单元检测七 圆
(时间：120分钟 总分：120分)
一、(每小题3分，共30分)
1．如图，量角器外缘边上有A，P，Q三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ的大小为( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．图中圆与圆之间不同的位置关系有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 c，以点C为圆心，以2 c的长为半径作圆， 则⊙C与AB的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
4．如图，⊙O1，⊙O2，⊙O3两两相外切，⊙O1的半径r1＝1，⊙O2的半径r2＝2，⊙O3的半径r3＝3，则△O1O2O3是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数是( )
A．40° B ．30° C．20° D．10°
6．已知圆锥的底面半径为1 c，母线长为3 c，则圆锥的侧面积是( )
A．6 c2 B．3π c2 C．6π c2 D．3π2 c2
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知弦心距O＝3，则此正六边形的边长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．在Rt△ABC中，斜边AB＝4，∠B＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转60°，顶点C运动的路线长是( )
A．π3 B．2π3 C．π D．4π3
9．如图是一个有盖子的圆柱体水杯，底面周长为6π c，高为18 c，若盖子与杯体的重合部分忽略不计，则制作10个这样的水杯至少需要的材料是( )
A．108π c2 B．1 080π c2C．126π c2 D．1 260π c2
10．如图，在直角坐标系中，四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙与x轴相切，若点A的坐标为(0,8)，则圆心的坐标为( )
A．(4,5) B．(－5,4)C．(－4,6) D．(－4,5)
二、题(每小题3分，共24分)
11．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝26°，则∠ACB的度数为__________．
12．如图，宽为2 c的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：c)，则该圆的半径为__________c.
13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连接CA，CB，DC，DB．已知∠D＝30°，BC＝3，则AB的长是__________．
14．如图，⊙O1，⊙O2的直径分别为2 c和4 c，现将⊙O1向⊙O2平移，当O1O2＝__________ c时，⊙O1与⊙O2相切．
15．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为α，tan α＝43，则圆锥的底面积是__________平方米(结果保留π)．
16．如图，在半径为5，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D，E在OB上，点F在 上，则阴影部分的面积为__________(结果保留π)．
17．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC中点O为圆心，12AC长为半径作⊙O，交BC于E，过点O作OD∥BC交⊙O于点D，连接AD，DC．若∠DAO＝65°，则∠B＋∠BAD＝____________.
18．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S四边形ADCE∶S正方形ABCD的值为__________．
三、解答题(共66分)
19．(6分)如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边 三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD．
20．(6分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G.求证：BC2 ＝BG•BF.
21．(8分)已知在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧 上取一点E使∠EBC＝∠DEC，延长BE依次交AC于点G，交⊙O于点H.
(1)求证：AC⊥BH；
(2)若∠ABC＝45°，⊙O的直径等于10，BD＝8，求CE的长．
22．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 c，BC＝8 c，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2 c/s的速度运动，以P为圆心，PQ的长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s.
(1)当t＝1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
(2)已知⊙O为△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值．
23. (9分)如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
(1)求证：AC平分∠BAD；
(2)过点O作线段AC的垂线OE，垂足为点E(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(3)若CD＝4，AC＝45，求垂线段OE的长．
24. (9分)如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，F是⊙O上的点，且 .
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若sin C＝ 35，AE＝32，求sin F的值和AF的长．
25．(10分)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
26．(10分)如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4.
(1)求证：△ABE∽△ADB；
(2)求AB的长；
(3)延长DB到F，使得BF＝BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．
参考答案
一、1.B 如图，由圆周角与圆心角的关系，可得∠BAP＝35°，∠BAQ＝15°，
∴∠PAQ＝20°.故选B.
2．A
3．B 如图，过点C作CD⊥AB于D.
∵∠B＝30°，BC＝4 c，
∴CD＝2 c，
即点C到AB的距离等于⊙C的半径．
故⊙C与AB相切，故选B.
4．B 由题意，可得O1O2＝3，O2O3＝5，O1O3＝4.
∵32＋42＝52，∴△O1O2O3是直角三角形．故选B.
5．C ∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，OA⊥PA.
∴∠PAB＝∠PBA＝12(180°－∠P)＝70°，∠PAC＝90°.
∴∠BAC＝∠PAC－∠PAB＝20°.
6．B 7.D 8.B 9.D 10.D
二、11.32°
12.134 如图，EF＝8－2＝6(c)，DC＝2 c，
设OF＝R，则OD＝R－2.
在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，
∴(R－2)2＋622＝R2，∴R＝134.
13．6 14.1或3
15．36π 由题意可知△AOB为直角三角形，tan α＝AOOB，即43＝8OB，解得OB＝6，
所以底面⊙O的面积为πR2＝π•62＝36π.
