2012届高考数学二轮复习资料
专题三 数列（教师版）
【考纲解读】
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
【考点预测】
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.
因此复习中应注意：
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.
【要点梳理】
1.证明数列 是等差数列的两种基本方法：（1）定义法： 为常数；（2）等差中项法： .
2.证明数列 是等比数列的两种基本方法：（1）定义法： (非零常数)；（2）等差中项法： .
3.常用性质:(1)等差数列 中,若 ,则 ;
(2)等比数列 中,若 ,则 .
4.求和:
(1)等差等比数列,用其前n项和求出;
(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法;
(3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质.
【考点在线】
考点1 等差等比数列的概念及性质
在等差、等比数列中，已知五个元素 或 ， 中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项 和公差（或公比 ）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
（1）等差数列 中，若 ，则 ；等比数列 中，若 ，则 .
（2）等差数列 中， 成等差数列。其中 是等差数列的前n项和；等比数列 中（ ）， 成等比数列。其中 是等比数列的前n项和；
（3）在等差数列 中，项数n成等差的项 也称等差数列.
（4）在等差数列 中， ； .
在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
例1. (2011年高考重庆卷理科11)在等差数列 中， ，则
.
【答案】74
【解析】 ，故
【名师点睛】本题考查等差数列的性质.
【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.
考点2 数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若 且 ；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列 的通项.
再看“逐商法”即 且 ，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题.
例2.（2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=( )
（A）3 ×44 （B）3 × 44+1
(C) 44 （D）44+1
【答案】A
【解析】由题意，得a2=3a1=3.当n ≥1时，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②，
②-①得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 ×44.
【名师点睛】本小题主要考查 与 的关系： ，数列前n项和 和通项 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式 时，一定要注意条件 ，求通项时一定要验证 是否适合。解决含 与 的式子问题时，通常转化为只含 或者转化为只 的式子.
【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点.
练习2.（2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为（ ）[Z
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16
【答案】B
【解析】设公比是q，根据题意a1a2=16 ①，a2a3=162 ②，②÷①，得q2=16 .因为a12q=16>0, a12>0，则q>0，q=4.
考点3 数列的通项公式 与前n项和公式的应用
等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式 （ ），因此可以改写为 是关于n的指数函数，当 时， .
例3.(2011年高考江苏卷13)设 ，其中 成公比为q的等比数列， 成公差为1的等差数列，则q的最小值是 .
【答案】
【解析】由题意： ，
【答案】A
【解析】通过 ，设公比为 ，将该式转化为 ，解得 =-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式.
考点4. 数列求和
例4. (山东省济南市2011年2月高三质量调研理科20题)
已知 为等比数列， ； 为等差数列 的前n项和， .
（1） 求 和 的通项公式；
（2） 设 ，求 .
【解析】（1） 设 的公比为 ,由 ,得 所以
设 的公差为 ，由 得 ,
所以
（2）
①
②
②-①得：
所以
【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.
【备考提示】：熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键.
练习4. （2010年高考山东卷文科18）
已知等差数列 满足： ， . 的前n项和为 .
（Ⅰ）求 及 ；（Ⅱ）令 （ ）,求数列 的前n项和 .
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有
考点5 等差、等比数列的综合应用
解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例5．(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列 的首项 ( ),设数列的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列（Ⅰ）求数列 的通项公式及 （Ⅱ）记 ， ，当 时，试比较 与 的大小.[
当 时， 即 ；
所以当 时， ；当 时， .
【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前n项和等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键.
练习5.(2011年高考天津卷文科20)
已知数列 与 满足 , ,且 .
（Ⅰ）求 的值;
(Ⅱ)设 , ,证明 是等比数列;
(Ⅲ)设 为 的前n项和,证明 .
【解析】（Ⅰ）由 ,可得
, ,
当n=1时, 由 ,得 ;
当n=2时, 可得 .
(Ⅱ)证明:对任意 , --------①
---------------②
②-①得: ,即 ,于是 ,所以 是等比数列.
