教案22 二次函数
一、前检测
1.二次函数 的单调递增区间是 . 答案：

2.函数 满足 ，则 的值为（ B ）
A. 5B. 6 C.8 D.与 的值有关

3.若二次函数 在 上是增函数，则m的取值范围是___________.答案：

二、知识梳理
1．二次函数有以下三种解析式：
一般式：__________________________________；顶点式：___________________________________；
零点式：________________________其中 是方程 的根
解读：

2．研究二次函数的图像要抓住开口方向、顶点坐标，讨论二次函数的单调性和最值除抓住开口方向、顶点坐标外，还要抓住对称轴与所给区间的相对位置。
解读：

3．二次函数与一元一次方程、一元二次不等式之间的内在联系及相应转化
① 的图像与x轴交点的横坐标是方程f(x)=0的实根；
②当_______时，f(x)>0恒成立，当_______时，f(x) 0恒成立。结论成立的条是 。
解读：

4．利用二次函数的图像和性质，讨论一元二次方程实根的分布：
设 是方程 的两个实根，写出下列各情况的充要条
①当 时， ；②当在 有且只有一个实根时，
③当在 内有两个不相等的实根时，
④当两根分别在 , 且 时，
解读：

三、典型例题分析
例1 求下列二次函数的解析式
(1) 对任意x满足 ，最小值为 ，与y轴交点坐标为 ；
(2)已知二次函数 满足 且对任意x均满足 .
答案：（1） （顶点式）（2） （待定系数法）

变式训练：（05全国卷Ⅰ）已知二次函数 的二次项系数为 ，且不等式 的解集为 。（Ⅰ）若方程 有两个相等的根，求 的解析式；
（Ⅱ）若 的最大值为正数，求 的取值范围。
解：（Ⅰ）
①
由方程 ②
因为方程②有两个相等的根，所以 ，
即
由于 代入①得 的解析式

（Ⅱ）由
及
由 解得
故当 的最大值为正数时，实数a的取值范围是
小结与拓展：二次函数解析式的三种形式要灵活运用。

例2 已知
（1）若 ，且 在R上恒成立，求 的取值范围； 答案： ；

（2）若不等式 的解集为 ，求 的值； 答案： ；

（3）若方程 的两根满足 ，且 时，求 的取值范围；答案：

变式训练：已知关于 的方程 有实根 .
(1)当 时，求实数 的取值范围； 答案：

(2)当 时，求实数 的取值范围. 答案：

小结与拓展：本题涉及三个 “二次”，即二次函数、二次不等式、二次方程，但如抓住二次函数的图像与x轴的位置关系，即可解决问题。

例3 函数 在区间 上的最小值记为 .
(1)求 的解析式； 答案：

(2)求 的最大值. 答案： 的最大值为1.

变式训练：设函数 ，要使 恒成立，求 的取值范围。 答案：

小结与拓展：注意对二次函数的对称轴和区间的位置关系的讨论。

四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）
1.知识：
2.思想与方法：
3.易错点：
4.反思（不足并查漏）：

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