16.58π－32 如图，连接OF，
∵∠AOB＝45°，∠CDO＝90°，
∴OD＝CD.
又∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝EF＝DE.
设正方形的边长为x，
则OE＝2x，EF＝x，在Rt△OEF中，OE2＋EF2＝OF2，(2x)2＋x2＝(5)2，
则x＝1，
∴S阴影＝S扇形AOB－S△COD－S正方形CDEF＝45360π(5)2－12×1×1－12＝58π－32.
17．65° 18.58
三、19.(1)证明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．
(2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于D，∴OD＝12OB＝4.
20．证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
又CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A.
又∠A＝∠F，∴∠BCG＝∠F.
又∠CBG＝∠FBC，∴△BCG∽△BFC.
∴BCBG＝BFBC.∴BC2＝BG•BF.
21．解：(1)证明：连接AD(如图)，
∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，
∴∠DAC＝∠EBC.
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
∴∠DCA＋∠DAC＝90°.∴∠EBC＋∠DCA＝90°.
∴∠BGC＝180°－(∠EBC＋∠DCA)＝180°－90°＝90°.
∴AC⊥B H.
(2)∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45 °，
∴∠BAD＝45°.∴BD＝AD.∵BD＝8，∴AD＝8.
又∵∠ADC ＝90°，AC＝10，
∴DC＝AC2－AD2＝102－82＝6.
∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD，
∴△BCG∽△ACD.∴CGDC＝BCAC.
∴CG6＝1410.∴CG＝425.
连接AE.
∵AC是直径，∴∠AEC＝90°.
又∵EG⊥AC，∴△CEG∽△CAE.
∴CEAC＝CGCE.∴CE2＝AC•CG＝425×10 ＝84.
∴CE＝84＝221.
22．解：(1)直线AB与⊙P相切．
如图，过P作PD⊥AB，垂足为D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝6 c，BC＝8 c，
∴AB＝AC2＋BC2＝10 c.
∵P为BC中点，∴PB＝4 c.
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC.
∴PDAC＝PBAB，即PD6＝410.
∴PD＝2.4(c)．
当t＝1.2时，PQ＝2t＝2.4(c)．
∴PD＝PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径．∴直线AB与⊙P相切．
(2)∵∠ACB＝90°，
∴AB为△ABC的外接圆的直径．
∴OB＝12AB＝5 c.连接OP，如图．
∵P为BC中点，
∴OP＝12AC＝3 c.
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切．
∴5－2t＝3或2t－5＝3.
∴t＝1或4.
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4.
23．解：(1)证明：连接OC，∵CD切⊙O于点C，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.
∴∠OCA＝∠DAC.
∵OC＝OA，∴ ∠OCA＝∠OAC.∴∠OAC＝∠DAC.
∴AC平分∠DAB.
(2)如图所示．
(3)在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝45，
∴AD＝AC2－CD2＝(45)2－42＝8.
∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝12AC＝25.
∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC.
∴OECD＝AEAD.
∴OE＝AEAD×CD＝258×4＝5，
即垂线段OE的长为5.
24．(1)证明：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA.
又∵∠C＝∠DBC，
∴∠DBA＋∠DBC＝12×180°＝ 90°.
∴AB⊥BC.
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．
(2)解：如图，连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°.
∴∠EBC+∠C=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°.
∴∠C=∠ABE.
又∵∠AFE=∠ABE，
∴∠AFE=∠C.
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sin C.
∴sin∠AFE=35 .
连接BF，
∴∠AFB=90°.
在Rt△ABE中，AB=AEsin∠ABE=52.
∵ = ，
∴AF=BF=5.
25．(1)证明：连接OC.
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝90°.
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°.
∴S扇形OBC＝60π×22360＝23π.
在Rt△OCD中，CD＝OC•tan 60°＝23.
∴SRt△OCD＝12OC•CD＝12 ×2×23＝23.
∴图中阴影部分的面积为23－23π.
26．解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D.
又∵∠BAE＝∠EAB，
∴△ABE∽△ADB.
(2)∵△ABE∽△ADB，∴ABAD＝AEAB，
∴AB2＝AD•AE＝(AE＋ED)•AE＝(2＋4)×2＝12，
∴AB＝23.
(3)直线FA与⊙O相切，理由如下：
连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，
∴BD＝AB2＋AD2＝12＋(2＋4)2＝43，
BF＝BO＝12BD＝23.
∵AB＝23，∴BF＝BO＝AB，可证∠OAF＝90°，
∴直线FA与⊙O相切．
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