第四讲 转化与化归思想
【思想方法诠释】
数学问题的解答离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的最重要的思想方法．在高中数学的学习中，它无个不在，比如：处理立体几何问题时，将空间问题转化到一个平面上解决；在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题；复数问题化归为实数问题等．
1．转化与化归的原则
（1）目标简单化原则：将复杂的问题向简单的问题转化．
（2）和谐统一性原则：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当．
（3）具体化原则：即化归言论自由应由抽象到具体．
（4）低层次原则：即将高维空间问题化归成低维空间问题．
（5）正难则反原则：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．
2．转化与化归常用到的方法
（1）直接转化法：把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
（2）换元法：运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径．
（4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
（5）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径．
（6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径．
（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题．
（8）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的．
（9）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证．
（10）补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集 使原问题得以解决．
【核心要点突破】
要点考向1：函数、方程、不等式之间的转化
例1：已知函数f(x)=x2+2x+alnx．或函数f(x)在区间(0，1]上为单调增函数，求实数a的取值范围．
思路精析：单调增函数→不等式恒成立→分离参数→求函数最值→实数a的范围
解析： ∵f(x)在区间(0，1]上为单调增函数．∴f’(x)≥0在(0，1]上恒成立．
亦即：a≥-(2x2+2x) 在(0，1]上恒成立，
又 在(0，1]上为单调递减，
∴当a≥0时，f(x)在区间(0，1]上为单调增函数
注：函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程，不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围．
要点考向2：正面与反面的转化
例2：有9张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次从中抽取一张卡片（不放回），试求：
（1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率．
（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率．
思路精析：（1）甲、乙二人依次各抽一张的可能结果→甲抽到含奇数，乙抽到含偶数数字卡片的结果→求概率．
（2）找对立事件→求对立事件概率→求出原事件概率．
解答：（1）甲、乙二人依次从九张卡片中各抽取一张的可能结果有 ，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的结果有 种，设甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为P1，则
（2）设甲、乙二人至少抽到一张奇数数字的概率为P2，甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的对立事件为两人均抽到写有偶数数字卡片．设为 ，
则
注：一般地，一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，宜从反而考虑，多使用于“至多”“至少”这种情形．
要点考向3：命题的等价转化
例3：已知f(x)为定义在实数R上的奇函数，且f(x)在[0,+∞)上是增函数．当 时，是否存在这样的实数m，使 对所有的 均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m；若不存在，请说明理由．
思路精析：由奇偶性及单调性→f(x)单调性→关于 的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m的范围．
解析：由f(x)是R上的奇函数可得f(0)=0．又在[0,+∞)上是增函数，故f(x)在R上为增函数．由题设条件可得 又由f(x)为奇函数，
可得 ∵f(x)在R上为增函数，∴ 即
．令 于是问题转化为对一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2＞0恒成立．
又
∴存在实数m满足题设的条件，
注：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路，常见的有：
（1）在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式化的“三用”（顺用、逆用、变形用）、角度的转化、函数的转化等．
（2）换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要方法．
（3）在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数，平面几何、解析几何语言进行转化．
（4）在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．
（5）在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值（最值）、切线问题，转化为其导函数f’(x)构成的方程、不等问题求解．
（6）在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．
（7）实际问题与数学模型之间的转化．
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．若复数 是纯虚数（ 是虚数单位， 是实数），则 （ ）
A． B． C． D．2
2．已知 是定义在 上的增函数，函数 的图像关于点 对称，若 满足 ，则当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线交双曲线于 、 两点，若 为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是( )
(A) (B) (C) (D)
4．将一个正方体截去四个角得到一个四面体BDA1C1，这个四面体的体积是正方体体积的 （ ）
5.对于抛物线y2=4x上任意一点Q，如果点P（a，0）满足PQ≥a,则a的取值范围是（ ）
(A)（-∞,0) (B)(-∞,2］
(C)［0,2］ (D)(0,2)
6．设 分别为具有公共焦点 的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足 的值为（ ）
A．2B． C．4D．
二、填空题（每小题6分，共18分）
7． ，当A∩B有且只有一个元素时，a、b满足的关系式是
8. 当x∈(1,2)时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是_______.
9.如图,三棱锥P—ABC中,各条棱的长都是2,E是侧棱PC的中点,D是侧棱PB上任一点,则△ADE的最小周长为_____.
