第八章 平面解析几何
【知识特点】
1、本章内容主要包括直线与方程、圆与方程、圆锥曲线，是解析几何最基本，也是很重要的内容，是高中数学的重点内容，也是高考重点考查的内容之一；
2、本章内容集中体现了用坐标法研究曲线的思想与方法，概念、公式多，内容多，具有较强的综合性；
3、研究圆锥曲线的方法很类似，因此可利用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质，掌握解决解析几何问题的最基本的方法。
【重点关注】
1、关于直线的方程，直线的斜率、倾斜角，几种距离公式，两直线的位置关系，圆锥曲线的定义与性质等知识的试题，都属于基本题目，多以选择题、填空题形式出现，一般涉及两个以上的知识点，这些将是今后高考考查的热点；
2、关于直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题目出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题。既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力；
3、直线与圆锥曲线联系在一起的综合题多以高档题出现，要求学生分析问题的能力，计算能力较高；
4、注重数学思想方法的应用
解析法、数形结合思想、函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论思想及待定系数法在各种题型中均有体现，应引起重视。
【地位和作用】
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
在平面解析几何初步的中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
从新课改近两年来的高考信息统计可以看出，命题呈现出以下特点：
1、各种题型均有所体现，分值大约在19-24分之间，比重较高，以低档题、中档题为主；
2、主要考查直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及综合应用，符合考纲要求，这些知识属于本章的重点内容，是高考的必考内容，有时还注重在知识交汇点处命题；
3、预计本章在今后的高考中仍将以直线及圆的方程，圆锥曲线的定义、性质及直线与圆锥曲线的位置关系为主命题，且难度有所降低；更加注重与其他知识交汇，充分体现以能力立意的命题方向。
第一节 直线与方程
【高考目标导航】
一、基本公式、直线的倾斜角与斜率及直线方程
（一）考纲点击
1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素；
2、掌握两点间的距离公式；
3、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
4、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
（二）热点提示
1、基本公式、直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点；
2、常和圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程、数学形结合思想；
3、多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题目。
二、两条直线的位置关系、点到直线的距离
（一）考纲点击
1、能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；
2、能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；
3、掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（二）热点提示
1、两条直线的平行与垂直是非常重要的位置关系，因此高考中对直线的考查多以此为载体；
2、两点间距离公式、点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式是高考考查的重点；
3、常在与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交汇处命题。
【考纲知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点：
?.与x轴相交;
?.x轴正向;
?.直线向上方向.
②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 .
③倾斜角 的范围 .
（2）直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为 的直线斜率不存在。
②经过两点 的直线的斜率公式是
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线 ，其斜率分别为 ，则有 。特别地，当直线 的斜率都不存在时， 的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线 斜率存在，设为 ，则
注：两条直线 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式 为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线
斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线
两点式 且 是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线
截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线
一般式 A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线
注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为 ；（2）若 ，直线垂直于y轴，方程为 ；（3）若 ，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式
若点 的坐标分别为 ，且线段 的中点M的坐标为（x,y），则 此公式为线段 的中点坐标公式。
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是 ，两条直线的交点坐标就是方程组 的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点 间的距离公式
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离
（2）点到直线的距离
点 到直线 的距离 ；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线 间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
四、两条直线的位置关系
【要点名师透析】
一、直线的倾斜角与斜率
（一）直线的倾斜角
※相关链接※
2．已知斜率k的范围，求倾斜角 的范围时，若k为正数，则 的范围为 的子集，且k=tan 为增函数；若k为负数，则 的范围为 的子集，且k=tan 为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
※例题解析※
〖例〗已知直线的斜率k=-cos ( ∈R).求直线的倾斜角 的取值范围。
思路解析：cos 的范围 斜率k的范围 tan 的范围 倾斜角 的取值范围。
解答：
（二）直线的斜率及应用
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1、斜率公式： 与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；
（2）已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数根据 来求斜率；
3、利用斜率证明三点共线的方法：
已知 若 ，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段， 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
※例题解析※
〖例〗设 是互不相等的三个实数，如果 在同一直线上，求证：
思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
解答：
（三）两条直线的平行与垂直
〖例〗已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。
（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；
（2）∠MPN是直角。
思路解析：∠MOP=∠OPN OM//PN，∠MPN是直角 MP NP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得。
解答：
