第七 解三角形

一、基础知识
在本中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长， 为半周长。
1．正弦定理： =2R（R为△ABC外接圆半径）。
推论1：△ABC的面积为S△ABC=
推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.
推论3：在△ABC中，A+B= ，解a满足 ，则a=A.
正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC= ；再证推论2，因为B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理 ，所以 ，即sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等价于 [cos( -A+a)-cos( -A-a)]= [cos( -a+A)-cos( -a-A)]，等价于cos( -A+a)=cos( -a+A)，因为0< -A+a， -a+A< . 所以只有 -A+a= -a+A，所以a=A，得证。
2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA ，下面用余弦定理证明几个常用的结论。
（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1）
【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD•BDcos ，
所以c2=AD2+p2-2AD•pcos ①
同理b2=AD2+q2-2AD•qcos ， ②
因为 ADB+ ADC= ，
所以cos ADB+cos ADC=0，
所以q×①+p×②得
qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2=
注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式
（2）海伦公式：因为 b2c2sin2A= b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).
这里
所以S△ABC=
二、方法与例题
1．面积法。
例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足 ，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条是

【证明】P，Q，R共线
(α+β)= uwsinα+ vwsinβ
，得证。
2．正弦定理的应用。
例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB。
求证：AP•BC=BP•CA=CP•AB。
【证明】 过点P作PD BC，PE AC，PF AB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC- BAC。由题设及 BPC+ CPA+ APB=3600可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。
所以 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB=600。
所以 EDF=600，同理 DEF=600，所以△DEF是正三角形。
所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP•BA=AP•BC=BP•AC，得证：
例3 如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PA BC。
【证明】 延长PA交GD于，
因为O1G BC，O2D BC，所以只需证
由正弦定理 ，
所以
另一方面， ，
所以 ，
所以 ，所以PA//O1G，
即PA BC，得证。
3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则
abc=(x+y)(y+z)(z+x)

=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc.
所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc.
4．三角换元。
例5 设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求 的最大值。
【解】 由题设 ，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ,
则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤ ，
当且仅当α+β= ，sinγ= ，即a= 时，Pmax=
例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc<
【证明】 设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β .
因为a, b, c为三边长，所以c< , c>a-b，
从而 ，所以sin2β>cos2α•cos2β.
因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca),
所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).
又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)
=sin2βcos2β+sin2αcos2α•cos4β•cos2β
= [1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β]
= + cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β)
> + cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)= .
所以a2+b2+c2+4abc<
三、基础训练题
1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB= ，则cosAcosB的最大值为__________.
2．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则 的取值范围是__________.
3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+ tanCtanB，则△ABC的面积为__________.
4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则 =__________.
5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条.
6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A的取值范围是__________.
7．在△ABC中，sinA= ，cosB= ，则cosC=__________.
8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tan ”的__________条.
9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.
10．在△ABC中，tanA•tanB>1，则△ABC为__________角三角形.
11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12 ，求这个三角形的面积。
12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于，N两点。求证：△NC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。
13．已知△ABC中，sinC= ，试判断其形状。
四、高考水平训练题
1．在△ABC中，若tanA= , tanB= ，且最长边长为1，则最短边长为__________.
2．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.
3．已知p, q∈R+, p+q=1，比较大小：psin2A+qsin2B__________pqsin2C.
4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形.
5．若A为△ABC 的内角，比较大小： __________3.
6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.
7．满足A=600，a= , b=4的三角形有__________个.
8．设 为三角形最小内角，且acos2 +sin2 -cos2 -asin2 =a+1，则a的取值范围是__________.
9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。
10．求方程 的实数解。
11．求证：
五、联赛一试水平训练题
1．在△ABC中，b2=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.
2．在△ABC中，若 ，则△ABC 的形状为____________.
3．对任意的△ABC， -(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为____________.
4．在△ABC中， 的最大值为____________.
5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，AB= ，C，D为动点，且AD=DC=BC=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S2+T2的取值范围是____________.
6．在△ABC中，AC=BC， ，O为△ABC的一点， ， ABO=300，则 ACO=____________.
7．在△ABC中，A≥B≥C≥ ，则乘积 的最大值为____________，最小值为__________.
8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则 =____________.
9．如图所示，，N分别是△ABC外接圆的弧 ，AC中点，P为BC上的动点，P交AB于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。
10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。
11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB， ADC=2 BAC， AEB=2 ABC， BFC=2 ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。

六、联赛二试水平训练题
1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQ BC，Q为垂足。求证： ，此处 = B。
2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2 N。
3．已知△ABC，其中BC上有一点，且△AB与△AC的内切圆大小相等，求证： ，此处 (a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。
4．已知凸五边形ABCDE，其中 ABC= AED=900， BAC= EAD，BD与CE交于点O，求证：AO BE。
5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E和F分别在AB和CD上，求证： AFB=900的充要条是AD+BC=CD。
6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知 PAQ= QAR= RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。
7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？
8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P， A， B， C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则
9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA•PB•PC≥(PD+PE)•(PE+PF)•(PF+PD)，并讨论等号成立之条。

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