26.1.1二次函数的定义
一．选择题（共8小题）
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x
2．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．xy+x2=2 B．x2?2y+2=0 C． y= D．y2?x=0
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y= B．y=2（x+1）（x?3） C．y=3x?2 D．y=
4．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y=2x+1 B．y=?2x+1 C．y=x2+2 D．y= x?2
5．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x?3 B．y=（x+1）2?x2 C．y=2x2?7x D．y= ?
6．已知函数①y=5x?4，②t= x2?6x，③y=2x3?8x2+3，④y= x2?1，⑤y= +2，其中二次函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2?（x+7）2 D．y=（x+1）（2x?1）
8．已知函数 y=（m+2） 是二次函数，则m等于（ ）
A．±2 B．2 C．?2 D．±1
二．填空题（共6小题）
9．若y=（m+1） 是二次函数，则m的值为 _________ ．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是 _________ ．
11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 _________ ，成立的条件是 _________ ，是 _________ 函数．
12．已知y=（a+2）x2+x?3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是 _________ ．
13．二次函数y=3x2+5的二次项系数是 _________ ，一次项系数是 _________ ．
14．已知y=（k+2） 是二次函数，则k的值为 _________ ．
三．解答题（共8小题）
15．已知函数y=（m2?m）x2+mx?2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
16．已知函数y=（m?1） +5x?3是二次函数，求m的值．
17．已知函数y=?（m+2）xm2?2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为?8的点的坐标．
18．函数y=（kx?1）（x?3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
19．已知函数y=m• ，m2+m是不大于2的正整数，m取何值时，它的图象开口向上？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减少？当x取何值时，函数有最小值？
20．己知y=（m+1 ） +m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．求：
（1）m的值．
（2）求函数的最值．
21．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
22．如果函数y=（m?3） +mx+1是二次函数，求m的值．
26.1.1二次函数的定义
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． y=x2 B．y= C．y=kx2 D． y=k2x
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （ a≠0）是 二次函数．
解答： 解：A、是二次函数，故A符合提议；
B、是分式方程，故B错误；
C、k=0时，不 是函数，故C错误；
D、k=0是常函数，故D错误；
故选：A．
点评： 本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
2．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． xy+x2=2 B．x2?2y+2=0 C．y= D． y2?x= 0
考点： 二次函数的定义．
分析： 整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
解答： 解：A、整理为y= + ，不是二次函数，故此选项错误；
B、x2?2y+2=0变形，得y= x2+1，是二次函数，故此选项正确；
C、分母中含自变量，不是二次函数，故此选项错误；
D、y的指数是2，不是函数，故此选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y?ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
3．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． y= B．y=2（x+1）（x?3） C．y=3x?2 D． y=
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：A、y= 是反比例函数，故本选项错误；
B、y=2（x+1）（x?3）=2x2?4x?6，是二次函数，故本选项正确；
C、y=3x?2是一次 函数，故本选项错误；
D、y= =x+ ，不是二次函数，故本选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．
4．下列函数是二次函数的是（ ）
A． y=2x+1 B．y=?2x+1 C．y=x2+2 D ． y= x?2
考点： 二次函数的定义．
分析： 直接根据二次函数的定义判定即可．
解答： 解：A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y=?2x+1，是一次函数，故此选项错误；
C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；
D、y= x?2，是一次函数，故此选项错误．
故选：C．
点评： 此题主要考查了二次函数的定义， 根据定义直接判断是解题关键．
5．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． y=2x?3 B．y=（x+1）2?x2 C．y=2x2?7x D． y=?
考点： 二次函数的定义．
分析： 二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为y=ax2+bx+c（a不为0）．
解答： 解：A、函数y=2x?3是一次函数，故本选项错误；
B、由原方程，得y=2x+1，属于一次函数，故本选项错误；
C、函数y=2x2?7x符号二次函数的定义；故本选项正确；
D、y=? 不是整式；故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的定义．二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
6．已知函数 ①y=5x?4，②t= x2?6x，③y=2x3?8x2+3，④y= x2?1，⑤y= +2，其中二次函数的个数为（ ）
A． 1 B．2 C．3 D． 4
考点： 二次函数的定义．
分析： 首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可．
解答： 解：①y=5x?4，③y=2x3?8x2+3，⑤y= +2不符合二次函数解析式，
②t= x2?6x，④y= x2?1符合二次函数解析式，有两个．
故选B．
点评： 本题考查二次函数的定义．
7．下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2?（x+7）2 D． y=（x+1）（2x?1）
考点： 二次函数的定义．
专题： 推理填空题．
分析： 根据二次函数的定义解答．
解答： 解：A、未知数的最高次数不是2，故本选项错误；
B、二次项系数a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；
C、∵y=x2?（x+7）2=?14x?49，即y=?14x?49，没有二次项，故本选项错误；
D、由原方程得，y=2x2?x?1，符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选：D．
点评： 本题主要 考查了二次函数的定义．二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．
8．已知函数 y=（m+2） 是二次函数，则m等于（ ）
A． ±2 B．2 C．?2 D． ±1
考点： 二次函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 根据二次函数的定义，令m2?2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范围．
解答： 解：∵y=（m+2） 是二次函数，
∴m2?2=2，且m+2≠0，
∴m=2，
故选B．
点评： 本题考查了二次函数的定义，要注意，二次项系数不能为0．
二．填空题（共6小题）
