8 D. 10
8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过平移得到抛物线 ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( )
A．2 B. 4 C. 8 D. 16
9. 如图（1）， 为矩形 边 上一点，点 从点 沿折线 运动到点 时停止，点 从点 沿 运动到点 时停止，它们运动的速度都是 .如果点 、 同时开始运动，设运动时间为 ， 的面积为 ，已知 与 的函数关系的图象如图（2）所示，那么下列结论正确的是（ ）
A.
B. 时，
C.
D. 当 时， 是等腰三角形
二．题（本题共20分,每小题4分）
10. 两个相似三角形的面积比是 ，则它们的周长比是_______.
11. 在 中， ，如果 ，那么 _______°.
12. 如果扇形的圆心角为120°，半径为3c，那么扇形的面积是__________________ .
13. 一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的.从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子颜色不同的概率是_______.
14. 如图，点A1、A2 、A3 、…，点B1、B2 、B3 、…，分别在射线O、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A 4=4OA1，…．
那么A2B2= ，
AnBn= ．（n为正整数）

三、解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题 5分，第18题5分）
15. 计算： .
16. 已知二次函数 .
（1）写出它的顶点坐标；
（2）当 取何值时， 随 的增大而增大；
（3）求出图象与 轴的交点坐标.
17．如图，在⊙ 中， ? 为⊙ 上两点， 是⊙ 的直径，已知 ， .
求（1）⌒AC 的长； （2） .

18.如图，在 中， ， ， 为 上一点， ， ，求 的长.

四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分）
19. 如图， ? 是⊙ 的切线， ? 是切点， 是⊙ 的直径， .求 的度数.

20. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数，且 ）的图象都经过点 .
（1）求点 的坐标及反比例函数的解析式；
（2）观察图象，当 时，直接写出 与 的大小关系.
21. 如图， 是⊙ 的内接三角形，⊙ 的直径 交 于点 ， 与点 ，延长 交 于点 . 求证： .

五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
22．如图，一艘海轮位于灯塔 的南偏东 方向，距离灯塔100海里的 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔 的北偏东 方向上的 处.
（参考数据： ）
（1）问 处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）
（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线 上，距离灯塔190海里的点O处.圆形暗礁区域的半径为50海里，进入这个区域，就有触礁的危险.请判断海轮到达 处是否有触礁的危险，并说明理由.

23.如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1，拱桥的跨度为10，桥洞与水面的最大距离是5，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．
求（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯 、 之间的水平距离.

24. 已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线 经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 已知 和 关于直线 对称(点 的对称点是点 )，点 、 分别是线段 和线段 上的点，且点 在线段 的垂直平分线上，联结 、 ， 交 于点 ．
（1）如图（1），求证： ；
（2）如图（2），当 时， 是线段 上一点，联结 、 、 ， 的延 长线交 于点 ， ， ，试探究线段 和 之间的数量关系，并证明你的结论．

丰台区2013~2014学年度第一学期初三数学练习期末参考答案
一．（本题共36分,每小题4分）
题号123456789
答案
二．题（本题共20分,每小题4分）
10. 11. 12. 13. 14. （1） 6 ，（2）
三．解答题（本题共19分，第15题4分，第16题5分，第17题 5分，第18题5分）
15.解：原式 ………3分 16.解：（1）（-1，-2） ……………………1分
（2） ， ……………………3分
……………4分 （3）坐标为 …5分
17．解（1）
∴⌒AC = ………………………………1分
(或 ) ……………2分
（2）由
得 …………………………………3分
又 ……………………………4分
…………………………5分
18. 解：在 中， ， ，
∴
∴ …………………………………1分
在 中， ，∴ ，……2分
∴ ……………………………………3分
∴ …………………4分
∴ ……………………………5分
四、解答题（本题共17分，第19题5分，第20题6分，第21题6分）
19.解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，
∴PA=PB，∠PAC=900 …………………2分
∴∠PAB=∠PBA …………………………3分
∠P=1800-2∠PAB
又∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=900 ，……………………………4分
∴∠BAC=900-∠ACB=200
∠PAB=900-200=700
∴ ……………5分

