音美班案1 数列的概念
一、基础知识
1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an是数列{an}的第 项．
2．数列的通项公式
一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
3．在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：
4．求数列的通项公式的其它方法
⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．
⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．
⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式
二、典型例题
例1. 根据下面各数列的前n项的值，写出数列的一个通项公式．
⑴ － ， ，－ ， …；
⑵ 1，2，6，13，23，36，…；
⑶ 1，1，2，2，3，3，
变式训练1.某数列{an}的前四项为0， ，0， ，则以下各式：
① an＝ [1＋(－1)n] ② an＝ ③ an＝
其中可作为{an}的通项公式的是（ ）A．①B．①② C．②③ D．①②③
例2. 已知数列{an}的前n项和Sn，求通项．
⑴ Sn＝3n－2
⑵ Sn＝n2＋3n＋1
变式训练2：已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)
⑵ a1＝1，an＝ (n≥2)
⑶ a1＝1，an＝ (n≥2)
变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，求该数列的通项公式．
三、课后练习
1、(2009?北京石景山)已知数列{an}的前n项和Sn＝n3，则a3＋a6的值为( )
A．91 B．152 C．218 D．279
2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
4．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的通项公式an＝________.
5．根据下列条件，求数列的通项公式an.
(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)在数列{an}中，an＋1＝n＋2nan，a1＝4；
(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－1；
四、归纳小结
1．由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一．
2．由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)， ＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．
音美班案2 等差数列
一、基础知识
1．等差数列的定义： － ＝d（d为常数）．
2．等差数列的通项公式：⑴ an＝a1＋ ×d ⑵ an＝am＋ ×d
3．等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ ．
4．等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b＝ ．
5．数列{an}是等差数列的两个重要结论：
⑴ 数列{an}的通项公式可写成an＝pn＋q(p, q∈R)
⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)
6．等差数列{an}的两个重要性质：⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ 数列{an}的前n项和为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
二、典型例题
例1. 在等差数列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
变式训练1.在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ ．
例2.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
A．130 B．170 C．210 D．260
变式训练2．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
例3. 在等差数列{an}中，a1＝25，S9＝S17，问此数列前几项的和最大？
例4. 已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－ （n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝ ．
⑴ 求证：数列{bn}是等差数列．
⑵ 求数列{an}的通项公式．
变式训练2.已知公比为3的等比数列 与数列 满足 ，且 ，
（1）判断 是何种数列，并给出证明；
（2）若 ，求数列 的前n项和
三．课后练习
1(2009?陕西，13)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
2(2009?北京宣武)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝( )
A．24 B．22 C．20 D．－8
3．在等差数列{an}中，a3＝9，a9＝3，则a12＝( )
A．0 B．3 C．6 D．－3
4(2009?北京朝阳)在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，已知a2a3＝13，则S4S5等于( )A.815 B.40121 C.1625 D.57
5(2009?海南海口)设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋a7＝50，则a6＋a9＋a12＝( )A．40 B．30 C．20 D．10
6(2010?福建省六校联考试题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a5＝12S5，且a9＝20，则S11＝( )A．260 B．220 C．130 D．110
7(2011?原创题)等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝2010，S20072007－S20052005＝－2，则S2010的值为( )A．－2009 B．2009 C．－2010 D．2010
8(2009?全国Ⅰ，14)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
9．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003?a2004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是__________．
四、归纳小结
1．欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝d(d是一个与n无关的常数)．
2．a1，d是等差数列的最关键的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有时运算较繁．
3．高考中对性质的考察及等差数列基本公式考察较多，同学们要熟记。
音美班教学案3等比数列
一、基础知识
1．等比数列的定义： ＝q（q为不等于零的常数）．
2．等比数列的通项公式：⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m
3．等比数列的前n项和公式： Sn＝
4．等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等比数列{an}的几个重要性质：
⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 ．
⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 数列．
⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列，则{an}的公比q＝ ．
二、典型例题
例1. 已知等比数列{an}，a2＝8，a5＝512.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
变式训练1.已知等比数列{an}前n项和Sn＝2n－1，{an2}前n项和为Tn，求Tn的表达式
例2. 5．(2009?辽宁，6)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6S3＝3，则S9S6＝( )
A．2 B.73 C.83 D．3
变式训练2. (2009?全国Ⅱ，13)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.
