第六章 不等式、推理与证明
【知识特点】
（1）不等式应用十分广泛，是高中数学的主要工具，试题类型多、方法多、概念要求较高，特别是不等式性质的条件与结论，基本不等式的条件等。
（2）不等式的性质本身就是解题的手段和方法，要认真理解和体会不等式性质的条件与结论，并运用它去解题。
（3）一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握，因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。
（4）二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段，但画图时一定要细心，然后求出目标函数的最值。
（5）基本不等式的条件是解题的关键，一定要认真体会，会运用基本不等式来证明或求解问题。
（6）推理与证明贯穿于每一个章节，是对以前所学知识的总结与归纳，概念较多，知识比较系统，逻辑性较强，在高中数学中有着特殊地位。
【重点关注】
不等式、推理与证明的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：
（1）学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。
（2）解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。
（3）利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：一正，二定，三相等。
（4）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。
（5）利用线性规划解决实际问题，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图标准。
（6）深刻理解合情推理的含义，归纳解决这类问题的规律和方法，掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。
（7）合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式，类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。
（8）数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法，证明问题时要注意充分利用归纳假设，同时注意项数的变化，在证明不等问题时，注意放缩、作差等方法的应用。
【地位和作用】
不等式通常会和函数，方程结合起来考查学生的综合能力，一般有一道小的选择或计算及填空出现在高考试题中，学好不等式的证明及计算是很重要的。涉及不等式的大题有时也会和求函数的最值结合大概可以占到20-30分。
推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法（理科）等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；
总得说来，这一章在高考命题上将会呈现以下特点：
1、考查题型以选择题、填空为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中低档题也会有高档题出现；
2、重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查。
合情推理与演绎推理及证明方法，偶尔对数学归纳法的考查，注重知识交汇处的命题；
3、预计本章在今后的高考中仍将在不等式的解法、基本不等式应用、线性规划以及推理与证明与其他知识的交汇处命题，更加注重应用与能力的考查。
6.1不等式
【高考目标导航】
一、不等关系与不等式
1、考纲点击
（1）了解现实世界和日常生活中的不等关系；
（2）了解不等式（组）的实际背景；
（3）掌握不等式的性质及应用。
2、热点提示
（1）不等式的性质为考查重点，对于不等关系，常与函数、数列、简易逻辑及实际问题相结合进行综合；
（2）用待定系数法求参数的范围问题是重点，也是难点；
（3）题型以选择题和填空题为主，主要在与其他知识点交汇处命题。
二、一元二次不等式及其解法
1、考纲点击
（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；
（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；
（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。
2、热点提示
（1）以考查一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性等知识；
（2）以集合为载体，考查不等式的解法及集合的运算；
（3）以函数、数列、解析几何为载体，以二次不等式的解法为手段，考查求参数的范围问题；
（4）以选择、填空题为主，偶尔穿插于解答题中考查。
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1、考纲点击
（1）会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；
（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；
（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
2、热点提示
（1）重点考查线性目标函数的最值，兼顾考查代数式的几何意义（如斜率、距离、面积等）；
（2）多在选择、填空题中出现，有时会在解答题中出现，常与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解。
四、基本不等式
1、考纲点击
（1）了解基本不等式的证明过程；
（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
2、热点提示
（1）以考查基本不等式的应用为重点，兼顾考查代数式变形、化简能力，注意“一正、二定、三相等”的条件；
（2）考查方式灵活，可出选择题、填空题，也可出以函数为载体的解答题；
（3）以不等式的证明为载体，与其他知识结合在一起来考查基本不等式，证明不会太难。但题型多样，涉及面广。
【考纲知识梳理】
一、不等关系与不等式
1、比较两实数大小的方法??求差比较法
；
；
。
2、不等式的基本性质
定理1：若 ，则 ；若 ，则 ．即 。
注：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
定理2：若 ，且 ，则 。
注：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。
定理3：若 ，则 。
注：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；
（2）定理3的证明相当于比较 与 的大小，采用的是求差比较法；
（3）定理3的逆命题也成立；
（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。
定理3推论：若 。
注：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。
