2012届高考数学二轮复习
专题十二 高考中的解答题的解题策略
【重点知识回顾】
解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力．
解答题的解题步骤
1.分析条件，弄清问题
2.规范表达，实施计划
3.演算结果，回顾反思
解答题的解题策略
1.从条件入手――分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘；
2.从结论入手――执果索因，搭好联系条件的桥梁；．
3.回到定义和图形中来；
4.换一个角度去思考；
5优先作图观察分析，注意挖掘隐含条件；
6.注重通性通法，强化得分点。
【典型例题】
1.从定义信息入手
定义信息型题是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解．
例1、根据定义在集合A上的函数 ，构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据 ，计算出 ；②若 ，则数列发生器结束工作，若 ，则输出x1,并将x1反馈回输入端，再计算出 ，并依此规律继续下去，现在有 ， ，
（Ⅰ）求证：对任意 ，此数列发生器都可以产生一个无穷数列 ；
（Ⅱ）若 ，记 ，求数列 的通项公式．
【解析】（Ⅰ）证明：当 ，即0
∴ ，又 ，∴ ，∴ ，
即 ．故对任意 有 ；由 有 ，由 有 ；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列 ．
（Ⅱ）由 ，可得 ，
∴ ，即 ，
令 ，则 ，又
，
∴数列 是以 为首项，以 为公比的等差数列，
∴ ，于是 ．
【题后反思】
本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列 ，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第（Ⅱ）问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底．
2. 由巧法向通法转换
巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点．
例2、已知 ，求 的取值范围．
【解析】由 ，得 ，
∴ ，
∴
，
从而得 ．
【题后反思】
本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一――消元法上来，则解法通俗、思路清晰．
3. 常量转化为变量
转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策．有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易．
例3、设 ，求证： ．
【解析】令 ，则有 ，若 ，则 成立；
若 ，则 ，∴方程有两个相等的实数根，即 ，
由韦达定理， ，即 ，又 ，
∴ ，∴ ，∴ ．
【题后反思】
把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决．
4. 主元转化为辅元
有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解．
例4、对于满足 的所有实数p，求使不等式 恒成立的x的取值范围．
【解析】把 转化为 ，则成为关于p的一次不等式，则 ，得 ，由一次不等式的性质有： ，
当 时， ，∴ ；
当 时， ，∴ ，综上可得： ．
【题后反思】
视x为主元，不等式是关于x的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p转化为主元，不等式是关于p的一次的不等式，则问题不难解决．
5. 正向转化为反向
有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难则反”
例5、若椭圆 与连接A（1，2）、B（3，4）两点的线段没有公共点，求实数a的取值范围．
【解析】设线段AB和椭圆有公共点，由A、B两点的坐标可得线段AB的方程为 ， ，则方程组 ，消去y
得： ，即 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴当椭圆与线段AB无公共点时，实数a的取值范围为 ．
【题后反思】
在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索．
6. 数与形的转化
数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的．
例6、已知 是定义在 上的奇函数，且在区间 上是增函数，若 ，解不等式 ．
【解析】由 在 上为增函数，且 是定义域上的奇函数，
∴ 在 上也是增函数．
∵ ，∴ ，∴ 或 ，
由函数的单调性知： 或 ，
∴原不等式的解集为：
【题后反思】
由已知， 是定义在 上的奇函数，且在区
间 上是增函数，由 ，则可得 的
大致图像如下图，可知
7．自变量与函数值的转化
函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题．
例7、设 是定义在 上的增函数，且对于定义域内任意x、y，都有
，求使不等式 成立的x的取值范围．
【解析】∵ 的定义域是 ，∴ ，即 ，
由于 ，得 ，
由 ，得 ，
∴由题设条件得： ，
∵ 是定义在 上的增函数，∴ ，解之得： ，又 ，
∴适合题意的x的取值范围为[3，4]．
【题后反思】
这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：
①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；②根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将 ，根据等价转化为 ；③需将②转化为某自变量的函数值，从而建立关于x的不等关系，求出x的取值范围．
