安徽省芜湖市繁昌三中2015届九年级上学期第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分；每题只有一个选项正确）
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．若a是方程2x2?x?3=0的一个解，则6a2?3a的值为（）
A． 3 B． ?3 C． 9 D． ?9
3．已知点A（a，2013）与点A′（?2014，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（）
A． 1 B． 5 C． 6 D． 4
4．二次函数y=6（x?2）2+1，则下列说法正确的是（）
A． 图象的开口向下 B． 函数的最小值为1
C． 图象的对称轴为直线x=?2 D． 当x＜2时，y随x的增大而增大
5．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=?2，x2=4，则b+c的值是（）
A． ?10 B． 10 C． ?6 D． ?1
6．如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的 ，则路宽x应满足的方程是（）
A． （40?x）（70?x）=350 B． （40?2x）（70?3x）=2450
C． （40?2x）（70?3x）=350 D． （40?x）（70?x）=2450
7．如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO=3，CO=6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）
A． x＜?1 B． x＞3 C． ?1＜x＜3 D． x＜?1或x＞3
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．设x1，x2是方程x（x?1）=3（1?x）的两根，则|x1?x2|=．
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．
13．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=?x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 万元．
14．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），给出以下五个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF= S△ABC；④EF=AP；⑤BE+CF=EF；上述结论中始终正确的有．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：3（x+1）（x?1）+2（x?5）=?7．
16．如图①，是用3根相同火柴棒拼成的一个三角图形，记为一个基本图形，将此基本图形不断的复制，使得相邻的两个基本图形的边重合，这样得到图②，图③…
（1）观察以上图形，图④中所用火柴棒的根数为，
猜想：在图n中，所用火柴棒的根数为（用n表示）；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（ ，y1），则y1=；O2014的坐标为．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（?5，?5），B（?1，?3），C（?3，?1）．
（1）按要求画出变换后的图形：
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②以原点O为旋转中心，把△A1B1C1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2；
（2）若将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，使点C落在△A2B2C2内部，指出m、n的取值范围．
18．关于x的一元二次方程（k?3）x2?3x+2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服，其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元，2015年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，销售总收入为58.6万元．
（1）求羽绒服和防寒服的售价；
（2）春节后销售进入淡季，售价不变，2015年2、3月份羽绒服销量比上一个月都下滑了m%，结果3月份羽绒服的销售总收入为14万元，求m的值．
20．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点（0，3a），对称轴为x=1．
（1）试用含a的代数式表示b、c．
（2）当抛物线与直线y=x?1交于点（2，1）时，求此抛物线的解析式．
（3）求当b（c+6）取得最大值时的抛物线的顶点坐标．
六、解答题（本题满分12分）
21．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点，连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
七、解答题（本题满分12 分）
22．在等腰△ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．
（1）如图1，若∠BAC=30°，30°＜m＜l80°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；
（2）如图2，若∠BAC=60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值．