例3. 已知等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求项数n和公比q的值．
变式训练3.已知等比数列{an}中，a1?a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝
例4(2009?陕西，21)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
变式训练4在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4 an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{ an－n}是等比数列；
(2)求数列{ an }的前n项和Sn；
三、课后练习
1、(2009北京西城)若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是( ) A．公差为2的等差数列 B．公差为lg 2的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为lg 2的等比数列
2、（2009河南实验中学)设各项都为正数的等比数列{an}中，若第五项与第六项的积为81，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是( )A．5 B．10 C．20 D．40
3、(2009河南六市)设各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝( )A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50
4．由正数组成的等比数列{an}中，a1＝13，a2?a4＝9，则a5＝_____S3＝______.
四、归纳小结
1．在等比数列的求和公式中，当公比q≠1时，适用公式Sn＝ ；当q＝1时，适用公式Sn＝na1；若q的范围未确定时，应对q＝1和q≠1讨论求和．
2．在等比数列中，若公比q > 0且q≠1时，可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项．
3．若有四个数构成的函数，前三个成等差数列，后三个成等比数列时，关键是如何巧妙地设这四个数，一般是设为x－d，x，x＋d， 再依题意列出方程求x、d即可．
4．a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量．
音美班教学案4等差数列和等比数列的综合应用
一、基础知识
1．等差数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等差数列， 则{akn} (k∈N*，k为常数)是 数列．
⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
2．在等差数列中，求Sn的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴ a1> 0，d <0时，解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值．
⑵ a1<0，d>0时，解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值．
3．等比数列的常用性质：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，则有 ．
⑵ {an}是等比数列，则{a }、{ }是 数列．
⑶ 若Sn≠0，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成 数列．
二、典型例题
例1．已知等比数列{an}，a2＝8，a5＝512.
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn.
例2．已知实数列{an}是等比数列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{an}的前n项和记为Sn，证明：Sn＜128(n＝1,2,3，…)．
变式训练1已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成等差数列，边a、b、c依次成等比数列．求证：△ABC是等边三角形．
变式训练2.若互不相等的实数 、 、 成等差数列， 、 、 成等比数列，且 ，则 = （ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
例3. 数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，an＋1＝ Sn，n＝1，2，3……
求：⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式；
⑵ a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.
三、课后练习
1、(2010?甘肃省会宁五中期中考试)等差数列{an}中，已知a5＋a7＝10，Sn是数列{an}的前n项和，则S11＝( )
A．45 B．50 C．55 D．60
2、若a、b、c是互不相等的实数，且a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，则a?b?c等于( )
A．(－2)：?1：4 B．1：2：3 C．2：3：4 D．(－1)：1：3
3、在△ABC中，tanA是第3项为－4，第7项为4的等差数列的公差，tanB是第3项为13，第6项为9的等比数列的公比，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4、(2009?重庆，5)设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A.n24＋7n4 B.n23＋5n3 C.n22＋3n4 D．n2＋n
5、(2010?广东湛江高三月考试题)设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状为( )
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
6 、(2009?浙江温州)已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．
7（2009安徽卷理）已知 为等差数列， + + =105， =99，以 表示 的前 项和，则使得 达到最大值的 是（ ）
A.21 B.20 C.19 D. 18
8．已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….
(1)证明数列{lg(1＋an)}是等比数列；
(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项．
9 、(2009?辽宁，17)(本小题满分12分)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
四、归纳小结
1．在三个数成等差（或等比）时，可用等差（或等比）中项公式；在三个以上的数成等差（或等比）时，可用性质：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，则am＋an＝ap＋ar（或am?an＝ap?ar）进行解答．
2．若a、b、c成等差（或等比）数列，则有2b＝a＋c（或b2＝ac）．
3．在涉及an与Sn相关式子中用Sn－1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥2”这个特点．
音美班教学案5 数列求和
一、基础知识
求数列的前n项和，一般有下列几种方法：
1．等差数列的前n项和公式：Sn＝ ＝ ．
2．等比数列的前n项和公式：① 当q＝1时，Sn＝ ．
② 当q≠1时，Sn＝ ．
3．倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．
4．错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
5．裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列．
二、典型例题
例1. 已知数列：1， ， ， ，…， ，求它的前n项的和Sn．
变式训练1.数列 前n项的和为 （ ）
A． B． C． D．
例2. 求Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ ．
变式训练2：数列{an}的通项公式是an＝ ，若前n项之和为10，则项数n为（ ）
A．11 B．99 C．120 D．121
例3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ ，bn＝an?2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式．
⑵ 设Cn＝ ，求数列{Cn}前n项和Tn ．
三、课后练习
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
2．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn＞1020，那么n的最小值是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．(教材改编题)1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于( )
A.n(n＋1)2 B．－n(n＋1)2 C．(－1)n＋1n(n＋1)2 D．以上答案均不对
4．给出集合序列{1}，{2,3}，{4,5,6}，{7,8,9,10}，…，设Sn是第n个集合中元素之和，则S21为( )
A．1113 B．4641 C．5082 D．5336
5．(2009?黄冈综合测试){an}为等差数列，若a11a10<－1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n＝( ) A．11 B．17 C．20 D．21
6．在正项等比数列{an}中，a3a7＝4，则数列{log2an}的前9项之和为________．
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a21＋a22＋…＋a2n＝__________.
