二项式定理（1）
一．复习目标：
1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们讨论整除、近似计算等相关问题．
2．能利用二项展开式的通项公式求二项式的指数、求满足条的项或系数．
二．知识要点：
1．二项式定理： ．
2．二项展开式的性质：
（1）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数 ．
（2）若 是偶数，则 的二项式系数最大；若 是奇数，则 的二项式系数最大．
（3）所有二项式系数的和等于 ．
（4）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和 ．
三．前预习：
1．设二项式 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ，若 ，则 （ ）
4 5 6 8
2．当 且 时， （其中 ,且 ），则 的值为 （ ）
0 1 2 与 有关
3．在 的展开式中常数项是 ；中间项是 ．
4．在 的展开式中，有理项的项数为第3，6，9项．
5．求 展开式里 的系数为-168．
6．在 的展开式中， 的系数是 的系数与 的系数的等差中项，若实数 ，那么 ．
四．例题分析：
例1．求 展开式中系数绝对值最大的项．
解： 展开式的通项为 ，
设第 项系数绝对值最大，即 ，
所以 ，∴ 且 ，∴ 或 ，
故系数绝对值最大项为 或 ．
例2．已知 展开式中最后三项的系数的和是方程 的正数解，它的中间项是 ，求 的值．
解：由 得 ，∴ （舍去）或 ，
由题意知， ，∴
已知条知，其展开式的中间项为第4项，即 ，
∴ ，∴ 或 ，∴ 或 ．
经检验知，它们都符合题意。
例3．证明 能被 整除( )．
证明： ∵ 是整数，∴ 能被64整除．

五．后作业： 班级 学号 姓名
1．若 ，则 的值为 （ ）
1 -1 0 2
2．由 展开所得的 的多项式中，系数为有理数的共有 （ ）
50项 17项 16项 15项

3． 的展开式中， 的系数为179．(用数字作答)
4． 的展开式中， 的系数为 ，常数 的值为4．
5．求 除以 的余数．
解：∵ 由上面展开式可知199911除以8的余数是7．

6．（1）求 展开式中系数最大项．（2）求 展开式中系数最大项．
解：(1)设第 项系数最大，则有
，即 ，即 ，
∴ 且 ，∴ ．
所以系数最大项为
(2)展开式共有8项，系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系数最大项必在中间或偏右，故只需比较 和 两项系数大小即可．又因为
， ，所以系数最大的项是第五项为 ．

7．设 ，若展开式中关于 的一次项系数和为11，试问 为何值时，含 项的系数取得最小值．
解：由题意知 ，即 ，
又展开式中含 项的系数 ，
∴当 或 时，含 项的系数最小，最小值为 ．
此时 ；或 ．
8．设 展开式中第2项的系数与第4项的系数的比为4：45，试求 项的系数．
解：第 项 ，
∴ ，即 ，∴ ，
∴ 或 （舍负）．
令 ，即 ，∴ ．
∴ 项的系数 ．
9．求 的近似值，使误差小于 ．
解：

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