江苏省南通市通北片2012-2013学年八年级（下）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、：（每小题2分，共20分）
1．（2分）若分式 有意义，则x的取值范围是（　　）
　A．x≠2B．x≠?2C．x＞?2D．x＞2

考点：分式有意义的条件．.
分析：分式有意义的条件是分母不为0，
解答：解：分式有意义，则x?2≠0，
∴x≠2．
故选A．
点评：本题比较简单，考查了分式有意义的条件：分母不能为0．
　
2．（2分）在式子 ， ， ， + ， 中，分式的个数是（　　）
　A．5B．4C．3D．2

考点：分式的定义．.
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
解答：解： ， + 的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
， ， 分母中含有字母，因此是分式．
故选C．
点评：本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
　
3．（2分）下列函数是反比例函数的是（　　）
　A．y= B．y= C．y= D．y=

考点：反比例函数的定义．.
分析：此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y= （k≠0）的形式为反比例函数．
解答：解：A、y= 是正比例函数，错误；
B、y= 是反比例函数，正确；
C、y= 不符合反比例函数的定义，错误；
D、y= 不符合反比例函数的定义，错误．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式 （k≠0）．
　
4．（2分）现修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，征集到设计方案有平行四边形、正三角形、等腰三角形、矩形、菱形、正方形等图案，你认为符合条件的有（　　）
　A．3个B．4个C．5个D．6个

考点：中心对称图形；轴对称图形．.
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念并分析各图形的特征求解．
解答：解：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
正三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；
正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；
综上可得符合条件的有3个．
故选A．
点评：本题考查了轴对称及中心对称的知识，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
　
5．（2分）如果把分式 中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（　　）
　A．扩大3倍B．不变C．缩小3倍D．扩大2倍

考点：分式的基本性质．.
分析：依题意，分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解答：解：分别用3x和3y去代换原分式中的x和y，
得 = = ，
可见新分式与原分式相等．
故选B．
点评：解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．
规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
　
6．（2分）如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（　　）

　A．9米B．15米C．21米D．24米

考点：勾股定理的应用．.
专题：．
分析：根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
解答：解：由题意得BC=9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =15米．
所以大树的高度是15+9=24米．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理．熟记9，12，15这组勾股数，计算的时候较快．
　
7．（2分）（2001•哈尔滨）直角三角形的两条直角边长分别为6c和8c，则连接这两条直角边中点线段的长为（　　）
　A．3cB．4cC．5cD．12c

考点：三角形中位线定理；勾股定理．.
分析：由题意可知：BC=6，AC=8．根据勾股定理得：BA=10．D、E是两直角边的中点，即为三角形中位线，根据中位线性质即可解答．
解答：解：如图所示，在RT△ABC中，BC=6，AC=8，
根据勾股定理得：AB= =10，
又D、E是两直角边的中点，
所以DE= AB=5
故选C．

点评：此题不但考查了勾股定理，还考查了三角形中位线定理，所以学生要把学过的知识融合起来．要培养整体思维的能力．
　
8．（2分）下列命题中不正确的是（　　）
　A．直角三角形斜边中线等于斜边的一半
　B．矩形的对角线相等
　C．矩形的对角线互相垂直
　D．矩形是轴对称图形

考点：命题与定理．.
分析：根据直角三角形斜边上的性质对A进行判断；根据矩形的性质对B、C、D进行判断．
解答：解：A、直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以A选项的命题正确；
B、矩形的对角线相等，所以B选项的命题正确；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的命题不正确；
D、矩形是轴对称图形，有两条对称轴，所以D选项的命题正确．
故选C．
点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
　
9．（2分）顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是（　　）
　A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形

考点：中点四边形．.
分析：因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
解答：解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH= BD，
同理FG= BD，HG= AC，EF= AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选C．

点评：本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．
　
10．（2分）如图，过四边形ABCD的各顶点作对角线BD，AC的平行线围成四边形EFGH，若四边形EFGH是菱形，则原四边形一定是（　　）

　A．菱形B．平行四边形
　C．矩形D．对角线相等的四边形

考点：菱形的性质．.
分析：推出四边形EFGH、HGCA\DGFB是平行四边形，推出GH=GF，则可求解．
解答：解：∵EH∥BD，GF∥BD，
∴EH∥GF，
∵EF∥AC，GH∥AC，
∴EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵GH∥AC，EH∥CG，
∴四边形HACG是平行四边形，
∴GH=AC，
同理GF=BD，
∴GH=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
故选D．
点评：此题主要考查平行四边形和菱形的判定．
　
二、题：（每空3分，共30分）
11．（3分）1纳米=0.000000001米，则7.5纳米用科学记数表示为　7.5×10?9米　．

考点：科学记数法—表示较小的数．.
分析：首先把7.5纳米化为0.0000000075米，再用科学记数法表示，绝对值小于1的正数利用科学记数法表示，一般形式为a×10?n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：解：7.5纳米=0.0000000075米=7.5×10?9米，
故答案为：7.5×10?9米．
点评：本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10?n，其中1≤a＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
　
12．（3分）若反比例函数y= 的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是
　k＞?2　．