8．(热点预测题)设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(n∈N*)的前n项和为________．
9．已知数列{an}满足a1＝76，Sn是 {an}的前n项和，点(2Sn＋an，Sn＋1)在f(x)＝12x＋13的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若cn＝(an－23)n，Tn为cn的前n项和，n∈N*，求Tn.
四、归纳小结
1．求和的基本思想是“转化”．其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和．
2．对通项中含有(－1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性．
3．倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视．
音美班教学案6数列极限
一、基础知识
1、数列极限的定义:设 是一个无穷数列，A是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数n＞N，就有 -A＜ε，那么就说数列 以A为极限（或A是数列的极限），记作 =A。
2、数列极限的运算法则
如果 =A， =B，那么
(1) ( ± )= ± =A±B；(2) ( ? )= ? =A?B
（3） （4） （c? ）= c? =cA（c为常数）
极限运算法则中的各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限。
3、特殊数列的极限
（1） C=C（C为常数）
（2） 0（a＜1）
= 1（a=l
不存在（a＞1或a=-1）
(3) =0(α＞0的常数)
(4)
（当k= 时）
= 0（当k＜ 时
不存在（当k＞ 时）
二、典型例题
例1、求下列极限：
(1)limn→∞ (11×3＋12×4＋…＋1n(n＋2))；
(2)limn→∞ 2n2＋13n2＋2n；
(3)limn→∞ (n2＋3n－n2＋4n)
变式练习（2008陕西卷13） ，则 ．
例2、．(2009?东北四市一模)已知等差数列{an}的公差d>0且a2，a5满足a2＋a5＝12，a2a5＝27，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝1－12bn(n∈N*)
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)设Tn＝b2＋b4＋b6＋…＋b2n，求limn→∞Tn.
三、课后练习
1．求limn→∞n[(1＋1n)3－1]等于( )A．3 B．0 C.13 D．7
2．若limn→∞ (2n2＋1n＋1－na＋b)＝2，则ab的值为( )
A．4 B．0 C．－4 D．8
3．(2009?广西四市联考)若f(n)＝13－232＋133－134＋…＋132n－1－232n(其中n∈N*)，则limn→∞g(n)＝( )
A.18 B.16 C.12 D.58
4．(2009?黄冈市高三年级2月质量检测)已知数列{an}满足：a1＝13，且对任意正整数m、n都有am＋n＝aman，若数列{an}的前n项和为Sn，则limn→∞Sn等于( )
A.12 B.23 C.32 D．2
5．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，S20082008－S20062006＝2，则limn→∞ Snn2的值为( )
A．2 B．1 C.12 D．3
6．limn→∞ 2＋3＋…＋n3n2－2n＝____________.
7．(2009?陕西)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3，则limn→∞ Snn2＝________.
8．(2009?湖北宜昌第二次调研)已知limn→∞ an＋p?3n＋can－3n＝－5(1
(1)令bn＝an＋1－2an(n＝1,2,3，…)，证明{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；
(2)令cn＝bn3，Tn为数列{1log2cn＋2?log2cn＋1}的前n项和，求limn→∞Tn.
四、归纳小结
1．运算法则必须是在{an}、{bn}的极限都“存在”的条件下使用．
2．数列极限运算法则必须在有限个(可以推广到有限多个)数列下使用，无限多个数列不成立．
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