注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线 和 ， 。若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意。
（2）注意转化与化归思想的应用。
（3）利用斜率的几何意义可以证明不等式，利用两斜率之间的关系可以判断两直线的平行或垂直，数形结合的思想方法可帮助我们很直观地分析问题，抓住问题的实质。
二、直线的方程
（一）直线方程的求法
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1、求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。
用待定系数法求直线方程的步骤：
（1）设所求直线方程的某种形式；
（2）由条件建立所求参数的方程（组）；
（3）解这个方程（组）求参数；
（4）把所求的参数值代入所设直线方程。
2、求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。
※例题解析※
〖例〗求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。
思路解析：对截距是否为0分类讨论 设出直线方程 代入已知条件求解 得直线方程。
解答：当a=3,b≠0时，设所求直线方程为 ，即
（二）用一般式方程判定直线的位置关系
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两条直线位置关系的判定
已知直线 ， ，则
（1）
（2）
（3）
（4）
※例题解析※
〖例〗已知直线 和直线 ，（1）试判断 与 是否平行；（2） ⊥ 时，求 的值。
思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按 的斜率是否存在为分类标准进行分类讨论。
解答：（1）方法一：
方法二：
（2）方法一：
由
方法二：
（三）直线方程的应用
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利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。
另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。
注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。
（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。
※例题解析※
〖例〗如图， 过点P（2，1）作直线 ，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。
（1）当?AOB的面积最小时，求直线 的方程；
（2）当｜PA｜?｜PB｜取最小值时，求直线 的方程。
思路解析：求直线方程时，要善于根据已知条件，选取适当的形式。由于本题中给出了一点，且直线与x、y轴在正方向上分别相交，故有如下常见思路：
①点斜式：设 的方程为 ，分别求出A、B的坐标，根据题目要求建立目标函数，求出最小值并确立最值成立的条件；
②截距式：设 的方程为 ，将点（2，1）代入得出a与b的关系，建立目标函数，求最小值及最值成立的条件；
③根据题意，设出一个角，建立目标函数，利用三角函数的有关知识解决。
解答：（1）方法一：设 的方程为 ，则
方法二：设所求直线方程为 ，由已知得 ，于是 。当且仅当 ，即 时， 取最大值 ，此时 取最小值4。故所求的直线 的方程为 ，即 。
方法三：设所求直线方程为 ，由已知得
（2）方法一：
方法二：
注：解析法解决实际问题，就是在实际问题中建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数问题，利用代数的方法使问题得到解决。
三、直线的交点坐标与距离公式
（一）有关距离问题
※相关链接※
1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。
2、点到几种特殊直线的距离
（1）点 到x轴的距离 。
（2）点 到y轴的距离 .
（3）点 到与x轴平行的直线y=a的距离 。
（4）点 到与y轴平行的直线x=b的距离 .
注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。
※例题解析※
〖例〗已知点P（2，-1）。
（1）求过P点且与原点距离为2的直线 的方程；
（2）求过P点且与原点距离最大的直线 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
思路解析：设出直线方程 由点到直线距离求参数 判断何时取得最大值并求之。
解答：（1）过P点的直线 与原点距离为2，而P点坐标为（2，-1），可见，过P（2，-1）且垂直于x轴的直线满足条件。此时 的斜率不存在，其方程为x=2。若斜率存在，设 的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得 ，解得 。此时 的方程为3x-4y-10=0.
综上，可得直线 的方程为x=2或3x-4y-10=0.
（2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由 ⊥OP，得 所以 由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为 。
（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过 的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线。
（二）有关对称问题
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常见的对称问题：
（1）中心对称
①若点 及 关于 对称，则由中点坐标公式得
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用 ，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点 关于直线 ：Ax+By+C=0对称，则线段 的中点在对称轴 上，而且连接 的直线垂直于对称轴 上，由方程组
可得到点 关于 对称的点 的坐标 （其中 ）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
※例题解析※
〖例〗求直线 关于直线 对称的直线 的方程。
思路解析：转化为点关于直线的对称问题，利用方程组求解。
解答：方法一：由 知直线 与 的交点坐标为（-2，-1），设直线 的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线 上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线 、 的距离相等，由点到直线的距离公式得
，解得 ，
∴直线 的方程为x-2y=0.
方法二：设所求直线上一点为P（x,y）,则在直线 上必存在一点 与点P关于直线对称。
由题设：直线 与直线 垂直，且线段 的中点 在直线上。
∴ 代入直线 得x+1=2(y-1)+3,
整理得x-2y=0.
所以所求直线方程为x-2y=0.
（三）解析法（坐标法）应用
〖例〗（12）如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法证明PM+PN为定值。
思路解析： 建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出PM和PN的长度。
解答：过点A作AO⊥BC，垂足为O，以O为原点，建立如图所示的直角坐标，……………1分
设B（-a,0），C（a,0）(a>0),A（0，b）,P( ,0),a,b为定值， 为参数，-a≤ ≤a,
∴AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0,……………………………………………………4分
由点到直线的距离公式得 ………………7分
∵a>0,b>0,∴ab>0,-ab<0,把原点坐标代入AB，AC方程左端分别得ab,-ab,且点P在直线AB，AC的下方，∴b +ab>0,b - ab<0,………………………………………………10分
∴ ……………………12分
注：解析法（坐标法）即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问题，用处理代数问题的方法解决，这种方法是联系平面解析几何的纽带。求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后出现定值。
【感悟高考真题】
1．（2011?北京高考文科?T8）已知点 ， .若点C在函数 的图象上，则使得 的面积为2的点C的个数为（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【思路点拨】设出点C的坐标，求出AB方程，利用点到直线距离公式求出AB边上的高，再利用面积为2可出点C的个数.
【精讲精析】选A.设 ，则AB： ，AB= ,点C到直线AB的距离为d= .又因为点C在 上，所以 .令 ，解得 .所以满足条件的点有4个.