8. 类比归纳
类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力．因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点．
例8、如下图所示，定义在D上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数A，都有 成立，则称函数 在D上有下界，其中A称为函数的下界（提示：下图①②中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零．）
（Ⅰ）试判断函数 在
上是否有下界？并说明理由；
（Ⅱ）具有图②所示特征的函数称为
在D上有上界，请你类比函数有下界 ① ②
的定义，给出函数 在D上有上界的定义，并判断（Ⅰ）中的函数在 上是否有上界，并说明理由．
【解析】
∵ ，由 ，得 ，∵ ，∴x=2,
∵当0
∴x=2是函数 在区间（0， ）上的最小值点， ，
于是，对任意 ，都有 ，即在区间（0， ）是存在常数A=32，使得对任意 ，都有 成立，所以，函数 在 上有下界．
（Ⅱ）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常B，都有 成立，则称函数 在D上有上界，其中B称为函数的上界．
设x<0，则-x>0，则（Ⅰ）知，对任意 ，都有 ，∴ ，
∵函数 为奇函数，∴ ，∴ ，即 ，
即存在常数B=-32，对任意 ，都有 ，所以，函数 在 上有上界．
【题后反思】
本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题．数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力．
【模拟演练】
（1）已知函数
（Ⅰ）若 ，求x的值；
（Ⅱ）若 对于 恒成立，求实数m的取值范围．
（2）设函数 ，曲线 通过点（0，2a+3）且在点（-1， ）处的切线垂直于x轴．
用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数 的单调区间．
（3）在直角坐标系xOy中，点P到两点（ ），（ ）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线 与C交于A、B两点，
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）若 ，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k>0时，恒有 ．
（4）已知函数 ， ， ，
（Ⅰ）将函数 化简成 的形式；
（Ⅱ）求函数 的值域．
（5）已知曲线C1： 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线C1的内切圆半径为 ，记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆，
（Ⅰ）求椭圆C2的标准方程；
（Ⅱ）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，是线段AB的垂直平分线，M是上异于椭圆中心的点，①若 （O为坐标原点），当点A在椭圆C2上运动时，求点M的轨迹方程；②若M是与椭圆C2的交点，求 面积的最小值．
（6）已知元素为实数的集合S满足下列条件：① ；②若 ，则 ．若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测．
（7）已知椭圆 的右准线 与x轴相交于点P，右焦点F到上顶点的距离为 ，点C(m,0)是线段OF上的一个动点，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线，其与椭圆交于A、B两点，且使得 ？亲说明理由．
（8）设函数 ，函数 ， ，其中a为常数且 ，令函数 为函数 和 的积函数．
（Ⅰ）求函数 的表达式，并求其定义域；
（Ⅱ）当 时，求函数 的值域；
（Ⅲ）是否存在自然数a，使得函数 的值域恰为 ？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合，若不存在，试说明理由．
（9）已知函数 ，当点 在 的图像上移动时，点 在孙函数 的图像上移动．
（Ⅰ）若点P坐标为（1，-1），点Q也在 的图像上，求t的值；
（Ⅱ）求函数 的解析式；
（Ⅲ）当 时，试探索一个函数 ，使得 在限定域内为 时有最小值而没有最大值．
（10）矩形钢板的边长分别为 ，现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，并使其底面边长为矩形边长的一半，表面积为ab，试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论．
答案：
1．（1） ；
（2）
2．（1）c=2a+3，b=2a；
（2） 的单调减区间为 ，单调增区间为（-2，2）；
3．（1） ，
（2） ，
（3）略；
4．（1） ，
（2） 的值域为 ；
5．（1） ，
（2）① ，② ．
6. S的元素的个数为3的倍数；
7. （Ⅰ） ；
（Ⅱ）当 时， ，即存在这样的直线；
当 时，k不存在，即不存在这样的直线．
8， （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ） ，且 ．
9. （Ⅰ） ；
（Ⅱ） ；
（Ⅲ）当 时， 有最小值0，但没有最大值．
10．如下图：
易证： ，即最大 ，最小 ．
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