考点：反比例函数的性质．.
专题：．
分析：让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可．
解答：解：∵反比例函数y= 的图象分布在第一、三象限，
∴k+2＞0，
解得k＞?2．
故答案为：k＞?2．
点评：考查反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．
　
13．（3分）已知正方形的边长为10c，则对角线的长为　10 　 c．

考点：正方形的性质．.
分析：作一个边长为4c的正方形，连接对角线，构成一个直角三角形如下图所示：由勾股定理得AD2=AB2+BD2，求出AD的值即可．
解答：解：如图所示：
四边形ABCD是边长为4c的正方形，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD= = =10 c．
所以对角线的长：AD=10 c．

点评：本题主要考查勾股定理的应用，应先构造一个直角三角形，在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，作图可以使整个题变得简洁明了
　
14．（3分）已知反比例函数的图象经过A（2，6），那么点B（?3，一4）是否在这个函数的图象上　在　 （填“在”或“不在）．

考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：计算点B的横纵坐标的积与点A的横纵坐标的积是否相等即可．
解答：解：∵反比例函数的图象经过A（2，6），
∴k=2×6=12．
又∵?3×（一4）=12=k，
∴点B（?3，一4）在这个函数的图象上．
故答案为：在．
点评：考查反比例函数的图象上的点的坐标的特征．用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等．
　
15．（3分）（2013•资阳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB=　5　．

考点：含30度角的直角三角形；矩形的性质．.
分析：根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA= AC=5，
故答案是：5．

点评：本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．
　
16．（3分）若方程 = 无解，则=　?1　．

考点：分式方程的解．.
专题：．
分析：分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x的值使最简公分母为0，据此进行解答．
解答：解：方程两边同乘x?2，得x?1=?，
∴x=1?．
由于此整式方程一定有解，则此解使最简公分母为0．
当x?2=0时，x=2，
∴1?=2时，=?1．
故若方程 = 无解，则=?1．
点评：分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．本题将分式方程化成整式方程以后，发现是一元一次方程，一定有解，则只能是整式方程的根使最简公分母为0．
　
17．（3分）若菱形两条对角线长分别为6c和8c，则它的周长为　20c　，面积是　24c2　．

考点：菱形的性质．.
专题：计算题．
分析：根据菱形的对角线互相平分且垂直，可得菱形的周长为20c；根据菱形的面积等于对角线积的一半，可得菱形的面积为24c2．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD，
∵AC=8c，BD=6c，
∴AD=5c，S菱形ABCD= AC•BD=24c2．
故答案为：20c、24c2．

点评：此题考查了菱形的性质：菱形的对角线互相平分且垂直；菱形的四条边都相等．解题的关键注意菱形面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半．
　
18．（3分）（2005•杭州）当=　3　时，分式 的值为零．

考点：分式的值为零的条件．.
专题：计算题．
分析：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
解答：解：要使分式由分子（?1）（?3）=0．解得：=1或3；
而=3时，分母2?3+2=2≠0；
当=1时分母2?3+2=1?3+2=0，分式没有意义．
所以的值为3．
故答案为3．
点评：要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
　
19．（3分）如图所示，一个梯子AB长5，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3梯子滑动后停在DE位置上，如图，测得DB的长为1，则梯子顶端A下落了　1　．

考点：勾股定理的应用．.
专题：．
分析：根据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．
解答：解：在Rt△ABC中，AB=5，BC=3，根据勾股定理得AC= =4米，
Rt△CDE中，ED=AB=5，CD=BC+DB=3+1=4米，
根据勾股定理得CE= =3，所以AE=AC?CE=1米，
即梯子顶端下滑了1．
点评：连续运用两次勾股定理，分别求得AC和CE的长，进一步求得AE的长．
　
20．（3分）（2009•莆田）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，过点A1、A2、A3、A4、A5分别作x轴的垂线与反比例函数y= （x≠0）的图象相交于点P1、P2、P3、P4、P5，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、A3P4A4、A4P5A5，并设其面积分别为S1、S2、S3、S4、S5，则S5的值为　 　．

考点：反比例函数系数k的几何意义．.
专题：压轴题；规律型．
分析：根据反比例函数 中k的几何意义再结合图象即可解答．
解答：解：∵过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，S= k．
∴S1=1，S△OA2P2=1，
∵OA1=A1A2，
∴ S△OA2P2= ，
同理可得，S2= S1= ，S3= S1= ，S4= S1= ，S5= S1= ．

点评：主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S= k．
　
三、解答题：（共50分）
21．（5分）已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求当x=4时y的值．

考点：待定系数法求反比例函数解析式．.
专题：待定系数法．
分析：（1）因为函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 （k≠0）即可求得k的值，从而求得反比例函数的解析式．
（2）把x=4代入函数的解析式，求出y的值．
解答：解：（1）设
∵当x=2时，y=6
∴
解得k=12
∴
（2）把x=4代入 ，得 ．
点评：本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，比较简单．
　
22．（5分）（2013•武汉）解方程： ．

