一、填空题(每小题2分，共24分)
１．－3的相反数是   ▲   .
２．设 ， ，c＝3－27，则a，b，c中最小的实数是   ▲   ．
３．在函数 中，自变量x的取值范围是    ▲    ．
４．因式分解：    ▲    ．
５．关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ▲ ；
６．如图， ∥ ， 与 ， 都相交，∠1=50，则∠2=   ▲    ．
 

（第6题图）     （第7题图）          （第10题图）       （第12题图）
７．在□ABCD中，点E在DE上，若 ，则BF：EF=   ▲   ．
８．若点 在函数 的图象上，则 的值是  ▲   ．
９．将面积为32π的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为　 ▲　 ．
10．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算◎如下：a◎b= ，则3◎2=  ▲  ．
11．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为  ▲   mm.
12．如图，在Rt 中， ，点 在 上，且 ， ，若将 绕点 顺时针旋转得到Rt ，且 落在 的延长线上，连结 交 的延长线于点 ，则 =    ▲    .
二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．下列运算中，正确的是
  A．  B．  C．  D．
14．如图是某体育馆内的颁奖台，其主视图是

A．     B．     C．     D．

15．如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在水平地面AB上支放一个平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于
A．30°  B．45°    　　 C．50°    　　 D．60°

（第15题图）           （第16题图）          （第17题图）
16．如图，若点M是x轴正半轴上的任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数
（x＞0）和 （x＞0）的图象于点P和Q，连接OP、OQ,则下列结论正确的是
 A. ∠POQ不可能等于90        B.    
 C. 这两个函数的图象一定关于x轴对称  D. △POQ的面积是
17．如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，半径为2，直线为y= -4，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与有公共点时，点A移动的最大距离是
    A.             B. 5            C.           D.  
三、解答题
18．（1）（4分）  ；        

（2）（4分）

19．（1）（5分）求不等式组   的解集.
 
（2）（5分）解方程：
 

20．（本题6分）如图，在梯形纸片ABCD中，AD//BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C′E．
猜想四边形 是何种特殊的四边形？证明你的猜想．
 

21．(本题6分) 某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某校要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案(利用列表的方法或树状图表示）；
（2）如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
22．（本题6分）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.
 

（1）求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数；
（2）求小明的综合得分是多少？
（3）在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分？
 

23．（本题6分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果精确到1mm）
 

24．（本题6分）.甲、乙两人合作加工一批零件．乙先加工30件后，甲开始加工．设甲的加工量为 （件），乙的加工量为 （件），甲的加工时间记为 （时）， 、 分别与 之间的部分函数图象如图所示．
（1）当 时，分别求 、 与 之间的函数关系式．
（2）如果6个小时后，甲保持前6个小时的工作效率，
乙提高了工作效率, 这样继续加工2小时, 加工活动
结束．此时两人之间加工零件的总量相差20件．求
乙提高了工作效率后平均每小时加工零件多少件．

25．（本题6分）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“友好三角形”．
（1）把图一的等腰直角三角形分成两个三角形，使它们
成为“友好三角形”．

 

（2）请在右边方格纸(如图二)中，画两个三角形，使这两个三
角形是“友好三角形”．

 

（3）已知：如图，⊙Ｏ的半径为２，弦 ，点Ｃ、D是⊙Ｏ上的两个动点．
　      ①当点C在劣弧AB上时，则有   ▲   个点D，使得△ABD与△ABC是“友好三角形”．
②当点C在优弧AB上时，记点C到AB的距离为h，试探究点D的个数与h取值情况之间的关系，使得△ABD与△ABC是“友好三角形”．
 

26．（本题7分）．如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC.
（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）当⊙O的半径为5， ， 时，求BP的长.