2．（2011?安徽高考理科?Ｔ15）在平面直角坐标系中，如果 与y都是整数，就称点 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果 与 都是无理数，则直线 不经过任何整点
③直线 经过无穷多个整点，当且仅当 经过两个不同的整点
④直线 经过无穷多个整点的充分必要条件是： 与 都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【思路点拨】考查数形结合，空间想象能力，特例的取得与一般性的检验.根据命题的特点选择合适的情形.
【精讲精析】①例如 ，②如 过整点（1,0），③设 ( )是过原点的直线，若此直线过两个整点 ，则有 ， ，两式相减得 ，则点 也在直线 上，通过这种方法可以得到直线 经过无穷多个整点，通过上下平移 得对于 也成立，所以③正确；④如 不经过无穷多个整点, ⑤如直线 ,只经过（0,0）.故答案：①③⑤
3．（2011?安徽高考理科?Ｔ17）如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点 在线段 上， △ ，△ ，△ ，△ 都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线 ∥ ；
（Ⅱ）求棱锥 ? 的体积.
【思路点拨】（Ⅰ）可以采用综合法与向量法两种方法，综合法关键是作出辅助线，延长EB与DA相交.向量法关键是建系写坐标.（Ⅱ）利用锥体体积公式，算出底面积与高.
【精讲精析】（Ⅰ）(综合法)
证明：设G是线段DA与线段EB的延长线的交点，由于 与 都是正三角形，所以
同理，设 是线段DA与线段FC延长线的交点，有 又由于G和 都在线段DA的延长线上，所以G与 重合.
在 和 中，由 和 可知B,C分别是GE和GF的中点，所以BC是 的中位线，故BC//EF.
(向量法)
过点F作 ，交AD于点Q，连接QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
由条件知
则有
所以 即得BC//EF.
（II）解：由OB=1,OE=2, 知 ，而 是边长为2的正三角形，故 ，所以
过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F-OBED的高，且 ，所以
4．（2011?安徽高考文科?Ｔ17）设直线
（I）证明 与 相交；
（II）证明 与 的交点在椭圆
【思路点拨】（Ⅰ）反证法；先假设 与 不相交,之后推出矛盾.（Ⅱ）求出交点，代入方程.
【精讲精析】（Ⅰ）反证法.假设 与 不相交，则 与 平行，有 代入 ，得 .
此与 为实数的事实相矛盾.从而 即 与 相交.
（Ⅱ）由方程组
解得交点P的坐标（x,y）为
而
即P(x,y)在椭圆 .
【考点模拟演练】
一、选择题
1．倾斜角为45?，在 轴上的截距为 的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
2．倾斜角为45?，在 轴上的截距为 的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
3．过原点和 在复平面内对应点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
4．已知过点 和 的直线与直线 平行，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
解析：
5．在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为 ( )
A．3 B．2 C．4 D．1
答案：B
6．设 分别是 中 所对边的边长,则直线 与 的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
答案：B
7．点P(2,3)到直线：ax+(a－1)y+3=0的距离d为最大时，d与a的值依次为 （ ）
A．3,-3 B．5,1 C．5,2 D．7,1
答案：B
8．已知 ，则直线 通过（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限
解析：
9．若方程 表示一条直线，则实数 满足（ ）
A. B.
C. D. ， ，
解析： 不能同时为
10．若点 到直线 的距离为4，且点 在不等式 表示的平面区域内，则实数 的值为（ ）
A.7 B.－7 C.3 D.－3
答案：
11．已知点 到直线 的距离相等，则实数 的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
12．过点 的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于P、Q两点，且 ，则直线l的方程为（ ）
A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0
答案：D
二、填空题
13．已知A、B、C三点的坐标分别是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若点M满足 ,点N满足 ，点P满足 ，则P点的轨迹方程是 .
答案：x2+y2-2x-y=0
14．若直线 与 垂直，则 的值是 ．
答案：2
15．函数 图像上的点到直线 距离的最小值是 _
答案：
16．直线 为参数）上与点 的距离等于 的点的坐标是
答案：（-3，4）或（-1，2）
三、解答题
17．已知直线 ，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设 为直线 上一点，
证明：这条直线的方程可以写成 .
解答：（1）把原点 代入 ，得 ；（2）此时斜率存在且不为零
即 且 ；（3）此时斜率不存在，且不与 轴重合，即 且 ；
（4） 且
（5）证明： 在直线 上
.
18．（本小题满分14分）
已知函数 的定义域为 ，且 . 设点 是函数图象上的任意一点，过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 ．
（1）求 的值；（2分）
（2）问： 是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（5分）
（3）设 为原点，求四边形 面积最小值（7分）
本小题主要考查位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分,
解答：（1）∵ ，∴ . （2分）
（2）点 的坐标为 ，
则有 ， ，（3分）
由点到直线的距离公式可知： ，（6分）
故有 ，即 为定值，这个值为1. （7分）
（3）由题意可设 ，可知 .（8分）
∵ 与直线 垂直，∴ ，即 ，解得
，又 ，∴ .（10分）
∴ ， ，（12分）
∴ ，
当且仅当 时，等号成立．
∴ 此时四边形 面积有最小值 ．（14分）
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