（3）如图3，若∠BAC=90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使AE：BE= ，若存在，求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由．
八、解答题（本题满分14分）
23．已知二次函数y=mx2?（m?1）x?1．
（1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）若这个二次函数有最大值0，求m的值；
（3）我们定义：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足2＜ ＜3，则称这个二次函数与x轴有两个“梦想交点”．如果二次函数y=mx2?（m?1）x?1与x轴有两个“梦想交点”，求m的取值范围．
安徽省芜湖市繁昌三中2015届九年级上学期第二次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分；每题只有一个选项正确）
1．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
考点： 中心对称图形．
分析： 根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
解答： 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
点评： 本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2．若a是方程2x2?x?3=0的一个解，则6a2?3a的值为（）
A． 3 B． ?3 C． 9 D． ?9
考点： 一元二次方程的解．
分析： 将a代入方程2x2?x?3=0中，再将其变形可得所要求代数式的值．
解答： 解：若a是方程2x2?x?3=0的一个根，则有
2a2?a?3=0，
变形得，2a2?a=3，
故6a2?3a=3×3=9．
故选C．
点评： 此题主要考查了方程解的定义及运算，此类题型的特点是，直接将方程的解代入方程中，再将其变形即可求出代数式的值．
3．已知点A（a，2013）与点A′（? 2014，b）是关于原点O的对称点，则a+b的值为（）
A． 1 B． 5 C． 6 D． 4
考点： 关于原点对称的点的坐标．
分析： 根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
解答： 解：∵点A（a，2013）与点A′（?2014，b）是关于原点O的对称点，
∴a=2014，b=?2013，
则a+b的值为：2014?2013=1．
故选：A．
点评： 本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．二次函数y=6（x?2）2+1，则下列说法正确的是（）
A． 图象的开口向下 B． 函数的最小值为1
C． 图象的对称轴为直线x=?2 D． 当x＜2时，y随x的增大而增大
考点： 二次函数的性 质．
分析： A、根据二次函数的二次项系数的符号即可确定其开口方向；
B、根据此抛物线的解析式和开口方向可以确定二次函数的最值；
C、根据此抛物线的解析式可以确定对称轴方程；
D、利用抛物线的对称轴方程和开口方向可以确定函数的增减性．
解答： 解：A、a=6＞0，开口向上，故选项错误；
B、根据该抛物线的解析式知道：二次函数有最小值1，故选项正确；
C、根据该抛物线的解析式知道：抛物线的对称轴是直线x=1，故选项错误；
D、根据该抛物线的解析式知道：开口方向上，当x＜2时，y随x的增大而增大，故选项错误．
故选B．
点评： 此题主要考查了二次函数的性质和最值，解题关键是会根据抛物线的解析式确定对称轴方程、顶点坐标及最值．
5．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=?2，x2=4，则b+c的值是（）
A． ?10 B． 10 C． ?6 D． ?1
考点： 根与系数的关系．
分析： 根据根与系数的关系得到?2+4=?b，?2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=?2，x2=4，
∴根据根与系数的关系，可得?2+4=?b，?2×4=c，
解得b=?2，c=?8
∴b+c=?10．
故选：A．
点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=? ，x1x2= ．
6．如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的 ，则路宽x应满足的方程是（）
A． （40?x）（70?x）=350 B． （40?2x）（70?3x）=2450
C． （40?2x）（70?3x）=350 D． （40?x）（70?x）=2450
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．
分析： 设路宽为x，所剩下的观赏面积的宽为（40?2x），长为（70?3x）根据要使观赏路面积占总面积 ，可列方程求解．
解答： 解：设路宽为x，
（40?2x）（70?3x）=（1? ）×70×40，
（40?2x）（70?3x）=2450．
故选B．
点评： 本题考查理解题意的能力，关键是表示出剩下的长和宽，根据面积列方程．
7．如图，在等边△ABC中，点O在AC上，且AO=3，CO=6，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 8
考点： 旋转的性质；平行线的性质；全等三角形的判定；等边三角形的性质．
专题： 压轴题；动点型．
分析： 由于将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，当点D恰好落在BC上时，易得：△ODP是等边三角形，根据旋转的性质可以得到△AOP≌△CDO，由此可以求出AP的长．
解答： 解：当点D恰好落在BC上时，OP=OD，∠A=∠C=60°．