27．（本题8分）已知二次函数y=ax2+bx+2，它的图象经过点（1，2）．
（1）若该图象与x轴的一个交点为（－1，0）．
①求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；
②出该二次函数的大致图象，并借助函数图象，求不等式
 的解集；
（2）当a取a1,a2时，二次函数图象与x轴正半轴分别
交于点M（m，0），点N（n，0）．如果点N在点
M的右边，且点M和点N都在点（1，0）的右边．
试比较a1和a2的大小．

 

28．(本题12分））如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4?，BC=5?，D是BC边上一点，CD=3?，点P为边AC上一动点（点P与A、C不重合），过点P作PE// BC，交AD于点E．点P以1?/s的速度从A到C匀速运动。
（1）设点P的运动时间为 ，DE的长为 (?)，求 关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）当为何值时，以PE为半径的⊙E与以DB为半径的⊙D外切？并求此时∠DPE的正切值；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB’D，连接B’ C．如果∠ACE=∠BCB’，求的值．
 

 九年级数学期中试卷参考答案

一、填空题
 
二、选择：（每题3分）
13．B  14.A  15.A  16.D  17.B
三、解答题
 20．猜想：四边形 是菱形。(1分)
   证明： ∵由折叠知： ， （2分）， （3分）
          又∵AD//BC，∴   ∴ , （4分），∴ ,（5分）四边形 是菱形。(6分)。
21．解：（1）画对树状图或列对表格得(3分)，（2）P= (6分)
22. 解：（1）众数94分（1分），扇形的圆心角度数为20%×360°=72°（2分）
（2）演讲答辩分：（95+94+92+90+94)÷5=93，民主测评分：50×70%×2+50×20%×1=80，
所以，小明的综合得分为93×0.4+80×0.6=85.2. （4分）
（3）设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意，得82×0.6+0.4x≥85.2，（5分）
解得x≥90.（6分）小亮的演讲答辩得分至少要90分.
 23.解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠α=36°（1分）．根据题意，得BE=24mm, DF=48mm．
在Rt△ABE中，sinα=BE/AB，∴AB=BE/sin36°=40(mm).（3分）
在Rt△ADF中，cos∠ADF=DF/AD，∴AD=DF/COS36°=60(mm）．（5分）
∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm)．（6分）
24.解：（1）设y甲=k1x，把（6，120）代入，得k1=20，∴y甲=20x.  （1分）
当x=3时，y甲=60.设y乙=k2x+b，把（0，30），（3，60）代入，得b=30,
3k2+b=60. 解得k2=10，b=30.（3分）
（2）设乙提高了工作效率后平均每小时加工a件.
当乙比甲多加工20件时，有6×10+30+2a-20×8=20. 解得a=45.（4分）
当甲比乙多加工20件时，有20×8-(6×10+30+2a)=20.解得a=25.（5分）
所以乙提高了工作效率后平均每小时加工零件45件或25件.（6分）
25.（1）略（2分），（2）略（2分）
（3）① 2； （3分） ②当0<h<1时，2个；当h=1时，1个；当h>1时，0个.（6分）
26．解：(1)直线BP和⊙O相切.（1分）
理由：连接BC,∵AB是⊙O直径,∴∠ACB=90°. （2分）
∵PF∥AC,∴BC⊥PF, 则∠PBH+∠BPF=90°. 
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,得AB⊥BP,  （3分）
所以直线BP和⊙O相切. （4分）
(2)由已知，得∠ACB=90°,∵AC=2,AB=25,∴BC=4. （5分）
∵∠BPF=∠ADC,∠ADC=∠ABC,∴∠BPF=∠ABC,
由(1),得∠ABP=∠ACB=90°,∴△ACB∽△EBP, （6分）
∴ACBE=BCBP,解得BP=2.即BP的长为2.（7分）
27.（1）①由题得    解得   即 （2分）
② （4分）
(2) ∵二次函数与x轴正半轴交与点（m,0）且
∴  即 （5分）同理    （6分）故
∵   故  （7分）
∴ （8分）
28. 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，（1分）
∵PE// BC， ，∴ ,∴ ，（2分）
∴ ,∴ ，（3分）即 ，（ ）（4分）
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有
DE=PE+BD，即 ，（5分）解之得 ，∴ ，（6分）
∵PE// BC，∴∠DPE=∠PDC，（7分）
在Rt△PCD中，tan =  tan = (8分)
(3) 延长AD交BB/于F，则AF⊥BB/，
∴ ，又 ，∴   ∴ ∽ ，(9分)∴BF= ，所以BB/=  ，(10分)
∵∠ACE=∠BCB/，∠CAE=∠CBB/，∴ ∽ ，∴ ,(11分)
∴  (12分)

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