20.解：(1)∵ 一次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ．
解得 ． ………………………………………………………1分
∴ 点 的坐标为 ， ．………………………………………2分
∵ 反比例函数 的图象经过点 ， ，
∴ ．解得 ． …………………………………………3分
∴ 反比例函数的表达式为 ．………………………………4分
(2)观察图象，得
①当 时， ；………………………5分
②当 时， ；………………………………6分
③当 时， ．
注：若①+③或②+③，只给1分。
21.证明：延长AF交圆于H…………………………1分
∵BD直径， 于点F
∴⌒AB =⌒BH ……………………………2分
∴∠1=∠C ………………………………3分
又∠ABG=∠ABC ，
∴△ABG∽△CBA ………………………4分
∴ ………………………………5分
∴ =BG•BC …………………………6分
五．解答题（本题共28分，第22题6分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
22.解：(1)如图，作 于点C…………………1分
在 中， ，
∴PC=PA•cos30= …………………2分
在 中， ，
≈122.5………………………3分
∴B处距离P有122.5海里.
（2）没有危险. …………………………………………………4分
理由如下：
OB=OP-PB= ……………………………………5分
= ，…………………6分
即 ，∴无危险
23． 解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1）………1分
设抛物线的解析式是y=a(x－5)2＋5 ………………………………2分
把（0，1）代入y=a(x－5)2＋5得a=－ ………………………3分
∴y=－ (x－5)2＋5（0≤x≤10）= ………………4分
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4
∴4=－ (x－5)2＋5 ……………………………………………………5分
∴ (x－5)2=1 ，解得x1= ，x2= ………………………………6分
∴ 两景观灯间的距离为5米． ……………………………………………7分
24．解：（1）∵ 直线y=kx-3过点A（4，0），∴ 0 = 4k -3，解得k= ．
∴ 直线的解析式为 y= x-3．……………………………………1分
由直线y= x-3与y轴交于点C，可知C(0，-3) ．
∴ ，解得 = ．
∴ 抛物线解析式为 ………………………2分
（2）对于抛物线 ，
令y=0，则 ，解得x1=1，x2=4．
∴ B(1，0). ………………………………………………3分
∴ AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t.
①若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC（如图1），
∴ △AP1Q1∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t= ； ………4分
② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC，∴ △AP2Q2∽△AOC.
∴ , ∴ ．解得t= ； ………………5分
综上所述，当t的值为 或 时，以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似．
（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）.
∴ S△ADF= DF•AE，S△CDF= DF•OE．
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF= DF×(AE+OE) = ×4 (DE+EF)
=2×( )= ．…………6分
∴ S△ACD= （0<x<4）．
又0<2<4且二次项系数 ，∴ 当x=2时，S△ACD的面积最大．
而当x=2时，y= ．∴ 满足条件的D点坐标为D (2, )． …………………7分
25. (1)证明：如图1 连接FE、FC
∵点F在线段EC的垂直平分线上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称．
∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF
∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分 图1
∴∠5=∠6，
∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600
∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分
又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ，
∴∠5+∠6=∠3+∠4
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分

(2)解：F= FN ……………………………………………5分
证明：如图2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
又∵∠BF= ∠BAF，∴∠BF= ∠AGF
又∵∠AGF=∠BG+∠BG∴∠BG=∠BG
∴BG=G…………………………6分
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．

∵AF= AD 图2
设GF=2a，则AG=3a，
∴GD= a，∴FD=DG-GF= = a
∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.
∴ ．∴ ，设EG=2k，则G=BG=3k
过点F作FQ∥ED交AE于Q，
……………………7分
∴GQ= EG= ．∴QE= ， Q=G+GQ=3k+ =
∵FQ∥ED， .∴F= FN……………8分

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