定理4．如果 且 ，那么 ；如果 且 ，那么 。
推论1：如果 且 ，那么 。
注：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论 可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。
推论2：如果 ， 那么 。
定理5：如果 ，那么 。
3、不等式的一些常用性质
（1）倒数性质
①
②
③
④
（2）有关分数的性质
若 ，则
①真分数的性质：
②假分数的性质：
4、基本不等式
定理1：如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）。
注：（1）指出定理适用范围： ；（2）强调取“ ”的条件 。
定理2：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）
注：（1）这个定理适用的范围： ；（2）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、一元二次不等式及其解法
1、一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：
判别式
Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1,x2(x1
ax2+bx+c>0（a>0）的解集
ax2+bx+c<0（a>0）的解集 ΦΦ
注：当a<0时，可利用不等式的性质将二次项系数化为正数，注意不等号的变化，而后求得方程两根，再利用“大于号取两边，小于号取中间”求解。
2、用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法过程为：
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1、二元一次不等式（组）表示的平面区域
（1）在平面直角坐标系中，直线 将平面内的所有点分成三类：一类在直线 上，另两类分居直线 的两侧，其中一侧半平面的点的坐标满足 ，另一侧的半平面的点的坐标满足 ；
（2）二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧的平面区域且不含边界，直线作图时边界直线画成虚线，当我们在坐标系中画不等式 所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，此时边界直线画成实线。
（3）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的交集，因而是各个不等式所表示平面区域的公共部分。
2、线性规划的有关概念
名称意 义
约束条件由变量x,y组成的不等式组
线性约束条件由x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组
目标函数关于x,y的函数解析式，如z=2x+3y
线性目标函数关于x,y的一次解析式
可行解满足线性约束条件的解(x,y)
可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
注：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个。
四、基本不等式
1、基本不等式
定理1：如果 ，那么 （当且仅当 时取“ ”）。
注：（1）指出定理适用范围： ；（2）强调取“ ”的条件 。
定理2：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取“=”）
注：（1）这个定理适用的范围： ；（2）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、常用字的几个重要不等式
注：上述不等式成立的条件是a=b
3、利用基本不等式求最佳问题
已知x>0,y>0,则：
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是 （简记：积定和最小）；
（2）如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是 。（简记：和定积最大）
4、算术平均值与几何平均值
设a>0,b>0,则a,b的的算术平均值为 ，几何平均值为 ，均值不等式可叙述为：两个正实数的自述平均值大于或等于它们的几何平均值。
【要点名师透析】
一、不等关系与不等式
（一）应用不等式表示不等关系
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1、将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系。常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表：
2、注意区分“不等关系”和“不等式”的异同，不等关系强调的是关系，可用 表示，不等式则是表现不等关系的式子，对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”、“至少”、“至多”等关键词上去把握，并考虑到实际意义。
※例题解析※
〖例〗某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车。根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式。
思路解析：把握关键点，不超过1000万元，且A、B两种车型分别至少5辆、6辆，则不等关系不难表示，要注意取值范围。
解答：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则
（二）比较大小
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比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法。
1、“作差法”的一般步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断符号；（4）得出结论。用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法。常用的结论有 ， ， 等。当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差。
2、作商法的一般步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小；（4）得出结论。
注：当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论，如： ， ；
3、特例法
若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路.
※例题解析※
〖例〗（1）设 ，试比较 与 的大小；
（2）
已知a,b,c∈｛正实数｝，且 ，当n∈N,n>2时，比较 与 的大小。
思路解析：（1）作差，通过分解因式判断差的符号；
（2）本题需比较的式子是幂的形式，因此考虑用作商比较。
解答：（1）方法一：
方法二：∵x
(2)∵a,b,c∈｛正实数｝，∴ .