∵∠POD=60°
∴∠AOP+∠COD=∠COD+∠CDO=120°，
∴∠AOP=∠CDO，
∴△AOP≌△CDO，
∴AP=CO=6．
故选C．
点评： 此题要把旋转的性质和等边三角形的性质结合求解．属探索性问题，难度较大，近年来，探索性问题倍受2015届中考命题者青睐，因为它所强化的数学素养，对学生的后续学习意义深远．
8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）
A． x＜?1 B． x＞3 C． ?1＜x＜3 D． x＜?1或x＞3
考点： 二次函数与不等式（组）．
专题： 数形结合．
分析： 根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．
解答： 解：由图可知，x＜?1或x＞3时，y＞0．
故选：D．
点评： 本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）
A． B． C． D．
考点： 旋转的性质；正方形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可．
解答： 解：连接AC1，
∵四边形AB1C1D1是正方形，
∴∠C1AB1= ×90°=45°=∠AC1B1，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，
∴∠B1AB=45°，
∴∠DAB1=90°?45°=45°，
∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB1C1D1的边长是1，
在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1= = ，
则DC1= ?1，
∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°，
∴∠C1OD=45°=∠DC1O，
∴DC1=OD= ?1，
∴S△ADO= ×OD•AD= ，
∴四边形AB1OD的面积是=2× = ?1，
故选：C．
点评： 本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．
10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（）
A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象；正比例函数的图象；二次函数的图象；三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 过A作AD⊥x轴于D，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD，根据三角形的面积即可求出答案．
解答： 解：过A作AD⊥x轴于D，
∵OA=OC=4，∠AOC=60°，
∴OD=2，
由勾股定理得：AD=2 ，
①当0≤t＜2时，如图所示，ON=t，MN= ON= t，S= ON•MN= t2；
②2≤t≤4时，ON=t，MN=2 ，S= ON•2 = t．
故选：C．
点评： 本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．设x1，x2是方程x（x?1）=3（1?x）的两根，则|x1?x2|=4．
考点： 解一元二次方程-因式分解法．
专题： 计算题．
分析： 先移项得到x（x?1）+3（x?1）=0，再利用因式分解法解得所以x1=1，x2=?3，然后代入计算即可．
解答： 解：x（x?1）+3（x?1）=0，
（x?1）（x+3）=0，
所以x1=1，x2=?3，
所以|x1?x2|=|1?（?3）|=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为12．
考点： 中心对称；菱形的性质．
专题： 几何图形问题．
分析： 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．
解答： 解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积= ×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积= ×24=12．
故答案为：12．
点评： 本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
13．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：y1=?x2+10x，y2=2x，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46 万元．
考点： 二次函数的应用．
分析： 设在甲地销售了a辆，则在乙地销售了（15?a）辆，则y1=?a2+10a，y2=2（15?a），设总利润为W元，根据总利润等于两地的利润之和表示出W与x之间的关系式就可以求出结论．
解答： 解：设总利润为W元，在甲地销售了a辆，则在乙地销售了（15?a）辆，则y1=?a2+10a，y2=2（15?a），由题意，得
W??a2+10a+2（15?a），
=?a2+8a+30，
=?（a?4）2+46．
∴a=?1＜0，
∴a=4时，W最大=46．
故答案为：46．
点评： 本题考查了销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，二次函数的性质的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