三、解答题（10、11题每题15分，12题16分，共46分）
10．已知向量m=(1,1)，向量 与向量 夹角为 ，且 ? =-1，
(1)求向量 ；
(2)若向量 与向量 =(1,0)的夹角为 ，向量 =(cosA,2cos2 )，其中A、C为?ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，试求? + ?的取值范围。
11．已知可行域 的外接圆C与 轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为短轴，离心率
（Ⅰ）求圆C及椭圆C1的方程；
（Ⅱ）过椭圆C1上一点P(不在坐标轴上)向圆C引两条切线PA、PB、A、B为切点，直线AB分别与x轴、y轴交于点M、N．求△MON面积的最小值．（O为原点）．
12．设函数
（Ⅰ）当 曲线 处的切线斜率
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数 有三个互不相同的零点0， ，且 。若对任意的 ， 恒成立，求m的取值范围。
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．解析：选B．设正方体棱长为a，则
5．
6．A
7．解析：A∩B有且只有一个元素可转化为直线 与圆 相切，故
8．【解析】不等式x2+mx+4＜0在（1，2）恒成立，
又x∈(1,2)∴g′(x)＞0,
∴g(x)在（1，2）为单调增函数，∴m≤-5.
答案：m≤-5
9．【解析】把空间问题化归成平面问题,是立体几何中化归思想最重要的内容.有这种思想作指导,结合题干图,由于AE是定长: 故只要把侧面PAB、PBC展平,那么当A、D、E三点共线时的AE长,即AD+DE的值最小.
在如图所示的△AEP中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,故依余弦定理有AE2=22+12-2?2?1?cos120°=7,所以AE= ,于是得△AED的最小周长为 .
答案：
10．解析：(1)设 =(x,y)
则由< , >= 得：cos< , >= = ①
由 ? =-1得x+y=-1 ②
联立①②两式得 或
∴ =(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵< , >=
得 ? =0
若 =(1,0)则 ? =-1?0
故 ?(-1,0) ∴ =(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=?
?B= ∴C=
+ =(cosA,2cos2 )
=(cosA,cosC)
∴? + ?= = =
=
=
∵0
∴-1
11．解析：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以 及点 为顶点的三角形，∵ ，∴ 为直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为 ．
∵2b=4，∴b=2．又 ，可得 ．
∴所求椭圆C1的方程是 ． ┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ，OA的斜率为 ，则PA的斜率为 ，则PA的方程为： 化简为： ，
同理PB的方程为 ┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同时过P点，则x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴AB的直线方程为：x0x+y0y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分
（或者求出以OP为直径的圆，然后求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即为AB的方程）
从而得到 、 所以 ┅┅8分
当且仅当 . ┅┅┅┅┅┅┅12分
（或者利用椭圆的参数方程 、函数求最值等方法求 的最大值）
12．解析：当
所以曲线 处的切线斜率为1.
（2） ，令 ，得到
因为
当x变化时， 的变化情况如下表：
极小值
极大值
在 和 内减函数，在 内增函数。
函数 在 处取得极大值 ，且 =
函数 在 处取得极小值 ，且 =
（3）由题设，
所以方程 =0由两个相异的实根 ，故 ，且 ，解得
因为
若 ，而 ，不合题意
若 则对任意的 有
则 又 ，所以函数 在 的最小值为0，于是对任意的 ， 恒成立的充要条件是 ,解得
综上，m的取值范围是
【备课资源】
1．设椭圆 的半径焦距为c，直线 过(0,a)和(b,0)，已知原点到 的距离等于 ，则椭圆的离心率为 （ ）
解析：选B．由已知得：
2．某小组共10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为（ ）
解析：选B．利用正难则反转化：
3．从双曲线 的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线l,切点为T，且l交双曲线的右支于点P，若点M是线段FP的中点，O为坐标原点，则OM-TM等于（ ）
4.已知a＞0，f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1)，l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.
（1）求l的方程；
（2）若切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点，求a的值；
（3）证明：对于任意的a=n(n∈N*),函数y=f(x)总有单调递减区间，并求出f(x)的单调递减区间的长度的取值范围.（区间［x1,x2］的长度=x2-x1)
【解析】(1)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.
∴f′(0)=-1,
即切点P(0,1)，l斜率为-1，
∴切线l的方程：y=-x+1.
(2)切线l与曲线y=f(x)有且只有一个公共点等价于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1，
即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一个实数解.
令h(x)=ax2-x+ln(x+1),
则方程h(x)=0有且只有一个实数解.
∵h(0)=0,∴方程h(x)=0有一解x=0.
5.设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)当a=0时，f(x)≥h(x)在（1，+∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.
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