（三）不等式性质的应用
〖例〗设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(-2)的取值范围。
思路解析：由f(x)关系式 f(-2)与f(1) 和f(-1)的关系 利用f(1) 和f(-1)的范围 f(-2)的范围。
解答：（方法一）设f(-2)=m f(-1)+n f(1)(m、n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b).即4a-2b=（m+n）a+(n-m)b.于是得 ，解得 ，∴f(-2)=3f(-1)+f(1)。又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10。
（方法二）
（方法三）由 确定的平面区域如图阴影部分：
当f(-2)=4a-2b过点 时，取得最小值 ，当f(-2)=4a-2b过点B（3，1）时，取得最大值4×3-2×1=10，∴5≤f(-2)≤10
注：由a
〖例〗已知a＞0，b＞0，且a+b=1 求证 (a+ )(b+ )≥ 。
证明：证法一： (分析综合法）
欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，
即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤ 或ab≥8
∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立
∵1=a+b≥2 ，∴ab≤ ，从而得证。
证法二： (均值代换法)
设a= +t1，b= +t2。
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，t1＜ ，t2＜ ，
显然当且仅当t=0，即a=b= 时，等号成立
证法三：(比较法)
∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ ，
证法四：(综合法)
∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2 ，∴ab≤ ，
。
证法五：(三角代换法)
∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0， )，
方法提示：
由a
二、一元二次不等式及其解法
（一）一元二次不等式的解法
※相关链接※
解一元二次不等式的一般步骤
（1）对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即
；
（2）计算相应的判别式；
（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
（4）根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。
※例题解析※
〖例〗解下列不等式：
（1）2x2+4x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)8x-1≥16x2.
思路解析：首先将二次项系数转化为正数，再看二次基项式能否因式分解，若能，则可得方程的两根，且大于号取两边，小于号取中间，若不能，则再“Δ”，利用求根公式求解方程的根，而后写出解集。
解答：（1）∵Δ=42-4×2×3=16-24=-8<0,∴方程2x2+4x+3=0没有实根，∴2x2+4x+3<0的解集为Φ；
（2）原不等式等价于3x2+2x-8≥0 （x+2）(3x-4)≥0 x≤-2或x≥
（3）原不等式等价于16x2-8x+1≤0 (4x-1)2≤0,∴只有当4x-1=0，即x= 时，不等式成立。故不等式的解集为
（二）含字母参数的不等式的解法
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含参数的一元二次不等式关于字母参数的取值范围问题，其主要考查二次不等式的解集与系数的关系以及分类讨论的数学思想。
1、解答分类讨论问题的基本方法和步骤是：
（1）要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；
（2）确定分类标准，正确进行合理分类；
（3）对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；
（4）进行归纳总结，综合得出结论。
2、对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：
（1）讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；
（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；
（3）当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；
（4）判断二次不等式两根的大小。
※例题解析※
〖例〗解关于x的不等式(1-ax)2<1
思路解析：将不等式左边化为二次三项式，右边等于0的形式，并将左边因式分解，据a的取值情况分类讨论。
解答：由(1-ax)2<1处
（1）
注：解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对参数进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏。若二次项系数含参数，则不要忘了二次项系数是否为零的情况。
（三）一元二次不等式的实际应用
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1、实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等解法求解；
2、不等式应用题一般可按如下四步进行：
（1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
（2）引进数学符号，用不等式表示不等关系；
（3）解不等式；
（4）回归实际问题。
※例题解析※
〖例〗国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即8%）。为了减轻农民负担，决定降低税率。根据市场规律，高效率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点。试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%。
思路解析：表示高效率调低后的税收收入 列不等关系 解不等关系 得结论
解答：设税率调低后的税收总收入为y元，则
（四）一元二次不等式恒成立问题
〖例〗求使 ≤a (x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。
思路解析：本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosθ、sinθ来对应进行换元，即令 =cosθ， =sinθ(0＜θ＜ ＝，这样也得a≥sinθ+cosθ，但是这种换元是错误的 其原因是：(1)缩小了x、y的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1”这样一个条件，显然这是不对的。
除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，a≥f(x)，则amin=f(x)max 若 a≤f(x)，则amax=f(x)min，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。
解答：解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，
