第十七章　坐标系与参数方程

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一、坐标系
1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.
2 .了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
4.能在极坐标系中给出简单图形( 如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.
二、参数方程
1.了解参数方程，了解参数的意义.
2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.
3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.
4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.　　本章重点：
1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.
2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.
本章难点：
1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.
2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.　　坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.
本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.
高考中，参数 方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.
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17.1　坐标系

典例精析
题型一　极坐标的有关概念
【例1】已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，π6)，B(5，π2)，C(－43，π3)，试判断△ABC的形状，并求出它的面积.
【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得∠AOB＝π3，∠BOC＝5π6，∠AOC＝5π6.
又OA＝OB＝5，OC＝43，由余弦定理得
AC2＝OA2＋OC2－2OA?OC?cos∠AOC＝52＋(43)2－2×5×43?cos5π6＝133，
所以AC＝133.同理，BC＝133.
所以AC＝BC，所以△ABC为等腰三角形.
又AB＝OA＝OB＝5，
所以AB边上的高h＝AC2－(12AB)2＝1332，
所以S△ABC＝12×1332×5＝6534.
【点拨】判断△ABC的形状，就 需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.
【变式训练1】(1)点A(5，π3)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为　　　 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为　　　　　；
(2)点P(－12，4π3)与曲线C：ρ＝cos θ2的位置关系是 .
【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)点P在曲线C上.
题型二　直角坐标与极坐标的互化
【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程.
同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.
(2) 由 解得 或
即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，
故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.
【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.
【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d，求d的最大值.
【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，
ρ(cos θ＋3sin θ)＝2可化为x＋3y＝2.
在x2＋y2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)，
则点A到直线的距离为d＝3cos α＋33sin α－22＝6sin(α＋30°)－22，它 的最大值为4.
题型三　极坐标的应用
【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于PQ，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.
【解析】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y＝2，则有PQ＝PR.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为PR＝PQ，所以2－ρsin θ＝ρ－2sin θ，所以
ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x＝0.
【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简 化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.
【变式训练3】如图，点A在直线x＝5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.
【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，
则直线x＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.
设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
因为点A在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①
因为△OPA为等腰三角形，且∠OPA＝120°，而OP＝ρ，OA＝ρ0以及∠POA＝30°，
所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②
把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.

题型四　平面直角坐标系中坐标的伸缩变换
【例4】定义变换T： 可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.
(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tan θ＝34时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；
(2)当tan θ＝34时，求(1)中的椭圆C 在变换T下的所有不动点的坐标.
【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
由椭圆定义知焦距2c＝22?c＝2，即a2－b2＝2.①
又由已知得a2＋b2＝4，②
故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.
即椭圆C的标准方程为x23＋y2＝1，
且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)和F2(2，0).
对于变换T： 当tanθ= 时，可得
设F1′(x1，y1) 和F2′(x2，y2)分别是由F1(－2，0)和F2(2，0)的坐标经变换公式T变换得到.
于是
即F1′的坐标为(－425，－325)；
又
即F2′的坐标为(425，325).
(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tan θ＝34时，
有 ?x＝3y，由点P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得(3y)23＋y2＝1
? 因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(32，12)和(－32 ，－12).
【变式训练4】在直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换　　　　　　　　　后变成直线2x′－y′＝4.
【解析】
总结提高
1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立.
2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.

17.2　参数方程

典例精析
题型一　参数方程与普通方程互化
【例1】 把下列参数方程化成普通方程：
(1) (θ为参数)；
(2) (t为参数，a，b＞0).
【解析】(1)
所以5x2＋4x y＋17y2－81＝0.
(2)由题意可得
所以①2－②2得4x2a2－4y2b2＝4，所以x2a2－y2b2＝1，其中x＞0.
【变式训练1】把下列参数方程化为普 通方程，并指出曲线所表示的图形.
(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)x2＝2(y＋12)，－2≤x≤2，图形为一段抛物线弧.
(2)x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.
(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).
(4)(x－6)216－(y＋3)225＝1，图形是双曲线.
题型二　根据直线的参数方程求弦长
【例2】已知直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.
(1)求曲线C的普通方程；
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
【解析】(1)由曲线C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，
化成普通方程为x2－y2＝1.①
(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程 (t为参数).②
把②代入①得(2＋t2)2－(32t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.
设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.
从而弦长为t1－t2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝42－4(－6)＝40＝210.
方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝3(x－2)，
代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.
设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝132，
所以AB＝1＋3?(x1＋x2)2－4x1x2＝262－26＝210.
【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，若以O为极点 ，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l被曲线C所截的弦长.
【解析】将方程 (t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.
将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.
表示圆心为(12，－12)，半径为r＝22的圆，
则圆心到直线的距离d＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75.
题型三　参数方程综合运用
【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1： (t为参数)，C2： (θ为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值.
【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.
C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；
C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
(2)当t＝π2时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋32sin θ).
C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝554cos θ－3sin θ－13，
从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d取最小值855.
【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝
2cos θ－4sin θ(ρ＞0).
(1)化曲线C1 、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m＞0)，经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程.
【解析】(1)曲线C1：x216＋y24＝1；曲线C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆.
(2)曲线C1：x216＋y24＝1与x轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)， 因为m＞0，所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y＝k(x－4).
由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆得k＋2－4kk2＋1＝5，
解得k＝3±102，所以切线l的方程为y＝3±102(x－4).
总结提高
1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误.
2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.
3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.


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