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第七章 平行线的证明
7.1为什么要证明、7.2定义与命题
专题 推理在实际中的应用
1．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”
甲说:“是乙不小心闯的祸.”
乙说:“是丙闯的祸.”
丙说:“乙说的不是实话.”
丁说:“反正不是我闯的祸.”
如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的祸( )
A.甲 B. 乙 C.丙 D.丁

2．如图，在一条街道的两边各有1排房子，每排都有5间，如果标号为G的房子被涂成灰色，要求每一排中相邻的房子不能同色，两排中直接相对的房子也不能是同种颜色，则剩下的7间房子中有__________间的颜色不能被涂成灰色．

3．在元旦晚会上，学校组织了一次关于语文、数学、外语、奥运及日常生活常识的知识竞赛，设定满分40分，往下依次为30分、20分、10分和0分共五个评分等级．每个小组分别回答这五个方面的问题，现将A、B、C、D、E五个小组的部分得分列表如下：
语文数学外语常识奥运总分名次
A组 180l
B组 2
C组 3
D组 30 4
E组40 20 5
表中（1）每一竖行的得分均不相同（包括单科和总分），（2）C组有4个方面得分相同．
求：B、C、D、E组的总分并填表进行检验．

答案：
1．D 【解析】 本题可分三种情况进行讨论：
①若甲真，则乙假，丙真，丁真，这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符；
②若甲假，乙真，则丙假，丁真，这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符；
③若甲假，乙假，则丙真，丁假，这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件．
由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁．故选D．
2．6 【解析】 第一排未涂颜色的三间房子，均与标号为G的房子相邻，所以均不能被涂成灰色;第二排从左向右数，第一间房子与标号为G的房子相对，所以不能被涂成灰色,第二、四间房子与标号为G的房子相邻，所以不能被涂成灰色,只有第五间房子既不与标号为G的房子相邻也不相对，可以被涂成灰色．所以剩下的7间房子中有6间的颜色不能被除数涂成灰色．
3．解：由表格知：E组的总分 ≥6O．
五个组的总分为：5×（1O+20+3O+40）=500（分）.
若 =7O，又每一竖行得分不相同，则5组的总分之和≥70+8O+90+100+18O=520≥500，
矛盾， =60．
同理， =7O分．
故 =60分， =70分， =80分， =11O分，
或 =60分， =7O分， =9O分， =1OO分．
填表对这两种情况分别给予检验（见下表）:
语文数学外语常识奥运总分名次
A组304O4O4O3O18O1
B组O1O303O4011O2
C组2O2O20O20803
D组1O3O101O1O7O4
E组4OOO20O6O5

语文数学外语常识奥运总分名次
A组30404O4O301801
B组1O1O1O3O401OO2
C组2O2O2O1O209O3
D组03O3OO1O7O4
E组40OO200605

7.3平行线的判定
专题 平行线的判定的实际应用
1．如图，台球运动中，如果母球P击中边点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹．那么母球P经过的路线BC与PA一定平行．请说明理由．

2．小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求
AB∥CD，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB与CD肯定是平行的，你知道什么原因吗？

3．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度 假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．
（1）求道路CD与CB的夹角；
（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；
（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．

答案：
1．解：∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE，
∴∠PAB=180°-2∠BAE．
同理，∠ABC=180°-2∠ABE．
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠PAB+∠ABC=360°-2（∠BAE+∠ABE）=180°．
∴BC∥PA．
2．解：AB与CD平行．
理由是：延长AE交DC于M，
∵∠AED=90°，∠EDC=55°，
∴∠AMD=∠AED-∠EDC=35°，
∵∠BAE=35°，
∴∠BAE=∠AMD，
∴AB∥DC．

3．解：（1）如图所示，过C作CM⊥CD交AB与M，则∠DCM=90°，∠MCB=30°，
∴CD与CB的夹角为90°+30°=120°；
（2）环湖路的长=AB+BC-CD=3km；
（3）不能判定DC∥AB．
加上的条件可以是：CA平分∠DCB．
证明：∵AB=AC，
∴∠CAB=∠ACB，
∵CA平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴DC∥AB．

7.4平行线的性质
专题 与平行线有关的探究题
1．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）

2．利用平行线的性质探究：
如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；
（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．

答案：
1．解：如图：

（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；
证明：过点P作AB∥PF，
∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF，
∴ （两直线平行，内错角相等）,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD．
（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；
（4）∠PCD=∠PAB+∠APC.
2．解：（1）如图，当动点P落在第②部分时,∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；

（2）当动点P落在第③部分时, ∠PAC=∠APB+∠PBD；
当动点P落在第○4部分时，∠PAC =∠APB+∠PBD．
证明：如图，∵∠PAC=∠AEB，
∠AEB=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC= ∠APB +∠PBD．

7.5三角形内角和定理
专题 与三角形内角和外角有关的探究题
1．如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；
（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有
无变化？说明你的结论的正确性；
（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．

2．认真下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+ ,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

探究2：如图2,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由.
探究3：如图3，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与
∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
答案：
1．解：（1）如图，连接CD．

在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°．
∵∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB=∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB=180°.
（2）无变化．
根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°．
∵∠BAC=∠C+∠E，∠EAD=∠B+∠D，
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°；
（3）无变化．
∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，
∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°．

2．解：（1）探究2的结论：∠BOC= .
理由如下：
∵ BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线,所以

（2）探究3的结论：∠BOC=90°－

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