1．1．2 圆柱、圆锥、圆台和球
【课时目标】 认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
1．一般地，由一个________________沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．
平移起止位置的两个面叫做棱柱的________，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的________，两侧面的公共边叫________．
2．当棱柱的一个底面__________________时，得到的几何体叫做棱锥(如图所示)．
3．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，______和________之间的部分．
4．将________、________________、______________分别绕着它的________、______________、____________________所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做______，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做________，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做________，无论旋转到什么位置，这条边都叫做________．
5．________绕着它的______所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做______，简称______．
一、填空题
1．将梯形沿某一方向平移形成的几何体是________．
2．有下列命题：①棱柱的底面一定是多边形；②棱台的底面一定是梯形；③棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
其中正确命题的序号是________．
3．棱台具备的性质是________(填序号)．
①两底面相似；
②侧面都是梯形；
③侧棱都相等；
④侧棱延长后都交于一点．
4．下列命题中正确的是________(填序号)．
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱；
④用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台．
5．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．
6．右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的________(填序号)．
7．下列叙述中错误的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
8．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是______(填序号)．
9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是______．
二、解答题
10．如图所示为长方体ABCD?A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
11．如图所示，已知△ABC，以AB为轴，将△ABC旋转360°．试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图．
能力提升
12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切(球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列______图形．(填序号)
13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．
2．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．
3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解．
第1章 立体几何初步
§1.1 空间几何体
1．1.1 棱柱、棱锥和棱台
1．1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
答案
知识梳理
1．平面多边形 底面 侧面 侧棱
2．收缩为一个点
3．截面 底面
4．矩形 直角三角形 直角梯形 一边 一直角边 垂直于底边的腰 轴 底面 侧面 母线
5．半圆 直径 球体 球
作业设计
1．四棱柱 2.①③
3．①②④
解析 用棱台的定义去判断．
4．③
解析 ①、②的反例图形如图所示，④显然不正确．
5．球体 6.① 7.①②③④
8．(1)(5)
解析 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．
9．①②
10．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′?CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，
截面BCFE左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′?DCFD′.
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
11．解 这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同底面的小圆锥而得到，直观图如图所示．
12．②
13．解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形??矩形，如图所示，连结AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝A′B′2＋AA′2
＝4＋?2π?2＝21＋π2，
即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.
1．1．3 中心投影和平行投影
【课时目标】 1．了解中心投影和平行投影．2．能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．3．能识别三视图所表示的立体模型．
1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是________，而中心投影的投影线________．
2．三视图包括__________、__________和__________，其中几何体的____________和__________高度一样，__________与____________长度一样，__________与__________宽度一样．
一、选择题
1．人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将________．
2．两条相交直线的平行投影是________．
3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(填序号)________．
4．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________(填序号)．
5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是________________________________．
6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．
7．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为________个．
8．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．
(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
9．如图1所示，E，F分别为正方体的面AD1，BC1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图2中的________．(填上可能的序号)
二、解答题
10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图(尺寸不作严格要求)．
11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．
能力提升
12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．
13．用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？
在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．
2．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样．左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，宽相等”．
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．
1．1.3 中心投影和平行投影
答案
知识梳理
1．平行的 交于一点
2．主视图 左视图 俯视图 左视图 主视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图
作业设计
1．变长
解析 中心投影的性质．
2．两条相交直线或一条直线
3．②④
解析 在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．
4．① 5.四棱锥
6．2 4
解析 三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.
7．7
8．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
9．②③
解析 图②为四边形BFD1E在正方体前后及上下面上的正投影，
③为其在左右侧面上的正投影．
10．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
11．解 该图形的三视图如图所示．
12．解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图所示．
13．解 由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．
1．1．4 直观图画法
【课时目标】 1．了解斜二测画法的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图．
用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
(1)在空间图形中取互相________的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________．
(2)画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于O′，并使∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝________，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面．
(3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度________；平行于y轴的线段，长度为原来的________．
一、填空题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有__________(填序号)．
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD的形状是____________．
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是______(填序号)．
5．△ABC面积为10，以它的一边为x轴画出直观图，其直观图的面积为________．
6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是______________．
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．
9．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______．
二、解答题
10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
能力提升
12．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为________．
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量．用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的24倍．
2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．
1．1．4 直观图画法 答案
知识梳理
(1)垂直 90° 90° (2)45° 135° 90°
(4)不变 一半
作业设计
1．①②⑤
解析 由斜二测画法的规则判断．
2．直角梯形
3．8
解析
根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，OB＝22，OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．
4．③
5．522
解析 设△ABC面积为S，
则直观图面积S′＝24S＝522．
6．2＋2
解析 如图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作D′E′∥A′B′交B′C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以SABCD＝2＋2．
图1 图2
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．
8．2．5
解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．
9．22
解析
画出直观图，则B′到x′轴的距离为22?12OA＝24OA＝22．
10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连结V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．
11．解 (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝323≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝12ED，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)连结A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
12．62a2
解析 画△ABC直观图如图(1)所示：
则A′D′＝32a，又∠x′O′y′＝45°，∴A′O′＝62a．
画△ABC的实际图形，
如图(2)所示，AO＝2A′O′＝6a，BC＝B′C′＝a，
∴S△ABC＝12BC?AO＝62a2．
13．
解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
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