14．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），给出以下五个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF= S△ABC；④EF=AP；⑤BE+CF=EF；上述结论中始终正确的有①②③．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析： 根据等腰直角三角形的性质可得∠BAP=∠C=45°，AP=CP，根据等角的余角相等求出∠APE=∠CPF，然后利用“角边角”证明△AEP和△CPF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，PE=PF，全等三角形的面积相等求出S四边形AEPF=S△APC，然后解答即可．
解答： 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点P为BC的中点，
∴∠BAP=∠C=45°，AP=CP，
∵∠EPF是直角，
∴∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CPF中，
，
∴△AEP≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，PE=PF，S△APE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△APC，
∴S四边形AEPF= S△ABC，
故①②③正确，
EF= EP≥AP，BE+CF=AB≤EF．
故答案为：①②③．
点评： 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解方程：3（x+1）（x?1）+2（x?5）=?7．
考点： 解一元二次方程-公式法．
专题： 计 算题．
分析： 方程整理后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
解答： 解：方程整理得：3x2+2x?6=0，
这里a=3，b=2，c=?6，
∵△=4+72=76，
∴x= = ．
点评： 此题考查了解一元二次方程?公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
16．如图①，是用3根相同火柴棒拼成的一个三角图形，记为一个基本图形，将此基本图形不断的复制，使得相邻的两个基本图形的边重合，这样得到图②，图③…
（1）观察以上图形，图④中所用火柴棒的根数为9，
猜想：在图n中，所用火柴棒的根数为2n+1（用n表示）；
（2）如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（ ，y1），则y1=1；O2014的坐标为．
考点： 规律型：图形的变化类；规律型：点的坐标．
分析： （1）按照图中火柴的个数填表即可当三角形的个数为：1、2、3、4时，火柴棒的个数分别为：3、5、7、9，由此可以看出当三角形的个数为n时，三角形个数增加n?1个，那么此时火柴棒的个数应该为：3+2（n?1）=2n+1，得出答案；
（2）由等边三角形的性质可知y1=1，则O1的坐标为（ ，1），O2的坐标为（2 ，2），O3的坐标为（3 ，1），O4的坐标为（4 ，2），…O2014的坐标为．
解答： 解：（1）观察以上图形，图④中所用火柴棒的根数为9，
猜想：在图n中，所用火柴棒的根数为2n+1（用n表示）；
（2）将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图形的中心O1的坐标为（ ，y1，O2的坐标为（2 ，2），O3的坐标为（3 ，1），O4的坐标为（4 ，2），…O2014的坐标为．
故答案为：（1）9；2n+1；（2）1；．
点评： 此题主要考查了图形变化类，本题解题关键根据第一问的结果总结规律是得到规律：三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加2根，然后由此规律解答．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（?5，?5），B（?1，?3），C（?3，?1）．
（1）按要求画出变换后的图形：
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
②以原点O为旋转中心，把△A1B1C1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2；
（2）若将△ABC向右平移m个单位，向上平移n个单位，使点C落在△A2B2C2内部，指出m、n的取值范围．
考点： 作图-旋转变换；作图-轴对称变换；作图-平移变换．
专题： 作图题．
分析： （1）①根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的 位置，然后顺次连接即可；
②根据网格结构找出点A1、B1、C1以原点O为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质解答即可．
解答： 解：（1）①△A1B1C1如图所示；
②△A2B2C2如图所示；
（2）由图可知，4＜m＜8，2＜n＜6．
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，利用轴对称变化作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18．关于x的一元二次方程（k?3）x2?3x+2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则k?3≠0，△＞ 0，公共部分就是k的取值范围．
（2）通过（1）中k的取值范围确定出k的值，依次代入求出一元二次方程的解，满足两根都是整数就可以．
解答： 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴
解得， ．
（2）k的正整数值为1、2、4
如果k=1，原方程为?2x2?3x+2=0．
解得x1=?2， ，不符合题意 舍去．
如果k=2，原方程为?x2?3x+2=0，
解得 ，不符合题意，舍去．