得：x+y+2 ≤a2(x+y)，即2 ≤(a2－1)(x+y)，①
∴x，y＞0，∴x+y≥2 ， ②
当且仅当x=y时，②中有等号成立。
比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，
∴a2=2，a= (因a＞0)，∴a的最小值是 。
解法二：设
∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2 (当x=y时“=”成立)，
∴ ≤1， 的最大值是1。
从而可知，u的最大值为 ，
又由已知，得a≥u，∴a的最小值为 ，
解法三：∵y＞0，
∴原不等式可化为 +1≤a ，
设 =tanθ，θ∈(0， )。
∴tanθ+1≤a ，即tanθ+1≤asecθ
∴a≥sinθ+cosθ= sin(θ+ )，③
又∵sin(θ+ )的最大值为1(此时θ= )。
由③式可知a的最小值为 。
注：（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数。一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数；
（2）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方。
三、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
（一）二元一次不等（组）表示平面区域
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二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法
（1）直线定界，特殊点定域
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线。若直线不过原点，特殊点常选取原点。
（2）同号上，异号下
即当 时，区域为直线Ax+By+C=0的上方，当 ，区域为直线Ax+By+C=0的下方。
※例题解析※
〖例〗如图ΔABC中，A(0,1),B(-2,2),C(2,6),写出ΔABC区域所表示的二元一次不等组。
思路解析：通过三点可求出三条直线的方程，而后利用特殊点验证。因三条直线均不过原点，故可由原点(0,0)验证即可。
解答：由已知得直线AB、BC、CA的方程分别为：直线AB：x+2y-2=0,直线BC：x-y+4=0,直线CA：5x-2y+2=0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为：
（二）求目标函数的最值
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1、求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值。
2、最优解的确定方法
线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上方平移到端点（一般是两直线交点）的位置得到的；当b<0,则是向下方平移。
※例题解析※
〖例〗若变量x,y满足 则 的最大值是（ ）
A 90 B 80 C 70 D 40
思路解析：作出可行域 作出直线3x+2y=0 找到最优解 求得最大值
解答：选C。线性不等式组表示的区域如图中阴影部分所示。
可知 在A点处取最大值，由 ，解得A（10，20）。∴ 故选C。
（三）线性规划的实际应用
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解决线性规划实际应用题的一般步骤：
（1）认真审题分析，设出未知数，写出线性约束条件和目标函数；
（2）作出可行域；
（3）作出目标函数值为零时对应的直线
（4）在可行域内平行移动直线 ，从图中能判定问题有唯一最优解，或是有无穷最优解或无最优解；
（5）求出最优解，从而得到目标函数的最值。
注：解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范，假若图上的最优点并不明显时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检验，以“验明正身”。另外对最优整数解问题，可使用“局部微调法”，此方法的优点是思路清晰，操作简单，便于掌握。用“局部微调法”求整点最优解的关键是“微调”，其步骤可用以下十二字概括：微调整、求交点、取范围、找整解。
※例题解析※
〖例〗某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元。问应如何安排调运方案，才能得到从两个仓库货物到三个商店的总运费最少？
思路解析：由于题目中量比较多，所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件。设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数，列出可行域，即可求解。
解答：将已知数据列成下表：
设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为（12-x-y）吨，从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、（8-y）吨、[5-（12-x-y）]=（x+y-7）吨，于是总运费为：
Z=8x+6y+8(12-x-y)+3(7-x)+4（8-y）+5（x+y-7）=x-2y+126.
∴线性约束条件为 即 。目标函数为： 作出上述不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示：
作出直线 ：x-2y=0,把直线 平行移动，显然当直线 移动到过点(0,8),在可行域内， 取得最小值 ，即x=0,y=8时总运费最少。
安排的调运方案如下：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少。
注：求线性规划问题的整点最优解常用以下方法：
（1）平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线 ，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解；
（2）检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经过比较得出最优解；
（3）调整优值法；先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解。
（四）线性规划的综合应用
〖例〗实数x,y满足
（1）若 ，求 的最大值和最小值，并求 的取值范围。
（2）若 ，求 的最大值和最小值，并求 的取值范围。
思路解析：（1） 表示的是区域内的点与原点连线的斜率。故 的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值。（2） 的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值。
解答：由 作出可行域如图阴影部分所示：
（1） 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（OA斜率不存在）。而由 得B（1，2），∴ ∴ 不存在， ，∴ 的取值范围是[2，+∞）。
（2） 表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方。因此 的范围最小为 （取不到），最大为 。由 得A（0，1），∴ = ， = 。∴ ， 无最小值。
故 的取值范围是 .
