九年级学年第一学期期中考试数学试卷

一、仔细填一填 (本题共10题, 每空2分，共20分）
1．当 时， 有意义。
2．已知 、b、c、d是成比例线段，其中 =5c，b=3c，c=6c．则线段d=___________c．
3．若x∶y =1∶2，则 =_____________．
4．请你写一个能先提公因式、再运用公式来分解因式来解的方程，并写出方程的解 ．
5．设x1，x2是方程x(x-1)+3(x-1)=0的两根，则 = 。
6.等腰梯形的周长是36c，腰长是7c，则它的中位线长为________c．
7．如图，在 中， ， 于 ，若 ， ，则 为 _____．

8．在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、 A′的坐标（-2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是 。
9.某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两
次降价，现在售价每盒 元，则该药品平均每次降价的百分率是______．
10. 已知，如图所示，在△ 中， 为 上一点，
在下列四个条件中：① ；② ；
③ • ；④ • • 。
其中，能满足△ 和△ 相似的条件是 。（填序号）
二．精心选一选（本题共8题,每题3分，共24分）
11．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2－bx＝0 B．2x2＋2x2－2＝0
C．(x－2)(3x+1)＝0 D．3x2－2x＝3(x＋1)(x－2)
12. 下列运算正确的是（ ）。
A. B.
C. D.
13. 如果2是一元二次方程x2＝x+c的一个根，那么常数c是（ ）。
A、2 B、－2 C、4 D、－4
14．某中学准备建一个面积为 的矩形游泳池，且游泳池的周长为80．设游泳池的长为 ，则可列方程（　　）
A． x(80－x)＝375B．x(80＋x)＝375
C． x(40－x)＝375D．x(40＋x)＝375
15.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，
则BE∶EC=（ ）．
A． B． C． D．

16．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（ ）。
A．5.3米 B. 4.8米 C. 4.0米 D.2.7米
17．如图,在矩形ABCD中，E、F分别是DC、BC边上的点，且∠AEF=90°则下列结论正确的是（ ）。
A、△ABF∽△AEF B、△ABF∽△CEF
C、△CEF∽△DAE D、△DAE∽△BAF
18. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6c，AC＝12c，动点D从A点出发
到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1c/秒，点E运
动的速度为2c/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形
与△ABC相似时，运动的时间是（ ）．
A、3秒或4.8秒 B、3秒 C、4.5秒 D、4.5秒或4.8秒
三、认真算一算：（每题6分，共12分）
(2)
20．(1)x(x－3)＝15－5x (2)x2－2x－4＝0
四、动脑筋做一做：
21若 =0 是关于 的一元二次方程 的一个解，求实数 的值和另一个根。

22．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边，且方程b(x2－1)－2ax＋c(x2＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．（本题4分）

23. （6分）如图，图中小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A′ B′ C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为 ；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似为1：2

24．(6分) 如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F.
(1)ΔABE与ΔADF相似吗？请说明理由.
(2)若AB=6，AD=12，BE=8，求FD的长.

25．(5分) 某工厂生产的某种产品按质量分为1 0个档次．第1档次(最低档次)的产品一天能生产7 6件，每件利润10元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件．若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次。

26. (5分) 我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：
，且 。据此，我们可以得到下面的推理：
∵ ，而
∴ ， 故 的最小值是2。
试根据以上方法判断代数式 是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值。

27．（6分）如图，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，
∠1=∠2．求证:FD2=FG•FE．

28. （8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，
∠B=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过点P作PE交CD于E，
使得∠APE=∠B
（1）求证：△ABP∽△PCE
（2）求等腰梯形的腰AB的长
（3）在底边BC上是否存在一点P，使
DE：EC=5：3？如果存在，求BP的长；
如果不存在，请说明理由

参考答案
一．题：
1、 2、 3、 4、（答案不唯一，例如 ） 5、10 6、11 7、2 8、（4，4） 9、20％ 10、①②③
二、
11、C 12、D 13、A 14、C 15、D 16、B 17、C 18、A
三、解答题
19、（1）原式 ……2分 ( 2 ) 原式＝ …5分
………………3分 …………6分
20、（1） ……1分 (2) ……………………4分
……2分 6分
……3分
21.（1） …………1分
……………………2分
把=-4代入原方程得另一个根为0.5……………………4分
22. 原方程化为： ………………1分
因为有两个相等实数根，所以 ……2分
所以是直角三角形…………………………4分
23. （1.）略 （2分）（2）1：2 （4分）（3）略 （6分）
24. 解：
（1）相似，理由略 ……………………………………2分
（2）∵AB=6,BE=8,由勾股定理,得AE=10 ……………3分
又∵△ABE∽△DFA
∴ ………………………………………5分
∴
解得 DF=7.2 ……………………………………………6分
25、解：设该产品的质量档次为x………………………………1分
…………………………3分
……………………………………………4分
答：第5档次……………………6分
26解：原式 ………………………………3分
………………………4分
所以有最大值，最大值为8。……………………………5分
27. ∵BE∥AC ∴∠1=∠E ……………………………2分
又∵∠1=∠2 ∴∠2=∠E ……………………………4分
又∵∠FGB=∠FGB∴△BFG∽△EFB ……………………5分
∴BF/EF=FG/BF ∴BF =FG•EF…………………………6分
28. 解：
（1）证明：∵梯形ABCD是等腰梯形
∴∠B=∠C=60°
又∵∠APE=∠B=60°
∴∠APB+∠EPC=120° …………………………………1分
又∵∠B+∠BAP+∠APB=180°
∴∠BAP+∠APB=120°
∴∠BAP=∠EPC …………………………………………2分
∴△ABP∽△PCE …………………………………………3分
(2)过点A作AF⊥BC于点F，
∵∠B=60°
∴∠BAF=30° ……………………………………4分
∵AD=3，BC=7，
∴BF=2
∴AB=4 ……………………………………………5分
（3）∵AC=AB=4
DE：EC=5：3
∴DE=2.5，CD=1.5 …………………………………6分
又∵△ABP∽△PCE
∴

∴BP•PC=6 …………………………………………7分
设BP=x，
则x(7－x)=6
解得x1=1，x2=6
所以存在点P使得DE：EC=5：3，此时BP=1或BP=6…8分

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