2013年普通高考数学科一轮复习精品学案
第36讲 空间向量及其应用
一．标要求：
（1）空间向量及其运算
① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
① 理解直线的方向向量与平面的法向量；
② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；
③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；
④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，向量方法在研究几何问题中的作用。
二．命题走向
本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。
预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。
三．要点精讲
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率
加法交换率：
加法结合率：
数乘分配率：
说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。 平行于 记作 ∥ 。
注意：当我们说 、 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说 、 平行时，也具有同样的意义。
共线向量定理：对空间任意两个向量 （ ≠ ）、 ， ∥ 的充要条是存在实数 使 ＝
注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若 ∥ （ ≠0），则有 ＝ ，其中 是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数 ，使 ＝ （ ≠0），则有 ∥ （若用此结论判断 、 所在直线平行，还需 （或 ）上有一点不在 （或 ）上）。
⑵对于确定的 和 ， ＝ 表示空间与 平行或共线，长度为 ，当 >0时与 同向，当 <0时与 反向的所有向量。
⑶若直线l∥ ， ，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理推导 的表达式。
推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条是存在实数t，满足等式
①
其中向量 叫做直线l的方向向量。
在l上取 ，则①式可化为 ②
当 时，点P是线段AB的中点，则 ③
①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
注意：⑴表示式(?)、(??)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量 的有向线段所在直线与平面 平行或 在 平面内，我们就说向量 平行于平面 ，记作 ∥ 。注意：向量 ∥ 与直线a∥ 的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量 、 不共线，则向量 与向量 、 共面的充要条是存在实数对x、y，使 ①
注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
推论：空间一点P位于平面AB内的充要条是存在有序实数对x、y，使
④
或对空间任一定点O，有 ⑤
在平面AB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面AB的向量表示式。
又∵ 代入⑤，整理得
⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面AB内；对于平面AB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量 、 （或不共线三点、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是、A、B、P四点共面的充要条。
5．空间向量基本定理：如果三个向量 、 、 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
说明：⑴由上述定理知，如果三个向量 、 、 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是 ，这个集合可看作由向量 、 、 生成的，所以我们把{ ， ， }叫做空间的一个基底， ， ， 都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于 可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是 。
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 ，使
6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点O，作 ， ，则角∠AOB叫做向量 与 的夹角，记作
说明：⑴规定0≤ ≤ ,因而 = ；
⑵如果 = ，则称 与 互相垂直，记作 ⊥ ；
⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，
图（3）中∠AOB= ，
图（4）中∠AOB= ,
从而有 = = .
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积： 叫做向量 、 的数量积，记作 。
即 = ，
向量 :
（4）性质与运算率
⑴ 。 ⑴
⑵ ⊥ =0 ⑵ =
⑶ ⑶
四．典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1．有以下命题：①如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线；② 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，那么点 一定共面；③已知向量 是空间的一个基底，则向量 ，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）
①② ①③ ②③ ①②③
解析：对于①“如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。
点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系。
例2．下列命题正确的是（ ）
若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
向量 共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若 ，则存在唯一的实数 使得 ；
解析：A中向量 为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证 不为零向量。
答案C。
点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾。
题型2：空间向量的基本运算
例3．如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若 ， ， ，则下列向量中与 相等的向量是（ ）
解析：显然 ；
答案为A。
点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。
例4．已知： 且 不共面.若 ∥ ,求 的值.
解： ∥ ,,且 即
又 不共面,
点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。
题型3：空间向量的坐标
例5．（1）已知两个非零向量 =（a1，a2，a3）， =（b1，b2，b3），它们平行的充要条是（ ）
A. ： = ： B.a1•b1=a2•b2=a3•b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使 =k
（2）已知向量 =（2，4，x）， =（2，y，2），若 =6， ⊥ ，则x+y的值是（ ）
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
（3）下列各组向量共面的是（ ）
A. =(1，2，3)， =(3，0，2)， =(4，2，5)
B. =(1，0，0)， =(0，1，0)， =(0，0，1)
C. =(1，1，0)， =(1，0，1)， =(0，1，1)
D. =(1，1，1)， =(1，1，0)， =(1，0，1)
解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
（2）A 点拨：由题知 或 ；
（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况。
例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设 = ， = ，（1）求 和 的夹角 ；（2）若向量k + 与k －2 互相垂直，求k的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)， = ， = ，
∴ =(1，1，0)， =（－1，0，2）.
(1)cos = = － ，
∴ 和 的夹角为－ 。
(2)∵k + =k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k －2 =（k+2，k，－4），且(k + )⊥（k －2 ），
∴（k－1，k，2）•（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－ 或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（ + ）(k －2 )=k2 2－k • －2 2=2k2+k－10=0，解得k=－ ，或k=2。
题型4：数量积
例7．设 、 、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（ • ） －（ • ） = ② － < － ③（ • ） －（ • ） 不与 垂直
④（3 +2 ）（3 －2 ）=9 2－4 2中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的数量积不满足结合律.故①假；
②由向量的减法运算可知 、 、 － 恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；
③因为［（ • ） －（ • ） ］• =（ • ） • －（ • ） • =0，所以垂直.故③假；
④（3 +2 ）（3 －2 ）=9• • －4 • =9 2－4 2成立.故④真.
点评：本题考查平面向量的数量积及运算律。
例8．（1）已知向量 和 的夹角为120°，且 =2， =5，则（2 － ）• =_____.
（2）设空间两个不同的单位向量 =(x1，y1，0)， =(x2，y2，0)与向量 =(1，1，1)的夹角都等于 。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求< ， >的大小(其中0＜< ， >＜π 。
解析：（1）答案：13；解析：∵（2 － ）• =2 2－ • =2 2－ • •cos120°=2•4－2•5（－ ）=13。
（2）解：(1)∵ = =1，∴x +y =1，∴x =y =1.
又∵ 与 的夹角为 ，∴ • = cos = = .
又∵ • =x1+y1，∴x1+y1= 。
另外x +y =(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=( )2－1= .∴x1y1= 。
(2)cos< ， >= =x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1= ，x1y1= .∴x1，y1是方程x2－ x+ =0的解.
∴ 或 同理可得 或
∵ ≠ ，∴ 或
∴cos< ， >= • + • = + = .
∵0≤< ， >≤π，∴< ， >= 。
评述：本题考查向量数量积的运算法则。
题型5：空间向量的应用
例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证： + + ≤4 。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点1（1，-2，1）移到点2(3，1，2)，求物体合力做的功。
解析：（1）设 =( ， ， )， =(1，1，1)，
则 =4， = .
∵ • ≤ • ，
∴ • = + + ≤ • =4 .
当 = = 时，即a=b=c= 时，取“=”号。
（2）解：W=F•s=(F1+F2+F3)• =14。
点评：若 =(x，y，z)， =(a，b，c)，则由 • ≤ • ，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查 • ≥ • 的应用，解题时要先根据题设条构造向量 ， ，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题。
例10．如图,直三棱柱 中, 求证:
证明：
同理
又
设 为 中点,则
又
点评：从上述例子可以看出,利用空间向量解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条。
五．思维
本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a•b=a•bcos<a，b>在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为 ，对于中点公式要熟记。
对本讲内容的考查主要分以下三类：
1．以选择、填空题型考查本的基本概念和性质
此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
2．向量在空间中的应用
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
在复习过程中，抓住于本，高于本的指导方针。本讲考题大多数是本的变式题，即于本。因此，掌握双基、精通本是本关键。
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