(Ⅲ)证明: ,由(Ⅱ)知,当 且 时,
=2+3(2+ )=2+ ,故对任意 , ,
由①得 所以 , ,
因此, ,于是 ,
故 = ,
所以 .
【易错专区】
问题：已知 ,求 时,易忽视 的情况
例. （2010年高考上海卷文科21）
已知数列 的前 项和为 ，且 ，
(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式，并求出使得 成立的最小正整数 .
【考题回放】
1.(2011年高考安徽卷文科7)若数列 的通项公式是 ,则 （ ）
（A） 15 (B) 12 (C ) (D)
【答案】A
【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二： ，故 .故选A.
2. （2011年高考江西卷文科5)设{ }为等差数列，公差d = -2， 为其前n项和.若 ，则 =（ ）
A.18 B.20 C.22 D.24
【答案】B
【解析】 .
3. (2011年高考江西卷理科5)已知数列{ }的前n项和 满足： ，且 =1．那么 =（ ）
A．1 B．9 C.10 D．55
【答案】A
【解析】因为 ,所以令 ,可得 ;令 ,可得 ;同理可得 , , ,
,所以 = ,故选A.
4. (2011年高考四川卷理科8)数列 的首项为 ， 为等差数列且 .若则 ， ，则 ( )
（A）0 （B）3 （C）8 （D）11
【答案】B
【解析】由已知知 由叠加法 .
5．（ 2010年高考全国Ⅰ卷文科4）已知各项均为正数的等比数列{ }， =5， =10，则 =（ ）
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知 ， 10,所以 ,所以 .
6．（2010年高考全国卷Ⅱ文科6）如果等差数列 中， + + =12，那么 + +???…+ =（ ）
（A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【答案】C
【解析】∵ ，∴
7.（2009年高考安徽卷理科第5题）已知 为等差数列， + + =105， =99，以 表示 的前 项和，则使得 达到最大值的 是高. （ ）
【解析】设公比为 ,由已知得 ,即 ,因为等比数列 的公比为正数，所以 ,故 ,选B
9．（2009年高考湖南卷文科第3题）设 是等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
【答案】C
【解析】 故选C.
或由 ,
所以 故选C.
10. （2009年高考福建卷理科第3题）等差数列 的前n项和为 ，且 =6， =4， 则公差d等于( )
A．1 B C.- 2 D 3
【答案】C
【解析】∵ 且 .故选C
11．（2009年高考江西卷理科第8题）数列 的通项 ，其前 项和为 ，则 为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 以3 为周期,故
故选A
12.（2011年高考湖北卷文科9)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）
A. 1升B. 升C. 升D. 升
【答案】D
【解析】设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得： ，所以选B.
13. (2011年高考湖南卷理科12)设 是等差数列 的前 项和，且 ， ，则 .
【答案】25
【解析】 因为 ， ，所以 ，则 .故填25
14. (2011年高考广东卷理科11)等差数列 前9项的和等于前4项的和.若 ，则 .
【答案】10
【解析】由题得 .
【解析】 则
于是 令 得 ，则 ， 时递增，令 得 ，则 ， 时递减，故 是最大项，即 .
17. （2011年高考江西卷文科21) (本小题满分14分）
（1）已知两个等比数列 ，满足 ，
若数列 唯一，求 的值；
（2）是否存在两个等比数列 ，使得 成公差 为
的等差数列？若存在，求 的通项公式；若 存在，说明理由．
【解析】（1） 要唯一， 当公比 时，由 且 ，
， 最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）
，此时满足条件的a有无数多个，不符合。
当公比 时，等比数列 首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由 ，可推得 符合
综上： 。
（2）假设存在这样的等比数列 ，则由等差数列的性质可得： ，整理得：
要使该式成立，则 = 或 此时数列 ， 公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列 .
18. （2011年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）
已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.
【解析】（I）设等差数列{an}的公差为 ,则 ,由 ， 可得 ，解得
,从而 .