注：本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：
（1） 表示点（x,y）与原点(0,0)的距离； 表示点(x,y)与(a,b)的距离。
（2） 表示点（x,y）与原点(0,0)连线的斜率； 表示点（x,y）与(a,b)连线的斜率。
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键。
四、基本不等式
（一）利用基本不等式求最值
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1、创设应用基本不等式的条件
（1）合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需出现积为定值或和为定值；
（2）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法。
2、利用基本不等式求最值需注意的问题
（1）各数（或式）均为正；
（2）和或积为定值；
（3）等号能否成立，即一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可。
3、基本不等式的几种变形公式
对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种常见的变形形式及公式的逆运用等，如：
※例题解析※
〖例〗求下列各题的最值。
（1）已知 ,求 的最小值。
（2）
（3）
（4）
思路解析：（1）由 得 ，故可用基本不等式。（2）由 是常数，故可直接利用基本不等式（3）因 不是常数，故需变形。 ，故需变号。（4）虽然 ，但利用基本不等式时，等号取不到，所以利用函数的单调性。
解答：（1）方法一： 。∴ 。当且仅当 ，即 时等号成立。
方法二：由 得 。当且仅当 ，即 时等号成立。
（2）
∴
（3）
当且仅当 ，即x=1时，等号成立。故f(x)的最大值为-1.
(4) 则
（二）利用基本不等式证明不等式
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1、利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证问题，其特征是“由因导果”。
2、证明不等式时要注意灵活变形，多次利用基本不等式时，注意每次等号是否都成立。同时也要注意应用基本不等式的变形形式。
※例题解析※
〖例1〗（1）已知a>0,b>0,a+b=1,求证： （2）证明：
思路解析：（1）利用a+b=1将要证不等式中的1代换，即可得证。（2）利用 两两结合即可求证，但需两次利用不等式，注意等号成立的条件。
解答：（1）方法一： （当且仅当a=b= 时等号成立）。∴ 。∴原不等式成立。
方法二：∵a>0,b>0,a+b=1，∴ （当且仅当a=b= 时等号成立）。∴原不等式成立。
（2） 。故原不等式得证，等号成立的条件是
〖例2〗已知不等式 对任意 、 的正实数恒成立，求正数 的最小值。
思路解析：展开后，利用基本不等式，而后解不等式可求 值。
解答： ∴要使原不等式恒成立，则只需 ≥9，即 ∴正数 的最小值是4。
注：利用基本不等式求参数的值或范围时，只需求出式子的最小值或最大值，使其满足已知条件即可。
（三）基本不等式的实际应用
〖例〗某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示）， ，如果池四周围墙建造单价为400元/米2，中间两道隔墙建造单价为248元/米2，池底建造单价为80248元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。
（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。
思路解析：（1）由题意设出未知量 构建函数关系式 变形转化利用基本不等式 求得最值 结论；（2）由（1）函数关系 确定x的范围 判断函数单调性 利用单调性求最值 结论。
解答：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为 米。则总造价为
（2）由限制条件知 设 由函数性质易知 在 上是增函数，∴当 时（此时 ）， 有最小值，即 有最小值
注：（1）解应用题时，一定要注意变量的实际意义，即其取值范围；（2）在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用函数的单调性。
【感悟高考真题】
1、（2011?安徽高考文科?Ｔ7）若数列 的通项公式是 n=(-1)n(3 -2),则 …
（A）15 (B)12 （C） 12 (D) 15
【思路点拨】观察数列 的性质，得到
【精讲精析】选A. 故
2、（2011?安徽高考理科?Ｔ4）设变量 满足 则 的最大值和最小值分别为
（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１
【思路点拨】此题属于线性规划问题，先画出 表示的平面区域，再求目标函数z= 的最值.
【精讲精析】选B.首先画出 表示的平面区域
由图像可知当目标函数过点（0,1）时取得最大值2，
过点（0，-1）时取得最小值-2.
3、（2011?北京高考文科?T7）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
（A）60件 （B）80件 （C）100件 （D）120件
【思路点拨】写出平均每件产品费用的函数，再利用均值不等式求出最值.
【精讲精析】选B.平均每件产品的费用为 当且仅当 ，即 时取等号.所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.
