第五章　图形的相似与解直角三角形
第一节　图形的相似与位似
河北五年中考命题规律
年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分
2018 15 相似三角形判定 从一个三角形纸片剪下一个三角形，判定与原三角形相似条件 2 11
 23 位似图形的性质 利用位似图形的性质证线段的数量和位置关系 9 
2018年 13 相似三角形、相似多边形的判定 根据已知方式变换后得到新图形，判定两个图形是否相似 3 3
2018年 11 相似三角形的判定及性质 以菱形为背景，利用菱形的性质及相似三角形的判定及性质求线段长度 3 3
2017、2018年均未考查
命题规律 纵观河北近五年中考，本考点共考查了4次，题型有选择题、解答题，分值2～11分，难度中偏下，基础题为主，其中相似三角形的判定和性质考查了3次，相似多边形考查了1次(选择题).
 
河北五年中考真题及模拟
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

 　图形相似的判定及性质
 
1．(2018河北中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　C　)
 ,A)　 ,B)　 ,C)　　　 ,D)
2．(2018年河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似. 图①
 
图②
乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(　A　)
A．两人都对  B．两人都不对
C．甲对，乙不对  D．甲不对，乙对
 　图形的位似
3．(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是(　D　)
 
A．点M  B．点N  C．点O  D．点P
4．(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是(　A　)
 
A．87°  B．60°  C．75°  D．120°

 
5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是(　D　)
①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．
A．4  B．2  C．1  D．3
6．(2018沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(　A　)
A．5∶8  B．3∶8
C．3∶5  D．2∶5

7．(2018石家庄二十八中一模)如图，在 ▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线 于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC 的周长为(　D　)
A．11  B．10  C．9  D．8
8．(2018保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作(　C　)
A．2条  B．3条
C．4条  D．6条
 
9．(2018邯郸一模)如图，在正方形ABCD 中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为(　D　)
A．4  B．2
C．5  D．3
10．(2018保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是(　D　)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
11．(2018石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.
(1)求证：AC＝AD＋CE；
(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求DPPQ的值．
 
解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB⊥BE，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠EBC＝90°.
∴∠ADB＝∠EBC.
又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE(ASA)，
∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；
(2)过点Q作QH⊥BC于点H.
则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，
∴ADHP＝APHQ，BHBC＝QHEC.
设AP＝x，QH＝y，则有BH3＝y5，
∴BH＝3y5，PH＝3y5＋5－x，
∴33y5＋5－x＝xy，即(x－5)•(3y－5x)＝0.
又点P不与A，B重合，
∴x≠5，即x－5≠0.
∴3y－5x＝0，即3y＝5x.
∴DPPQ＝xy＝35.

12．(2018河北中考)如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．
 
(1)AE和ED的数量关系为________；
AE和ED的位置关系为________；
(2)在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是B C所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③.
①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：GH＝HD，GH⊥HD.
②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.(用含k的代数式表示)
解：(1)AE＝ED；AE⊥ED；
(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°，
AB＝BE＝EC＝DC.
∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，
∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝12AB，EF＝12EB，
∴∠GFE＝∠C.
∵H是EC的中点，
∴EH＝HC＝12EC，
∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝12EB＋12EC＝12BC＝EC＝CD，
∴△HGF≌△DHC.
∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.
∵∠HDC＋∠DHC＝90°，
∴∠GHF＋∠DHC＝90°.
∴∠GHD＝90°，∴GH⊥HD；
②∵GH＝HD，GH⊥HD，
∴∠FHG＋∠DHC＝90°.
∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC.
在△FGH和△CHD中，
∠FGH＝∠CHD，∠GFH＝∠HCD，GH＝HD，
∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.
∵EF＝FG，∴EF＝CH.
∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，
∴BE＝EC＝1，
∴EF＝k，∴CH的长为k.
 
 ,中考考点清单)

 　比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．
2．比例中项：如果ab＝bc，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质

性质 内容
性质1 ab＝cd⇔__ad__＝bc(a，b，c，d≠0)．

性质2 如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.

性质3 如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，则a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝__mn(不唯一)__.

4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使ACAB＝__BCAC__，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．
 　相似三角形的判定及性质
5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
6．性质：
(1)相似三角形的__对应角__相等；
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；
(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．
7．判定：
(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；
(3)三边__对应成比例__，两三角形相似；
(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；
 (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]；
(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．
如：ABBC＝DEEF，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．

 　相似多边形
8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
9．性质：
(1)相似多边形的对应边__成比例__；
(2)相似多边形的对应角__相等__；
(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．
 　位似图形
10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．
11．性质：
(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的 比等于__k或－k__；
(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．
12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．
13．画位似图形的步骤：
(1)确定__位似中心__；
(2)确定原图形的关键点；
(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；
(4)作出原图形中各关键点的对应点；
(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

  ,中考重难点突破)
 　比例的性质
【例1】已知a5＝b4＝c3，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为________．
【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．
【答案】－6
 
1．(2018年沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则2x＋yz－y的值是(　A　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．－5  B．－103  C.103  D．5
 　相似三角形的判定与性质
【例2】(茂名中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3 cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2 cm的速度向点B运动，运动时间为t s0<t<103，连接MN.
(1)如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值；
(2)如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
 
【解析】(1)△BMN与△ABC相似，分两种情况：△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；(2)过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值．
【答案】解：(1)由题意知BA＝62＋82＝10(cm)，BM＝3t cm，CN＝2t cm，
∴BN＝(8－2t)cm.
①当△BMN∽△BAC时，有BMBA＝BNBC，
∴3t10＝8－2t8，解得t＝2011；
②当△BMN∽△BCA时，有BMBC＝BNBA，
∴3t8＝8－2t10，解得t＝3223.
∴当△B MN与△ABC相似时，t的值为2011或3223；
(2)如图②，过点M作MD⊥CB于点D.
由题意得BM＝3t cm，CN＝2t cm，
DM＝BM•s inB＝3t•610＝95t(cm)，
BD＝BM•cosB＝3t•810＝125t(cm)，
∴CD＝8－125tcm.
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，
∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD.
∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，
∴△CAN∽△DCM.∴ACCD＝CNDM，
∴68－125t＝2t95t，解得t＝1312.

 
2．如图，不等 长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是(　B　)
 
A．甲、丙相似，乙、丁相似
B．甲、丙相似，乙、丁不相似
C．甲、丙不相似，乙、丁相似
D．甲、丙不相似，乙、丁不相似
3．(自贡中考)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：DE?12BC.
 
证明：∵D是AB的中点，E是AC的中点，
∴ADAB＝12，AEAC＝12，
∴ADAB＝AEAC.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
∴ADAB＝DEBC＝12，∠ADE＝∠B，
∴BC＝2DE，BC∥DE，
即DE?12BC.
 　位似图形
 
【例3】(2018承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是(　D　)
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(3，－2)或(－2，3)
D．(－2，3)或(2，－3)
【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.
【答案】D
 
4．(2018沧州八中二模)如图， △OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为(　B　)
 
A．(1，2)
B．(1，1)
C．(2，2)
D．(2，1)
 

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