（II）由（I）可知 ,所以 ,由Sk=-35，可得 ,
即 ,解得 或 ,又 ,故 .
19．（2011年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）
某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（I）求第n年初M的价值 的表达式；
（II）设 若 大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
【解析】（I）当 时，数列 是首项为120，公差为 的等差数列．
因为 是递减数列，所以 是递减数列，又
所以须在第9年初对M更新．
20. （2011年高考四川卷文科20)（本小题共12分）
已知? ?是以 为首项，q为公比的等比数列， 为它的前 项和.
（Ⅰ）当 成等差数列时，求q的值；
(Ⅱ)当 ， ， 成等差数列时，求证：对任意自然数 也成等差数列.
【解析】（Ⅰ）当 时， ，因为 成等差数列，所以 ，解得 ，因为 ，故 ；
当 时， ，由 成等差数列得 ，得 ，即 ， .
21．（2010年高考天津卷文科22）（本小题满分14分）
在数列 中， =0，且对任意k ， 成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明 成等比数列；（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）记 ，证明 .
【解析】（I）证明：由题设可知， ， ， ， ， .从而 ，所以 ， ， 成等比数列.
（II）解：由题设可得
所以
.
由 ，得 ，从而 .
所以数列 的通项公式为 或写为 ， 。
（III）证明：由（II）可知 ， ，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m
若 ，则 ，
若 ，则
.
所以 ，从而
（2）当n为奇数时，设 。
所以 ，从而
综合（1）和（2）可知，对任意 有
22．(2010年高考北京卷文科16)（本小题共13分）
已知 为等差数列，且 ， 。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列 满足 ， ，求 的前n项和公式
【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差 。
23．(2010年高考江西卷文科22)（本小题满分14分）
正实数数列 中， ， ，且 成等差数列．
（1）证明数列 中有无穷多项为无理数；
（2）当 为何值时， 为整数，并求出使 的所有整数项的和．
【解析】证明：（1）由已知有： ，从而 ，
方法一：取 ，则 ．
用反证法证明这些 都是无理数．
假设 为有理数，则 必为正整数，且 ，
故 ． ，与 矛盾，
所以 都是无理数，即数列 中有无穷多项为无理数；
方法二：因为 ，当 得末位数字是3,4,8,9时， 的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时 不是有理数，因这种 有无穷多，故这种无理项 也有无穷多．
（2）要使 为整数，由 可知： 同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有 或 当 时，有 又 必为偶数，所以 满足
即 时， 为整数；同理 有
也满足
即 时， 为整数；显然 和 是数列中的不同项；所以当 和 时， 为整数；由 有 ，
由 有 ．
设 中满足 的所有整数项的和为 ，则
．
24. (2010年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足 +15=0.
（Ⅰ）若 =5，求 及a1；（Ⅱ）求d的取值范围.
【解析】(Ⅰ)解：由题意知S6= =-3,
A6=S6-S5=-8所以 解得a1=7,所以S6= -3,a1=7
(Ⅱ)解：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
【解析】通过 ，设公比为 ，将该式转化为 ，解得 =-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
2．(2010年高考安徽卷文科5)设数列 的前n项和 ，则 的值为( )
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
【答案】A
【解析】 .
3．（2010年高考山东卷文科7）设 是首项大于零的等比数列，则“ ”是“数列 是递增数列”的( )
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知 ，则设数列 的公比为 ，因为 ，所以有 ，解得 又 ，所以数列 是递增数列；反之，若数列 是递增数列，则公比 且 ，所以 ，即 ，所以 是数列 是递增数列的充分必要条件。
4．(2010年高考江西卷文科7)等比数列 中， ， ， ，则
A． B． C． D．
5．（2010年高考辽宁卷文科3）设 为等比数列 的前 项和，已知 ， ，则公比 ( )
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】B
【解析】两式相减得， ， .
