3.函数的单调性与最值
一、知识梳理：
1、函数的单调性
（1） 函数的单调区间必须在定义域内。分别在两个区间上单调用“和”连接而不能用并.
如：求函数 的单调区间。
（2）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
（3）函数单调性的证明、判断和求单调区间：定义法,导数法。
定义法：对任意的 ， ，判断 的符号，两法因式分解和配方法，以 说明之
（4）初等函数的单调性：一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等函数的单调区间。具体说明。
（5）设 是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则 在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则 在M上是增函数。
如求函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。
（6）简单性质：
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数 增函数 是增函数；减函数 减函数 是减函数；
增函数 减函数 是增函数；减函数 增函数 是减函数。
2、函数的最值
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
其意义2点：
○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）求最值方法：函数单调性法（包括导数法）、基本不等式法；
二、典例讨论：
1、基本初等复合函数的单调区间
例1.求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性.
解：（1）图象法:递增区间： 和 ，递减区间： 和
（2）初等复合函数法:递增区间： ，递减区间：
（3）递增区间： ，递减区间：
例2、已知 讨论函数 的单调性。
解： 的定义域为 ，且 ， 为奇函数。
所以只需讨论 在 上的单调性，任取 且 ，
则
因为 ，
因为 为增函数，所以 即 ，
所以 在 上递减，因为 为奇函数，所以 在 上也递减
点评：对数函数的单调性讨论的处理。
讨论练习1：判断函数 ( ≠0)在区间(－1，1)上的单调性。
解：设 , 则
－ ＝ ,
∵ , , , , ∴ >0,
∴ 当 时, , 函数 在(－1, 1)上为减函数，
当 时, , 函数 在(－1, 1)上为增函数.
方法二、导数法：
∴ 当 时, , 函数 在(－1, 1)上为减函数，
当 时, , 函数 在(－1, 1)上为增函数.
点评：解单调性大题时只有两种合法方法：定义法和导数法。
例3、函数 的图象如图所示：则 的单调减区间是（ ）
解：令 ，则 在 和 上为递增，所以在 和 由复合函数的单调性规则知， 为递减，故选C
例4、（1）已知 是R上的减函数，那么 的取值范围是（ ）
解： 在 递减， ， 时 。故选C
（2）函数 在 上的最大值与最小值的和为 ，则 .
解：无论 和 ， 与 同增减，所以最大值与最小值的和一定是
4、单调性的应用
例5、已知函数 是定义在R上的偶函数，且在 上是增函数，令 ，则（ ）
解：
，
所以， ，故选A
5、综合问题
例6、 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）?f（b）.
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）?f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.
解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f 2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）?f（－x）=1.
∴f（－x）= ＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）?f（x1）.
∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－x1）?f（x1）＞f（x1）.
∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.
（4）解：由f（x）?f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.
三、课堂小结：
四、课后作业：
1.讨论函数f（x）=x+ （a＞0）的单调性.?
解 方法一 显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1＞x2＞0,则?
f(x1)-f(x2) =（x1+ ）-（x2+ ）=(x1-x2)?（1- ）.
∴当0＜x2＜x1≤ 时， ＞1,?
则f（x1）-f（x2）＜0，即f(x1)＜f(x2),故f（x）在（0， ］上是减函数.?
当x1＞x2≥ 时，0＜ ＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f(x1)＞f(x2),?
故f（x）在［ ，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，?
∴f（x）分别在（-∞，- ］、［ ，+∞）上为增函数；?
f（x）分别在［- ，0）、（0， ］上为减函数.?
方法二 由f ′（x）=1- =0可得x=±
当x＞ 时或x＜- 时，f ′(x)＞0，∴f（x）分别在（ ，+∞）、（-∞，- ］上是增函数.?
同理0＜x＜ 或- ＜x＜0时，f′（x）＜0?
即f（x）分别在（0， ］、［- ，0）上是减函数.
2.求函数y= （4x-x2）的单调区间.?
解 由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y= t.?
∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.?
又y= t在（0，+∞）上是减函数，
∴函数y= （4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4).
3.定义在R上的函数y=f（x），对任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）, 当x＞0时，f(x)<0,f(1)= .
(1)判断f（x）在R上的单调性；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最值。
解：（1）令
设任意的 且 ，
所以f（x）是在R上的减函数
（2）
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