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高中数学复习讲义 第二章 函数A
【知识导读】

【方法点拨】
函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．
1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．
2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．
3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．
4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．
第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．
【基础练习】
1．设有函数组：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．
2.设集合 ， ，从 到 有四种对应如图所示：

其中能表示为 到 的函数关系的有_____②③____．
3.写出下列函数定义域：
(1) 的定义域为______________； (2) 的定义域为______________；
(3) 的定义域为______________； (4) 的定义域为_________________．
4．已知三个函数:(1) ； (2) ； (3) ．写出使各函数式有意义时， ， 的约束条件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.写出下列函数值域：
(1) ， ；值域是 ．
(2) ； 值域是 ．
(3) ， ． 值域是 ．

【范例解析】
例1.设有函数组：① ， ；② ， ；
③ ， ；④ ， ．其中表示同一个函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数；在②中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数；③④是同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例2.求下列函数的定义域：① ； ② ；
解：（1）① 由题意得： 解得 且 或 且 ，
故定义域为 ．
② 由题意得： ，解得 ，故定义域为 ．
例3.求下列函数的值域：
（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1）解： ， ， 函数的值域为 ；
（2）解法一：由 ， ，则 ， ，故函数值域为 ．
解法二：由 ，则 ， ， ， ，故函数值域为 ．
（3）解：令 ，则 ， ，
当 时， ，故函数值域为 ．
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．

【反馈演练】
1．函数f(x)＝ 的定义域是___________．
2．函数 的定义域为_________________．
3. 函数 的值域为________________．
4. 函数 的值域为_____________．
5．函数 的定义域为_____________________．
6.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
(1) 求A；
(2) 若B A，求实数a的取值范围．
解：(1)由2－ ≥0，得 ≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a<1，
∴ ≤a<1或a≤－2，故当B A时， 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[ ,1)．

第2课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．
【基础练习】
1.设函数 ， ，则 _________； __________．
2.设函数 ， ,则 _____3_______； ； ．
3.已知函数 是一次函数，且 ， ,则 __15___．
4.设f(x)＝ ，则f[f( )]＝_____________．
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函数 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
解法一：设 ，则 解得
故所求的解析式为 ．
解法二： ， 抛物线 有对称轴 ．故可设 ．
将点 代入解得 ．故所求的解析式为 ．
解法三：设 ，由 ，知 有两个根0，2，
可设 ， ，
将点 代入解得 ．故所求的解析式为 ．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．
例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出 的函数解析式．

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
解：当 时，直线方程为 ，当 时，直线方程为 ，

点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
【反馈演练】
1．若 ， ，则 （ D ）
　　Ａ． 　　　　　Ｂ． 　　　　Ｃ． 　　Ｄ．
2．已知 ，且 ，则m等于________．
3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．
解：设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，
则
∵点 在函数 的图象上
∴ ．

第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1.下列函数中：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．
2.函数 的递增区间是___ R ___．
3.函数 的递减区间是__________．
4.已知函数 在定义域R上是单调减函数，且 ，则实数a的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的增函数；
②定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是减函数；
③定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数；
④定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______．
【范例解析】
例 . 求证：（1）函数 在区间 上是单调递增函数；
（2）函数 在区间 和 上都是单调递增函数．
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
证明：（1）对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，
因为
，
又 ，则 ， ，得 ，
故 ，即 ，即 ．
所以，函数 在区间 上是单调增函数．
（2）对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，
因为 ，
又 ，则 ， ， 得，
故 ，即 ，即 ．
所以，函数 在区间 上是单调增函数．
同理，对于区间 ，函数 是单调增函数；
所以，函数 在区间 和 上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值 ， ；（2）作差 ，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
例2.确定函数 的单调性．
分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由 ，得定义域为 ．对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，
则
又 ， ，
，即 ．
所以， 在区间 上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．

【反馈演练】
1．已知函数 ，则该函数在 上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．
2．已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，则 __25___.
3. 函数 的单调递增区间为 .
4. 函数 的单调递减区间为 ．
5. 已知函数 在区间 上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，
则 ，
， ， 得， ， ，即 ．

第4课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．
【基础练习】
1.给出4个函数：① ；② ；③ ；④ ．
其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．
2. 设函数 为奇函数，则实数 －1 ．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
解：（1）定义域为 ，关于原点对称； ,
所以 为偶函数．
（2）定义域为 ，关于原点对称； ，
，故 为奇函数．
（3）定义域为 ，关于原点对称； ， 且 ，
所以 既为奇函数又为偶函数．
（4）定义域为 ，不关于原点对称；故 既不是奇函数也不是偶函数．
（5）定义域为 ，关于原点对称； ， ，则 且 ，故 既不是奇函数也不是偶函数．
（6）定义域为 ，关于原点对称；
， 又 ，
，故 为奇函数．
点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即 或 判断，注意定义的等价形式 或 ．
例2. 已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， ，求函数 的解析式，并指出它的单调区间．
分析：奇函数若在原点有定义，则 ．
解：设 ，则 ， ．
又 是奇函数， ， ．
当 时， ．
综上， 的解析式为 ．
作出 的图像，可得增区间为 ， ，减区间为 ， ．
点评：（1）求解析式时 的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“ ”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“ ”实现转化；（4）根据图像写单调区间．

【反馈演练】
1．已知定义域为R的函数 在区间 上为减函数，且函数 为偶函数，则（ D ）
A． B． C． D．
2. 在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 是减函数，则函数 （ B ）
A.在区间 上是增函数，区间 上是增函数
B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数
C.在区间 上是减函数，区间 上是增函数
D.在区间 上是减函数，区间 上是减函数
3. 设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 的值为____1，3 ___．
4．设函数 为奇函数， 则 ________．
5．若函数 是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得 的x的取
值范围是（－2，2）．
6. 已知函数 是奇函数．又 ， ,求a，b，c的值；
解：由 ，得 ，得 ．又 ，得 ，
而 ，得 ，解得 ．又 ， 或1．
若 ，则 ，应舍去；若 ，则 ．
所以， ．
综上，可知 的值域为 ．

第5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）将 的图像向下平移1个单位，可得 的图像．图略；
（2）将 的图像向右平移2个单位，可得 的图像．图略；
（3）由 ，将 的图像先向右平移1个单位，得 的图像，再向下平移1个单位，可得 的图像．如下图所示：

3.作出下列各个函数图像的示意图：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）作 的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；
（2）作 的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；
（3）作 的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；
（4）作 的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．

4. 函数 的图象是（ B ）

【范例解析】
例1.作出函数 及 ， ， ， ， 的图像．
分析：根据图像变换得到相应函数的图像．
解： 与 的图像关于y轴对称；
与 的图像关于x轴对称；
将 的图像向左平移2个单位得到 的图像；
保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分．图略．
点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换： 与 的图像关于y轴对称；
与 的图像关于x轴对称； 与 的图像关于原点对称；
保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分．
例2.设函数 .
（1）在区间 上画出函数 的图像；
（2）设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明.

分析：根据图像变换得到 的图像，第（3）问实质是恒成立问题．
解：（1）

（2）方程 的解分别是 和 ，由于 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此 .
由于 .

【反馈演练】
1．函数 的图象是（ B ）

2. 为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象向右平移1个单位长度得到．
3．已知函数 的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 = ．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线 对称，则
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函数的简图：
（1） ； （2） ； （3） ．


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