6．（2010年高考广东卷文科4）已知数列{ }为等比数列， 是它的前n项和，若 ，
且 与 的等差中项为 ，则S5=w( )
A．35 B．33 C．31 D．29
7．（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列 中， ，则 的值为( )
（A）5 （B）6
（C）8 （D）10
【答案】A
【解析】由角标性质得 ，所以 =5.
8．（2010年高考湖北卷文科7）已知等比数列{ }中，各项都是正数，且 ， 成等差数列，则 ( )
A. B. C. D
【答案】C
二．填空题：
13．（2009年高考北京卷文科第10题）若数列 满足： ，则
；前8项的和 .（用数字作答）
【答案】255
【解析】 ，
易知 .
14．（2010年高考辽宁卷文科14）设 为等差数列 的前 项和，若 ，则 。
【答案】15
【解析】由 ,解得 ，
15．(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试理科)已知数列 是公比为 的等比数列，集合 ，从 中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列共有 ．
【答案】
【解析】以公比为 的等比数列有 … 共 组；
以公比为 的等比数列有 … 共 组；
以公比为 的等比数列有 共 组.
再考虑公比分别为 的情形，可得得到4个数的不同的等比数列共有 个.
三．解答题：
17.（2009年高考山东卷理科第20题）（本小题满分12分）
等比数列{ }的前n项和为 ，已知对任意的 ，点 ，均在函数 的图像上.
（Ⅰ）求r的值；
(文科)（Ⅱ）当b=2时，记 ,求数列 的前n项和 .
(理科)（Ⅱ）当b=2时，记 ,证明：对任意的 ，不等式 成立
【解析】(Ⅰ) 由题意知: ,
当 时, ,
由于 且 所以当 时, { }是以 为公比的等比数列,
又 , , 即 解得 .
(理科) (Ⅱ)∵ ,∴当 时, ,
又当 时, ,适合上式,∴ , ,
∴ ,
下面用数学归纳法来证明不等式:
证明:(1)当 时,左边= 右边,不等式成立.
(2)假设当 时,不等式成立,即 ,
则当 时,
不等式左边=
所以当 时,不等式也成立,
综上(1)(2)可知:当 时,不等式 恒成立,
所以对任意的 ,不等式 成立.
(文科)（Ⅱ）由（Ⅰ）知, , ,所以 = ,
,
+ ,
两式相减得:
,
故 = .
（Ⅱ）因为 ， …10分
所以
． …14分
19．（天津市南开中学2011年3月高三月考文科）已知数列 的前以项和为 且对于任意的 恒有 设
(1)求证：数列 是等比数列；(2)求数列 的通项公式 和
(3)若 证明：
【解析】 (1)当n=l时， 得
当 时， 两式相减得：
是以 为首项，2为公比的等比数列．……………………4分
(2)由(1)得
……………………………………8分
由 为正项数列，所以 也为正项数列，
从而 所以数列 递减，
所以 …12分
另证：由
所以
20．(天津市红桥区2011届高三一模文科)（本题满分14分）
设数列 的前 项和为 ，且 ；数列 为等差数列，且 。
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为数列 的前 项和，求证： 。
【解析】（1）由 ,
（2）数列 为等差数列，公差
从而
从而
21. (山东省济南市2011年2月高三质量调研文科)
已知{an}是递增的等差数列，满足a2?a4=3,a1+a5=4.
(1) 求数列{an}的通项公式和前n项和公式；
(2) 设数列{bn}对n∈N*均有 成立，求数列{bn}的通项公式.
22. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟理科)已知数列 满足 ，且 ， 为 的前 项和.
(Ⅰ)求证：数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(Ⅱ)如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】(Ⅰ) 对任意 ,都有 ，所以
则 成等比数列,首项为 ，公比为 …………2分
所以 ， …………4分
(Ⅱ) 因为
所以 …………6分
因为不等式 ，化简得 对任意 恒成立…………7分
设 ，则 …………8分
当 , , 为单调递减数列，当 , , 为单调递增数列
,所以, 时, 取得最大值 …………11分
所以, 要使 对任意 恒成立， …………12分
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