如果k=4，原方程为x2?3x+2=0，解得x1=1，x2=2，符合题意．
∴k=4．
点评： 这道题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2?4ac的关系是解答此题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．某商场销售一种品牌羽绒服和防寒服，其中羽绒服的售价是防寒服售价的5倍还多100元，2015年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，销售总收入为58.6万元．
（1）求羽绒服和防寒服的售价；
（2）春节后销售进入淡季，售价不变，2015年2、3月份羽绒服销量比上一个月都下滑了m%，结果3月份羽绒服的销售总收入为14万元，求m的值．
考点： 一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）设防寒服的售价为x元，则羽绒服的售价为（5x+100）元，根据销售总收入为58.6万元列出方程，解方程即可；
（2）根据2015年2月份羽绒服销量下滑了m%，羽绒服销量不变，结果销售总收入下降为14万元列出方程，解方程即可．
解答： 解：（1）设防寒服的售价为x元，则羽绒服的售价为（5x+100）元，
∵2015年1月份（春节前期）共销售500件，羽绒服与防寒服销量之比是4：1，
∴羽绒服与防寒服销量分别为：400件和100件，
根据题意得出：400（5x+100）+100x=58.6万，
解得：x=260，∴5x+100=1400（元），
答：羽绒服和防寒服的售价为：1400元，260元；
（2）∵2015年2月份羽绒服销量下滑了m%，羽绒服销量不变，结果销售总收入下降为14万元，
∴1400×400（1?m%）2=140000，
解得：m1=50，m2=150（不合题意舍去）．
答：m的值为50．
点评： 本题考查了一元一次方程与一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点（0，3a），对称轴为x=1．
（1）试用含a的代数式表示b、c．
（2）当抛物线与直线y=x?1交于点（2，1）时，求此抛物线的解析式．
（3）求当b（c+6）取得最大值时的抛物线的顶点坐标．
考点： 二次函数的性质；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
专题： 压轴题．
分析： （1）根据抛物线与y轴的交点可以得到c与a的关系，根据对称轴可以得到b与a的关系；
（2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a、b、c的值即可求得其解析式；
（3）b（c+6）=?2a（3a+6）=?6a2?12a=?6（a+1）2+6，从而确定a的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．
解答： 解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3a）
∴c=3a
∵对称轴为=1，
∴x=? =1
∴b=?2a；
（2）∵抛物线与直线y=x?1交于点（2，1），
∴（2，1）在抛物线上，
∴1=a×22+2（?2a）+3a
∴a=
∴b=?2a=? c=3a=1
∴抛物线为y= x2? x+1；
（3）∵b（c+6）=?2a（3a+6）=?6a2?12a=?6（a+1）2+6
当a=?1时，b（c+6）的最大值为6；
∴抛物线y=?x2+2x?3=?（x?1）2?2
故抛物线的顶点坐标为（1，?2）．
点评： 本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值及待定系数法确定二次函数的解析式，正确的利用三个系数之间的关系是解决本题的关键．
六、解答题（本题满分12分）
21．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴相交于点E（8，0），抛物线的顶点A在第四象限，点A到x轴的距离AB=4，点P（m，0）是线段OE上一动点， 连结PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，过点C作y轴的平行线交x轴于点G，交抛物线于点D，连结BC和AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．
考点： 二次函数综合题；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；作图-旋转变换．
专题： 综合题；数形结合．
分析： （1）根据题意先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）通过三角形全等求得PG=AB，CG=PB，分类讨论P在B点的左边与右边，从而求得C的坐标；
（3）分类讨论点P在OB上时、OE上时，把C的横坐标代入抛物线的解析式求得D的坐标，然后根据平行四边形的对边相等列出等式，解这个方程即可求得m的值，进而求得P的坐标；
解答： 解：（1）由题意可知：A（4，?4），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点、点E（8，0 ）和A（4，?4），则
，
解得： ．
∴抛物线的解析式为：y= x2?2x．
（2）∵∠APC=90°
∴∠APB+∠CPG=90°
∵AB⊥PE
∴∠APB+∠PAB=90°
∴∠CPG=∠PAB
∵∠ABP=∠PGC=90°，PC=PA
∴△ABP≌△PGC
∴PB=CG，AB=PG=4
∵P（m，0），OP=m，且点P是线段OE上的动点
∴PB=CG=|4?m|，OG=|m+4|
①如图1，当点P在点B左边时，点C在x轴上方，
m＜4，4?m＞0，PB=CG=4?m
∴C（m+4，4?m）
②如图2，当点P在点B右边时，点C在x轴下方，
m＞4，4?m＜0，
∴PB=|4?m|=?（4?m）=m?4