考点：解分式方程．.
分析：观察可得最简公分母是x（x?3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答：解：方程两边同乘以x（x?3），得2x=3（x?3）．
解这个方程，得x=9．
检验：将x=9代入x（x?3）知，x（x?3）≠0．
所以x=9是原方程的根．
点评：本题考查分式方程的解法，需要注意的是在解分式方程时需对得到的解进行检验．
　
23．（6分）判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=13，b=14，c=15．

考点：勾股定理的逆定理．.
分析：根据两小边的平方和等于最长边的平方就是直角三角形，否则就不是，分别进行判断，即可求出答案．
解答：解：（1）∵152+82=172，即a2+b2=c2，则是直角三角形；
（2）132+142≠152，则不是直角三角形．
点评：此题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
　
24．（6分）先化简 ，然后选取一个你喜欢的x的值代入计算．

考点：分式的化简求值．.
专题：计算题；开放型．
分析：先对x2?2x+1分解因式，再进行通分化简，最后求值．
解答：解：
=
= ，（x≠1）
当x=2时，
原式=2．
点评：主要考查分式的化简求值比较简单，不过选择喜欢的值时，一定要使分母有意义．
　
25．（6分）某空调厂的装配车间计划组装9000台空调：
（1）从组装空调开始，每天组装的台数（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系？
（2）原计划用2个月时间，（每月以30天计算）完成，由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装多少空调？

考点：反比例函数的应用．.
专题：应用题．
分析：首先根据题意，因总工作量为9000台空调，故每天组装的台数与生产时间t之间成反比例关系，即•t=9000；进一步求解可得答案．
解答：解：（1）每天组装的台数（单位：台/天）与生产时间t（单位：天）之间的函数关系： ；
（2）当t=50时， ．
所以，这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装180台空调．
点评：本题考查反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．
　
26．（6分）如图，在海上观察所A，我边防海警发现正北6k的B处有一可疑船只正在向东方向8k的C处行驶．我边防海警即刻派船前往C处拦截．若可疑船只的行驶速度为40k/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？

考点：勾股定理的应用．.
分析：首先利用勾股定理求得线段AC的长，然后利用行驶时间相等求得边防海警船的速度．
解答：解：∵AB=6，BC=8
∴AC= =10k，
∵可疑船只的行驶速度为40k/h，
∴可疑船只的行驶时间为8÷40=0.2小时，
∴我边防海警船的速度为10÷0.2=50k/小时，
∴我边防海警船的速度为50k/h时，才能恰好在C处将可疑船只截住．
点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中正确的找到OB，AB的等量关系，并且根据该等量关系在直角△OAB中求解是解题的关键．
　
27．（6分）（2010•黔南州）已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定．.
专题：几何综合题．
分析：（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；
（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴AE= AB，CF= CD．
∴AE=CF．
在△AED与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）解：当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵AG∥BD，
∴四边形AGBD是平行四边形．
∵四边形BEDF是菱形，
∴DE=BE．
∵AE=BE，
∴AE=BE=DE．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°．
∴∠2+∠3=90°．
即∠ADB=90°．
∴四边形AGBD是矩形．

点评：主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．
　
28．（10分）如图，已知反比例函数 的图象经过第二象限内的点A（?2，），AB⊥x轴于B，△AOB的面积为3，
（1）求k，的值；
（2）若直线y=ax+b经过点A，并且经过反比例函数 的图象上另一点 ．
①求直线y=ax+b的解析式；
②设直线y=ax+b与x轴交于点，求A的长；
③根据图象写出使反比例函数 ＞y=ax+b的值x的取值范围．

考点：反比例函数综合题．.
专题：综合题．
分析：（1）利用△AOB的面积可求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；
（2）把C坐标代入反比例函数就能求得C完整的坐标：
①把A、C代入一次函数解析式就能求得解析式；
②求出的坐标，利用勾股定理即可求得A长；
③应从A、C两点入手，判断出反比例函数 的值＞y=ax+b的值x的取值范围．
解答：解：（1）∵点A（?2，）在第二象限内
∴AB=，OB=2
∴
即：∴ ，解得=3
∴A（?2，3）
∵点A（?2，3）在反比例函数 的图象上，
∴ ，解得：k=?6；

（2）由（1）知，反比例函数为 ，
又∵反比例函数 的图象经过
∴ ，
解得：n=4．
∴
①∵直线y=ax+b过点A（?2，3）、
∴
∴
解方程组得 ∴直线y=ax+b的解析式为 ．
②当y=0时，即 ，解得：x=2，即点（2，0）
在Rt△AB中，∵AB=3，B=BO+O=2+2=4
由勾股定理得：A=5．
③由图象知：当?2＜x＜0或x＞4时，
反比例函数 的值＞ 的值．

点评：过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．求一次函数的解析式需知道它上面的两个点的坐标；求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．

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