4、（2011?安徽高考理科?Ｔ19）（Ⅰ）设 证明
（Ⅱ）设 ，证明
【思路点拨】利用不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式的知识.
【精讲精析】证明：（1）由于
所以要证明 ，
只需证
将上式中的右式减左式，得
既然 所以 从而所要证明的不等式成立.
（Ⅱ）设 ，由对数的换底公式得
于是，所要证明的不等式即为
.
其中
故由（Ⅰ）成立知 成立.
【考点精题精练】
一、选择题
1、下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A.p: ＞b+d , q: ＞b且c＞d
B.p:a＞1,b>1 q: 的图像不过第二象限
C.p: x=1, q:
D.p:a＞1, q: 在 上为增函数
解析：由 ＞b且c＞d ＞b+d，而由 ＞b+d ＞b且c＞d，可举反例。选A。
2、已知 ， ， ， 为实数，且 ＞ .则“ ＞ ”是“ － ＞ － ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：显然，充分性不成立.又，若 － ＞ － 和 ＞ 都成立，则同向不等式相加得 ＞
即由“ － ＞ － ” “ ＞ ”
3、若a、b、c ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
答案: C
4、已知a、b、c∈R，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的( )
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析：选B.若c=0，则a＞b ac2＞bc2，但若ac2＞bc2，则c2＞0，∴ac2＞bc2 a＞b，故选B
5、(2011?大连模拟)若a>b>0,则下列不等式不成立的是( )
(A) (B)a2＞b2
(C)a+b≥ (D)
【解析】选D.∵a＞b＞0,∴ ,a2＞b2故A、B成立，又a+b＞ a+b≥ , ∴C成立，故选D.
6、(2011?日照模拟)下列结论正确的是( )
(A) x∈R，使2x2-x+1＜0成立
(B)
(C) 的最小值为2
(D)0＜x≤2时，函数y=x- 有最大值为
【解析】选D.∵2x2-x+1=2(x- )2+ ≥ ＞0，
∴ x∈R，都有2x2-x+1＜0不成立；∵ x＞1,都有 成立，∴ x＞0，都有lgx+ ≥2不成立；
若 则当且仅当x2+2=1时，不等式取等号，显然不可能；当0＜x≤2时，函数y=x- 为增函数，其最大值为 即此结论正确，故应选D.
7、实数x、y满足不等式组 ,则 的取值范围 ( )
A.[-1, ] B.[- , ] C. D.
答案：D
8、下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）
A．a，b均为负数，则 B．
C． D．
答案：C
9、已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式 <1的解集为( )
A.(－1,2) B.(0,3) C.(－∞,－2) D.(－∞,3)
答案：A
10、设 ， ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
11、已知实数x，y满足 的最小值为（ ）
A．5B．10 C．25D．210
答案：A
12、已知｜a｜≠｜b｜，m＝ ，n＝ ，则m、n之间的大小关系是（ ）
A. m>n B. m
二、填空题
13、(2011?济南模拟)已知M=2(a2+b2),N=2a-4b+2ab-7,且a、b∈R，则M、N的大小关系为_______.
【解析】M-N=(a2-2a+1)+(b2+4b+4)+(a2+b2-2ab)+2=(a-1)2+(b+2)2+(a-b)2+2＞0.
答案：M＞N
14、不等式 的解集为
答案：
15、若 ，则 与 的大小关系是
答案：
16、(2011?菏泽模拟)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)= ,则实数a的取值范围是_____.
【解析】∵f(2)=f(2-3)=f(-1)=-f(1)<-1
答案：(-1, )
三、解答题
17、（本小题12分）已知函数 ，求函数的最小值.
解： ………………………………………………………2分
…8分
等号成立，所以 ………………………………………………12分
18、某营养师要为某个儿童准备午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别准备多少个单位的午餐和晚餐？
解析：设为该儿童分别准备x,y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z=2.5x+4y，
可行域为
即 作出可行域如图阴影中的整点：
所以，当x=4,y=3时，
花费最少，为zmin=2.5×4+4×3=22(元).
答：应当为该儿童分别准备4个单位午餐和3个单位晚餐.
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