【—上海方差】方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。

　　方差

　　方差是实际值与期望值之差平方的期望值，而标准差是方差算术平方根。 在实际计算中，我们用以下公式计算方差。

　　即s^2=(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]，其中，x_表示样本的平均数，n表示样本的数量，xn表示个体，而s^2就表示方差。

　　而当用(1/n)[(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的(n-1)/n倍，[1/(n-1)][(x1-x_)^2+(x2-x_)^2+...+(xn-x_)^2]的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有“无偏性”，所以我们总是用[1/(n-1)]∑(xi-X~)^2来估计X的方差，并且把它叫做“样本方差”。

　　方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度!用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)并把它叫做这组数据的方差。记作S²。 在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。

　　定义　　设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。

　　即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，而σ(X)=D(X)^0.5(与X有相同的量纲)称为标准差(或均方差)。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。

　　方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。(标准差.方差越大，离散程度越大。否则，反之)

　　若X的取值比较集中，则方差D(X)较小

　　若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。

　　因此，D(X)是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。

　　计算

　　由定义知，方差是随机变量 X 的函数

　　g(X)=∑[X-E(X)]^2 pi

　　数学期望。即：

　　由方差的定义可以得到以下常用计算公式：

　　D(X)=∑xi²pi-E(x)²

　　D(X)=∑(xi²pi+E(X)²pi-2xipiE(X))

　　=∑xi²pi+∑E(X)²pi-2E(X)∑xipi

　　=∑xi²pi+E(X)²-2E(X)²

　　=∑xi²pi-E(x)²

　　方差其实就是标准差的平方。

　　几个重要性质

　　(1)设c是常数，则D(c)=0。

　　(2)设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。

　　(3)设 X 与 Y 是两个随机变量，则

　　D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

　　特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0(常见协方差)，

　　则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况。

　　(4)D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。

　　(5)D(aX+bY)=a^2DX+b^2DY+2abE{[X-E(X)][Y-E(Y)]}。

　　很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。

本文来自：逍遥右脑记忆 /chuzhong/239003.html

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