东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷
初三数学
命题校：国子监中学 2012年11月
本试卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷（非）两部分，共120分，考试用时120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
2. 袋子中有两个同样大小的4个小球，其中3个红球，1个白球，从袋中任意地同时摸出一个小球，则摸到白球概率是( )
A、 B、 C、 D、
3．将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
4．已知两圆的半径分别为7和1，当它们外切时，圆心距为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．下列说法正确的是( )
①平分弦的直径，必平分弦所对的两条弧．
②圆的切线垂直于圆的半径.
③三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。
④三点可以确定一个圆．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6. 如图，△BC中，∠B=90°，∠C=60°，B=，点A在 B上，以AB为直径作⊙O与C相切于点D，则CD的长为
A． 2 B．3 C． D．
7.边长为的正六边形的边心距等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示, 二次函数 y = ax2 + bx + c (a 0) 的图像经过点(1, 2), 且与x轴交点的横坐标分别为x1, x2, 其中 2 < x1 < 1, 0 < x2 < 1,
下列结论⑴ 4a 2b + c < 0; ⑵ 2a b < 0;
⑶ a 3b > 0; ⑷ b2 + 8a < 4ac; 其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C . 3个 D. 4个
第Ⅱ卷
二、题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
9. 二次函数y=3 (x-1)(x+3)的对称轴方程是______________.
10.如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2。分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是______.
11.如图，是一个半径为6c，面积为c2的扇形纸片，现需要一个半径为的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则等于 c
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-4,0)，B(0,3)，对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第（7）个三角形的直角顶点的坐标是 ；第（2011）个三角形的直角顶点的坐标是__________．
三、解答题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
13. 用配方法将二次函数y=2x2-4x-6化为的形式（其中为常数），并写出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
14. 如图8，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（-4,1），点B的坐标为（-1,1）
（1）先将Rt△ABC向右平移5个单位，再向下平移1个单位后得到Rt△A1B1C1.试在图中画出图形Rt△A1B1C1.，并写出A1的坐标
（2）将Rt△A1B1C1.，绕点A1顺时针旋转90°后得到Rt△A2B2C2，试在图中画出图形
Rt△A2B2C2，并计算Rt△A1B1C1在上述旋转过程中C1.所经过的路程.
??????
15. 如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E，
DE=8c，CE=2c，求AB的长．
16. 已知：二次函数y=ax2+bx+c中的x，y满足下表：
x…-10123…
y…0-3-4-3…
(1)的值为__________；
(2)求这个二次函数的解析式．
17. 已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，
∠A=30°，求BC的长.
18. 学校奖励给王伟和李丽上海世博园门票共两张，其中一张为指定日门票，另一张为普通日门票。王伟和李丽分别转动下图的甲、乙
两个转盘（转盘甲被二等分、转盘乙被三等分）确定指定日门票的归属，在两个转盘都
停止转动后，若指针所指的两个数字之和为偶数，则王伟获得指定日门票；若指针所指的两个数字之和为奇数，则李丽获得指定日门票；若指针指向分隔线，则重新转动。你认为这个方法公平吗？请画树状图或列表，并说明理由.
四、解答题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
19. 如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.
⑴求∠DCE的度数；
⑵当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长.
20. 已知：二次函数的表达式为．
（1）写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；并画出图像。
（2）求图象与轴的交点坐标；
（3）观察图象，指出使函数值y＞时自变量x的取值范围
21.如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6c．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径长；
（3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积
（结果保留）．
22.已知，如图，在四边形ABCD中，∠B +∠D =180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的点，且B E + FD= EF。
求证：∠EAF =∠BAD
五、解答题：（第23题、24题各7分，第25题8分，共22分）
23．如图，已知∠=90°，线段AB=10，若点A在上滑动，点B随着线段AB在射线 上滑动，（A、B与O不重合），Rt△AOB的内切⊙K分别与OA、OB、AB切于E、F、P．
（1）在上述变化过程中：Rt△AOB的周长，⊙K的半径，△AOB外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么？并简要说明理由；
（2）当AE = 4时，求⊙K的半径r；
24. 已知：、n是方程x2－6x+5＝0的两个实数根，且＜n，抛物线y＝－x2+bx+c的图像经过点A(，0)、B(0，n).
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积
（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶3的两部分，请求出P点的坐标.
25. 如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AN是等边三角形．
（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AN的面积之比；若不是，请说明理由．
东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷
初三数学参考答案
12345678
CDBCDAA C
命题校：国子监中学 2012年11月
9． X=-1
10.
11. 2
12. (24，0)；(8040，0)
13. 解：y=2x2-4x-6 =2(x2-2x)-6 =2(x-1)2 -8
∴ 顶点(1,-8). 对称轴x=1.
