知识技能目标
1.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系 的探索,提高自主学习和对知识综合应用的能力.
2.让学生用简单的已知函数来拟合实际问题中变量的函数关系.
过程性目标
1.让学生在探索过程中,体会“问题情境― 建立模型―解释应用―回顾拓展”这一数学建模的基本思想,感受 函数知 识的应用价值;
2.让学生结合自身的生活经历, 模仿尝试解决一些身边的函数应用问题.
过程
一、创设情境
问题 为了研究某 合金材料的体积V(cm3)随温度t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下:
能否据此求出V和t的函数关系?
将这些数值所对应的点在坐标系中作出.我们发现,这些点大致位于一 条直线上,可知V和t近似地符合一次函数关系.我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合,求出近似的函数关系式.如下图所示的就是一条这样的直线,较近似的点应该是(10,1000.3)和(60,1002.3).
设V=kt+b(k≠0),把(10,1000.3)和(60,1002.3)代入,可得k=0 .04,b=999.7. V=0.04t+999.7.
你也可以将直线稍稍挪动一下,不取这两点,换上更适当的两点.
二、探究归纳
我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式.但是现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们是什么 函数,需要我们根据经验分析,也需要进行近似计算和修正,建立比较接近的函数关系式进行研究.
三、实践应用
例1 为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明对学校所 添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度,得到如下数据:
(1)小明经过对数据探究,发现:桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式(不要求写出 x的取值范围);
(2)小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为77cm,凳子的高度为43.5cm,请你判断它们是否配套?说明理由.
解 (1)设一次函数为y=kx +b(k≠0 ),将表中数据任取两组,不妨取(37.0,70.0)和(42.0,78.0)代入,得
解得
一次函数关系式是y=1.6x+10.8.
(2)当x=43.5时,y=1.6×43.5+10.8=8 0.4≠77.[
答 一次函数关系式是y=1.6x+10.8,小明家里的写字台和凳子不配套.
例2 某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上(含3000千克)的有两种销售方案,甲方案:每千克 9元,由基地送货上门;乙方案:每千克8元,由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.
(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果量x(千克)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由.
解 (1) ;
.
(2)当 ,即9x=8x+5000时,
解得x=5000.
所以当x=5000时,两种付款一样;
解得3000≤x<5000.
所以当3000≤x<5000时,选择甲方案付款最少;
.
解得x>5000.
所以当x>5000时,选择乙方案付款最少.
四、交 流反思
1.现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们是什么函数,需要我们根据 经验分析,也需要进行近似计算和修正,建立比较接近的函数关系式进行研究;
2.把实际问题数学化,运用数学的方法进行分 析和研究,是常用的、有效的一种方法.
五、检测反馈
1.酒精的体积随温度的升高而增大,在一定范围内近似于一次函 数关系.现测得一定量的酒精在0℃时的体积是5.250升,在40℃时的体积是5.481升.求出其函数关系式,又问这些酒精在10℃和30 ℃时的体积各是多少?
2.分别写出下列函数的关系式,指出是哪种函数,并确定其中自变量的取值范围.
(1)在时速为60km的运动中,路程 s关于运动时间t的函数关系式;
( 2)某校要在校园中辟出一块面积为84m2的长方形土地做花圃,这个花圃的长y(m)关于宽x(m)的函数关系式;
(3)已知定活两便储蓄的月利率是0.0675%,国家 规定,取款时,利息部分要交纳20%的利息税,如果某人存入2万元,取款时实际领到的金额y(元)与存入月数x的函数关系式.
3. 如图,温度计上表示了摄 氏温度(℃)与华氏温度(?)的刻度.能否用一个函数关系式来表示摄氏温度y(℃)和华氏温度x(?)的关系?如果气温是摄氏32度,那相当于华氏多少度?
4.小亮家最近购买了一套住房.准备在装修时用木质地板铺设居室,用 瓷砖铺设客厅.经市场调查得知:用这两种材料铺设地面的工钱不一样.小亮根据地面的面积,对铺设居室和客厅的费用(购买材料费和工钱)分别做了预算, 通过列表,并用x(m2)表示铺 设地面的面积,用y(元)表示铺设费用,制成下图.请你根据图中所提供的信息,解答下列问题:
(1)预算中铺设居室的费用为 元/ m2,铺设客厅的费用为 元/ m2;
(2)表示铺设居室的费用y(元)与面积x(m2)之间的函数关系式为 ,表示铺设客厅的费用y(元)与面积x(m2)之间的函数关系式为 ;
(3)已知在小亮的预算中,铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元;购买1m2的瓷砖是购买1m2的木质地板费用的 .那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少?购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少?
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