∴CG=m?4
∴C（m+4，4?m）
综上所述，点C坐标是C（m+4，4?m）
（3）
如图1，当点P在OB上时，
∵CD∥y轴，则CD⊥O E
∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x=m+4代入y= x2?2x得
化简得：
∴D（m+4， ）
∴CD=4?m?（ ）=
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=4，
∴ =4
解得： ，
∵点P在线段OE上，
∴ 不符合题意，舍去
∴P（ ，0）
如图2，当点P在线段BE上时，
∵C（m+4，4?m）
∵点D在抛物线上，横坐标是m+4，将x=m+4代入y= x2?2x得
化简得：
∴D（m+4， ）
∴CD= m2?4?（4?m）= ，
∵四边形ABDC是平行四边形
∴AB=CD=4，
∴
解得 ，
∵点P在线段OE上，
∴ 不符合题意，舍去
∴P（ ，0）
综上所述，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为P（ ，0）或P（ ，0）
点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等的判定和性质、平行四边形的性质、函数图象的交点的求法，综合性强，需要主要分类讨论，能力要求较高．考查学生数形结合的数学思想方法．
七、解答题（本题满分12分）
22．在等腰△ABC中，AB=AC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD．
（1）如图1，若∠BAC=30°，30°＜m＜l80°，连接BD，请用含m的式子表示∠DBC的度数；
（2）如图2，若∠BAC=60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值．
（3）如图3，若∠BAC=90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存 在旋转角度m，使AE：BE= ，若存在，求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由．
考点： 等腰三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质．
专题： 存在型．
分析： （1）根据三角形内角和和等腰三角形的性质分别求出∠ABC，∠ABD的度数，相减即可求解；
（2）分四种情况： 讨论得到△BDC为等腰三角形时m的取值；
（3）分E点在BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．
解答： 解：（1）∠ABC=（180°?30°）÷2=75°，
∠ABD=（180°?m）÷2=90°? m，
∠DBC=∠ABC?∠ABD=75°?（90°? m）= m?15°；
（2）由分析图形可知m的取值为：30°，120°，210°，300°；
（3）存在2个符合条件的m的值：m=30°或m=330°．
如图①：过E作EF⊥AB于F．
在Rt△BEF中，∵∠FBE=45°，
∴BE= EF，
∵A E：BE= ；
∴AE=2EF；
又∵∠AFE=90°；
∴∠FAE=30°．即m=30°
在Rt△AEF中，∵∠FAE=30°，
∴AE=2EF，
∴AE：BE= ；
如图②：同理可得：AE：BE= ．
点评： 综合考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，注意分类思想的运用，是考试压轴题，难度较大．
八、解答题（本题满分14分）
23．已知二次函数y=mx2?（m?1）x?1．
（1）求证：这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）若这个二次函数有最大值0 ，求m的值；
（3）我们定义：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴正半轴的两个交点的横坐标x1、x2（x1＞x2），满足2＜ ＜3，则称这个二次函数与x轴有两个“梦想交点”．如果二次函数y=mx2?（m?1）x?1与x轴有两个“梦想交点”，求m的取值范围．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）由根的判别式就可以得出△的值就可以得出结论；
（2）将二次函数化为顶点式y=m（x? ）2? ?1，求出顶点坐标，由 =0建立方程求出其解即可；
（3）当y=0时表示出x的值，用代数式表示出x1、x2，再由2＜ ＜3建立不等式组就可以求出结论．
解答： 解：（1）∵y=mx2?（m?1）x?1．
∴当y=0时，mx2?（m?1）x?1=0．
∴a=m，b=?（m?1），c=?1，
∴△=[?（m?1）]2?4m（?1）=m2?2m+1+4m，
∴△=（m+1）2≥0，
∴这个二次函数的图象一定与x轴有交点；
（2）∵y=mx2?（m?1）x?1，
∴y=m（x? ）2? ×m?1，
∴x= 时，y的最大值为? ×m?1．
∵这个二次函数有最大值为0，
∴? ×m?1=0．
解得：m=?1．
答：二次函数有最大值为0时，m的值为?1；
（3）∵y=mx2?（m?1）x?1，
∴当y=0时，
mx2?（m?1）x?1=0，
∴x= ，
∴x1= ，
x2= ，
∴ = ．
∵2＜ ＜3，
∴2＜ ＜3，
当m+1＞0，及m＞?1时，
解得：? ＜m＜? ．
当m+1＜0，及m＜?1时，
解得：?3＜m＜?2．
综上所述，m的取值范围为：? ＜m＜? 或? 3＜m＜?2．
点评： 本题考查了根的判别式的运用，二次函数 的顶点式的运用，一元二次方程的求根公式的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时灵活运用求根公式是关键．
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