14. 解：（1）画出Rt△A1B1C1.的图形；A1的坐标为（1,0）
（2）画出Rt△A2B2C2.的图形；A1C1=
C1.所经过的路经为：=．
15.8c
16.(1)=0 ,(2)y=x2-2x-3
17. 解：作直径CD，连接BD， ∴ ∠CBD=90°．
∵ ∠A=30°，∴ ∠D=30°． ∴ BC=CD．
∵ CD=4， ∴ BC=2．
18. 解：
开始
345
11+3=41+4=51+5=6
22+3=52+4=62+5=7
这个方法公平合理。
19. 解：（1）∵△CBE是由△ABD旋转得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠DCB＋∠BCE＝90°
（2）在等腰直角三角形ABC中，∵AB＝4，∴AC＝4.
又∵AD?DC＝１?3，
∴AD=，DC=3
由（１）知AD＝CE且∠DCE＝90°,
∴DE＝DC＋CE＝2＋18＝20，∴DE＝2
20.解 （1）y=-(x-1)2+2 (2)3或-1 图像略 （3）0＜x＜2．
21. （1）证明：连接CO.
∵ ∠CDB=∠OBD=30°，
∴ ∠BOC=60°．
∵ AC∥BD，
∴ ∠A=∠OBD=30°．
∴ ∠ACO=90°．
∴ AC为⊙O切线．
（2）解：∵ ∠ACO =90°，AC∥BD，
．
∴ DE=BE=．
∴OB=6．
即的半径长为6c．
（3）解：∵∠CDB=∠OBD=30°，
又，，
．
∴ (c2)
答：阴影部分的面积为6πc2．
22. 延长FD到H，使DH=BE，
证明△ABE≌△ADH
再证△AEF≌△AHF
∴∠EAF=∠FAH=∠EAH=∠BAD
23.解 ：（1）不会发生变化的是△AOB的外接圆半径，
∵∠AOB=90°，
∴AB是△AOB的外接圆的直径
AB的长不变，即△AOB的外接圆半径不变
（2）设⊙K的半径为r，⊙K与Rt△AOB相切于E、F、P，连EK、KF
∴∠KEO=∠OFK=∠C=90°，
∴四边形EOFK是矩形，又OE=OF
∴四边形EOFK是正方形，
∴OE=OF=r，AE=AP=4，
∴PB=BF=6，
∴（4+r）2+（6+r）2=100，
∴r=-12（不符合题意），r=2，
24. （1）解方程x2－6x+5＝0得x1＝5，x2＝1，由＜n，有＝1，n＝5，所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）.将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y＝－x2+bx+c.得解这个方程组，得所以，抛物线的解析式为y＝－x2－4x+5.
（2）由y＝－x2－4x+5，令y＝0，得－x2－4x+5＝0.解这个方程，得x1＝－5，x2＝1，所以C点的坐标为（－5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）.过D作x轴的垂线交x轴于.则S△DC＝×9×(5－2)＝，S梯形DBO＝×2×(9+5)＝14，S△BOC＝×5×5＝，所以S△BCD＝S梯形DBO+ S△DC－S△BOC＝14+－＝15.
（3）设P点的坐标为（a，0）因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的直线方程为y＝x+5.那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a+5)，PH与抛物线y＝－x2－4x+5的交点坐标为H(a，－a2－4a+5).由题意，得①EH＝EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解这个方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；②EH＝EP，即(－a2－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解这个方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；即P点的坐标为 (－，0)或 (－，0).
25. 解：（1）CD=BE．理由如下:
∵△ABC和△ADE为等边三角形
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60o
∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60o－∠EAC，
∠DAC =∠DAE－∠EAC =60o－∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD
∴CD=BE
（2）△AN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD， ∴∠ABE=∠ACD．
∵、N分别是BE、CD的中点，
∴B=
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△AB ≌ △ACN．
∴A=AN，∠AB=∠NAC．
∴∠NA=∠NAC+∠CA=∠AB+∠CA=∠BAC=60o
∴△AN是等边三角形．
设AD=a，则AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC， ∴CE=DE．
∵△ADE为等边三角形， ∴∠DEC=120 o， ∠ADE=60o，
∴∠EDC=∠ECD=30o ， ∴∠ADC=90o．
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 o ， ∴ CD=．
∵N为DC中点，
∴， ∴．
∵△ADE，△ABC，△AN为等边三角形，
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AN
解法二：△AN是等边三角形．理由如下：
∵△ABE ≌ △ACD，、N分别是BE、CN的中点，∴A=AN，NC=B．
∵AB=AC，∴△AB ≌ △ACN，∴∠AB=∠NAC ，
∴∠NA=∠NAC+∠CA=∠AB+∠CA=∠BAC=60o
∴△AN是等边三角形
设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a
易证BE⊥AC，∴BE=，
∴ ∴
∵△ADE，△ABC，△AN为等边三角形
∴S△ADE∶S△ABC∶ S△AN
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