9．若y=（m+1） 是二次函数，则m的值为 7 ．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
解答： 解：∵y=（m+1） 是二次函 数，
∴m2?6m?5=2，
∴m=7或m=?1（舍去）．
故答案为：7．
点评： 此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m+1≠0．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是 a≠?1 ．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可．
解答： 解：根据二次函数的定义可得a+1≠0，
即a≠?1．
故a的取值范围是a≠?1．
点评： 本题考查二次函数的定义．
11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 y=? x2? x ，成立的条件是 a≠0，c≠0 ，是 二次 函数．
考点： 二次函数的定义．
专题： 压轴题．
分析： 函数通常情况下是用x表示y．注意分母不为0，二次项的系数不为0．
解答： 解：整理得函数表达式为y=? x2? x，成立的条件是a≠0，c≠0，是二次函数．
故答案为：y=? x2? x；a≠0，c≠0；二次．
点评： 本题考查常用的用一个字母表示出另一字母的函数，注意自变量的取值，及二次项系数的取值．
12．已知y=（a+2）x2+x?3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是 a≠?2 ．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据形如y=ax2+bx+c （a是不等于零的常数）是二次函数，可得答案．
解答： 解：由y=（a+2）x2+x?3是关于x的二次函数，得
a+2≠0．
解得a≠?2，
故 答案为：a≠?2．
点评： 本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义．
13．二次函数y=3x2+5的二次项系数是 3 ，一次项系数是 0 ．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义解答即可．
解答： 解：二次函数y=3x2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．
故答案为：3；0．
点评： 本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0．
14．已知y=（k+2） 是二次函数，则k的值为 1 ．
考点： 二次函数的定义．
分析： 利用二次函数的定义列方程求解即可．
解答： 解：∵y=（k+2） 是二次函数，
∴k2+k=2且≠0，解得k=1，
故答案为：1．
点评： 本题主要考查了二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
15．已知函数y=（m2?m）x2+mx?2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
考点： 二次函数的定义；一次函数的定义．
分析： 根据一次函和二次函数的定义可以解答．
解答： 解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2?m=1，解之得：m=1，或m=0，又因为m≠0， 所以，m=1．
（2）y是x的二次函数，只须m2?m≠0，
∴m≠1和m≠0．
点评： 本题考查了一元二次方程的定义，熟记概念是解答本题的关键．
16．已知函数y=（m?1） +5x?3是二次函数，求m的值．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数是y=ax2+bx+c的形式，可得答案．
解答： 解：y=（m?1） +5x?3是二次函数，得
，
解得m=?1．
点评： 本题考查了二次函数，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2．
17．已知函数y=?（m+2）xm2?2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数 ？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为?8的点的坐标．
考点： 二 次函数的定义；一次函数的定义．
分析： （1）根据形如y=kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数；
（2）根据形如y=ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
解答： 解：（1）由y=?（m+2）xm2?2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m= ，
当m= 时，y是x的一次函数；
（2）y=?（m+2）xm2?2（m为常数），是二次函数 ，得
，
解得m=2，m=?2（不符合题意的要舍去），
当m=2时，y是x的二次函数，
当y=?8时，?8=?4x2，
解得x= ，
故纵坐标为? 8的点的坐标的坐标是（ ，0）．
点评： 本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．
18．函数y=（kx?1）（x?3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？
考点： 二次函数的定义；二次函数的图象．
分析： 利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．
解答： 解：∵y=（kx?1）（x?3）=kx2?3kx?x+3=kx2?（3k+1）x+3，
∴k= 0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
点评： 此题主要考查了二次函数与一函数的定义，正确把握有关 定义是解题关键．
19．已知函数y=m• ，m2+m是不大于2的正整数，m取何值时，它的图象开口向上？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减少？当x取何值时，函数有最小值？
考点： 二次函数的定义；二次函数的性质．
分析： 根据二次函数的定义，可得m的值，根据二次函数的性质，可得函数图象的增减性，根据顶点坐标公式，可得答案．
解答： 解：由y=m• ，m2+m是不大于2的正整数，得
当m2+m=2时．解得m=?2=或m=1；
当m2+m=1时，解得m= ，或m= ，
当m=1时，y=m• 的图象开口向上；
当x＞0时，y随x的增大而增大；
当x＜0时，y随x的增大而减少；
当x=0时，函数有最小值，y最小=0．
点评： 本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质：a＞0时，对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴的右侧，y随x的增大而增大；顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．
20．己知y=（m+1） +m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．求：
（1）m的值．
（2）求函数的最值．
考点： 二次函数的定义．
分析： （1）根据y=（m+1） +m是关于x的二次函数，可得m2=2，再由当x＞0时，y随x的增大而减小，可得m+1＜0，从而得出m的值；
（2）根据顶点坐标即可得出函数的最值．
解答： 解：（1）∵y=（m+1） +m是关于x的二次函数，
∴m2=2，解得m= ，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，m=? ，m= （不符合题意，舍）；
（2）当x=0时，y最大=m=? ．
点评： 本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质．
21．已知 是x的二次函数，求出它的解析式．
考点： 二次函数的定义．
分析： 根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
解答： 解：根据二次函数的定义可得：m2?2m?1=2，且m2?m≠0，
解得，m=3或m=?1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=?1时，y=2x2? 4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
点评： 本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
22．如果函数y=（m?3） +mx+1是二次函数，求m的值．
考点 ： 二次函数的定义．
专题： 计算题．
分析： 根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，即可答题．
解答： 解：根据二次函数的定义：m2?3m+2=2，且m?3≠0，
解得：m=0．
点评： 本题考查了二次函数的定义，属于基础题，比较简单，关键是对二次函数定义的掌握．
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