第四 几个初等函数的性质

一、基础知识
1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a 1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（0，+∞），当0<a<1时，y=ax是减函数，当a>1时，y=ax为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。
2．分数指数幂： 。
3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a 1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R，图象过定点（1，0）。当0<a<1，y=logax为减函数，当a>1时，y=logax为增函数。
4．对数的性质（>0, N>0）；
1）ax= x=log¬a(a>0, a 1)；
2）log¬a¬(N)= log¬a + log¬a N；
3）log¬a（ ）= log¬a - log¬a N；4）log¬a n=n log¬a ；，
5）log¬a = log¬a ；6）alog¬a =; 7) log¬a b= (a,b,c>0, a, c 1).
5. 函数y=x+ （a>0）的单调递增区间是 和 ，单调递减区间为 和 。（请读者自己用定义证明）
6．连续函数的性质：若a<b, f(x)在[a, b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则f(x)=0在（a,b）上至少有一个实根。
二、方法与例题
1．构造函数解题。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求证：ab+bc+ca+1>0.
【证明】 设f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，则f(x)是关于x的一次函数。
所以要证原不等式成立，只需证f(-1)>0且f(1)>0（因为-1<a<1）.
因为f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全为0的实数，b1, b2,…,bn∈R，则（ ）•（ ）≥( )2，等号当且仅当存在 R，使a¬i= , i=1, 2, …, n时成立。
【证明】 令f(x)= （ ）x2-2( )x+ = ,
因为 >0，且对任意x∈R, f(x)≥0，
所以△=4( )-4（ ）( )≤0.
展开得（ ）( )≥( )2。
等号成立等价于f(x)=0有实根，即存在 ，使a¬i= , i=1, 2, …, n。
例3 设x, y∈R+, x+y=c, c为常数且c∈(0, 2]，求u= 的最小值。
【解】u= =xy+ ≥xy+ +2•
=xy+ +2.
令xy=t，则0<t=xy≤ ,设f(t)=t+ ,0<t≤
因为0<c≤2，所以0< ≤1，所以f(t)在 上单调递减。
所以f(t)min=f( )= + ，所以u≥ + +2.
当x=y= 时，等号成立. 所以u的最小值为 + +2.
2．指数和对数的运算技巧。
例4 设p, q∈R+且满足log9p= log12q= log16(p+q)，求 的值。
【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，则p=9 t , q=12 t , p+q=16t，
所以9 t +12 t =16 t，即1+
记x= ，则1+x=x2，解得
又 >0，所以 =
例5 对于正整数a, b, c(a≤b≤c)和实数x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且 ，求证：a+b=c.
【证明】 由ax=by=cz=70w取常用对数得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70，
相加得 (lga+lgb+lgc)= lg70，由题设 ，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，则因为xlga=wlg70，所以w=0与题设矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c为70的正约数，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 已知x 1, ac 1, a 1, c 1. 且logax+logcx=2logbx，求证c2=(ac)logab.
【证明】 由题设logax+logcx=2logbx，化为以a为底的对数，得
，
因为ac>0, ac 1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调性的应用和未知数范围的讨论。
例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化为 =1。设f(x)= , 则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，因为f(3)=1，所以方程只有一个解x=3.
例8 解方程组： （其中x, y∈R+）.
【解】 两边取对数，则原方程组可化为 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程组的解为 .
例9 已知a>0, a 1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围。
【解】由对数性质知，原方程的解x应满足 .①②③
若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解 .
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
当k=0时，④无解；当k 0时，④的解是x= ，代入②得 >k.
若k<0，则k2>1，所以k<-1；若k>0，则k2<1，所以0<k<1.
综上，当k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。

三、基础训练题
1．命题p: “(log¬23)x-(log¬53)x≥(log¬23)-y-(log¬53)-y”是命题q:“x+y≥0”的_________条。
2．如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，则x1+x2=_________.
3．已知f(x)是定义在R上的增函数，点A（-1，1），B（1，3）在它的图象上，y=f-1(x)是它的反函数，则不等式f-1(log2x)<1的解集为_________。
4．若log2a <0，则a 取值范围是_________。
5．命题p: 函数y=log¬¬2 在[2，+∞）上是增函数；命题q: 函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条。
6．若0<b<1, a>0且a 1，比较大小：loga(1-b)_________loga(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________。
8．若x= ，则与x最接近的整数是_________。
9．函数 的单调递增区间是_________。
10．函数f(x)= 的值域为_________。
11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n为给定正整数, n≥2, a∈R.若f(x)在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程 =2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)= +lg(x2-1)的定义域是_________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈ 时恒成立，则m的取值范围是_________.
3．若x∈{xlog2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是_________.
4. 若f(x)=ln ，则使f(a)+f(b)= _________.

5. 命题p: 函数y=log¬2 在[2，+∞）上是增函数；命题q：函数y=log2(ax2-4x+1)的值域为R，则p是q的_________条.
6．若0<b<1, a>0且a 1，比较大小：log¬a(1-b) _________log¬a(1+b).
7．已知f(x)=2+log3x, x∈[1, 3]，则函数y=[f(x)]2+f(x2)的值域为_________.
8．若x= ，则与x最接近的整数是_________.
9．函数y= 的单调递增区间是_________.
10．函数f(x)= 的值域为_________.
11．设f(x)=lg[1+2x+3 x +…+(n-1) x +n x•a]，其中n为给定正整数，n≥2,a∈R。若f(x) 在x∈(-∞,1]时有意义，求a的取值范围。
12．当a为何值时，方程 =2有一解，二解，无解？
四、高考水平训练题
1．函数f(x)= +lg(x2-1)的定义域是__________.
2．已知不等式x2-logmx<0在x∈ 时恒成立，则m的取值范围是 ________.
3．若x∈{xlog2x=2-x}，则x2, x, 1从大到小排列是________.
4．若f(x)=ln ，则使f(a)+f(b)= 成立的a, b的取值范围是________.
5．已知an=logn(n+1)，设 ，其中p, q为整数，且(p ,q)=1，则p•q的值为_________.
6．已知x>10, y>10, xy=1000，则(lgx)•(lgy)的取值范围是________.
7．若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解，则实数k的取值范围是________.
8．函数f(x)= 的定义域为R，若关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b, c应满足的充要条是________.
（1）b<0且c>0；（2）b>0且c<0；（3）b<0且c=0；（4）b≥0且c=0。
9．已知f(x)= x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t 0)，则F(x)是________函数（填奇偶性）.
10．已知f(x)=lg ，若 =1， =2，其中a<1, b<1，则f(a)+f(b)=________.
11．设a∈R，试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数。
12．设f(x)=lgx，实数a, b满足0<a<b, f(a)=f(b)=2f ，求证：
（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3<b<4.
13．设a>0且a 1, f(x)=loga(x+ )(x≥1)，（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）若f-1(n)< (n∈N+)，求a的取值范围。
五、联赛一试水平训练题
1．如果log2[log (log2x)]= log3[log (log3x)]= log5[log (log5z)]=0，那么将x, y, z从小到大排列为___________.
2．设对任意实数x0> x1> x2> x3>0，都有log 1993+ log 1993+ log 1993> klog 1993恒成立，则k的最大值为___________.
3．实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则 的值为___________.
4．已知0<b<1, 00<α<450，则以下三个数：x=(sinα)logbsina, y=(cosα) logbsina, z=(sinα) logbsina从小到大排列为___________.
5．用[x]表示不超过x的最大整数，则方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是___________.
6．设a=lgz+lg[x(yz)-1+1], b=lgx-1+lg[xyz+1], c=lgy+lg[(xyz)-1+1]，记a, b, c中的最大数为，则的最小值为___________.
7．若f(x)(x∈R)是周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)= ，则 ， 由小到大排列为___________.
8．不等式 +2>0的解集为___________.
9．已知a>1, b>1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).
10．（1）试画出由方程 所确定的函数y=f(x)图象。
（2）若函数y=ax+ 与y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a的取值范围。
11．对于任意n∈N+(n>1)，试证明：[ ]+[ ]+…+[ ]=[log2n]+[log3n]+…+[lognn]。
六、联赛二试水平训练题
1．设x, y, z∈R+且x+y+z=1，求u= 的最小值。
2．当a为何值时，不等式log •log5(x2+ax+6)+loga3≥0有且只有一个解（a>1且a 1）。
3．f(x)是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条；对于任何x, y>1及u, v>0, f(xuyv)≤[f(x)] [f(y)] ①都成立，试确定所有这样的函数f(x).
4. 求所有函数f：R→R，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)①成立。
5．设m≥14是一个整数，函数f：N→N定义如下：
f(n)= ,
求出所有的m,使得f(1995)=1995.
6．求定义在有理数集上且满足下列条的所有函数f:
f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)•f(y), x, y∈Q.
7．是否存在函数f(n)，将自然数集N映为自身，且对每个n>1, f(n)=f(f(n-1))+f(f(n+1))都成立。
8．设p, q是任意自然数，求证：存在这样的f(x) ∈Z(x)（表示整系数多项式集合），使对x轴上的某个长为 的开区间中的每一个数x, 有
9．设α，β为实数，求所有f: R+→R，使得对任意的x,y∈R+, f(x)f(y)=y2•f 成立。

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