贵州省毕节地区金沙县2012-2013学年九年级（上）期末
数学试卷
一、单项（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2=2（x+1）B． C．ax2+bx+c=0D．x2+2x=x2?1
考点：一元二次方程的定义．.
分析：一元二次方程有四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．
（4）二次项系数不为0．
解答：解：
A、3（x+1）2=2（x+1）化简得3x2+4x?4=0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a=0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选A．
点评：判断一个方程是否是一元二次方程：
首先要看是否是整式方程；
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
这是一个需要识记的内容．
2．（3分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，AD、CE相交于点H，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
考点：等腰三角形的判定．.
分析：根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，
CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形．
解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED
∴AC=AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
又△CEB也是等腰三角形
显然此图中有4个等腰三角形．
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．
3．（3分）（2008•宿迁）有一实物如图，那么它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图．.
分析：细心观察图中几何体摆放的位置和形状，根据主视图是从正面看到的图象判定则可．
解答：解：正面看，它是中间小两头大的一个图形，里面有两条虚线，表示看不到的棱．故选B．
点评：本题考查了立体图形的三视图，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
4．（3分）一元二次方程x2?5=0的解是（ ）
A．x=5B．x=?5C．x1=5，x2=?5D．x1= ，x2=
考点：解一元二次方程-直接开平方法．.
分析：首先把?5移到方程右边，再两边直接开平方即可．
解答：解：x2?5=0，
移项得：x2=5，
两边直接开平方得：x=± ，
，则x1= ，x2=? ，
故选：D．
点评：此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
5．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
考点：命题与定理．.
分析：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
既是矩形，又是菱形的四边形是正方形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
解答：解：A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确；
B、根据正方形的判定，知正确；
C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误；
D、根据等边三角形的判定，知正确．
故选C．
点评：本题考查了特殊四边形的判定、等边三角形的判定．
6．（3分）（2006•常熟市一模）电影院呈阶梯或下坡形状的主要原因是（ ）
A．为了美观B．减小盲区C．增大盲区D．盲区不变
考点：视点、视角和盲区．.
分析：电影院呈阶梯或下坡形状可以使后面的观众看到前面，避免盲区．
解答：解：电影院呈阶梯或下坡形状是为了然后面的观众有更大的视角范围，减小盲区．
故选B．
点评：本题是结合实际问题来考查学生对视点，视角和盲区的理解能力．
7．（3分）既是轴对称，又是中心对称图形的是（ ）
A．矩形B．平行四边形C．正三角形D．等腰梯形
考点：中心对称图形；轴对称图形．.
专题：几何图形问题．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
解答：解：A、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
C、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
8．（3分）如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其一天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ）
A．①②③④B．④①③②C．④②③①D．④③②①
考点：平行投影．.
专题：压轴题．
分析：北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西?西北?北?东北?东，影长由长变短，再变长．
解答：解：根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北?北?东北?东，
故分析可得：先后顺序为④①③②．故选B．
点评：本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西?西北?北?东北?东，影长由长变短，再变长．
9．（3分）下列函数中，属于反比例函数的是（ ）
A． B． C．y=5?2xD．y=x2+1
考点：反比例函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义；二次函数的定义．.
专题：推理题．
分析：根据反比例函数的解析式是y= （k是常数，k≠0），A是正比例函数；B、k= ，是反比例函数；C、是一次函数；D、是二次函数，即可得到答案．
解答：解：反比例函数的解析式是y= （k是常数，k≠0），
A、是正比例函数，故本选项错误；
B、k= ，故本选项正确；
C、是一次函数，故本选项错误；
D、是二次函数，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查对反比例函数的定义，正比例函数的定义，一次函数的定义，二次函数的定义等知识点的理解和掌握，能根据定义区分各个函数是解此题的关键，题型较好，比较典型．
10．（3分）如果矩形的面积为6c2，那么它的长yc与宽xc之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B． C． D．
考点：反比例函数的应用．.
专题：．
分析：根据题意有：xy=6；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限，即可得出答案．
解答：解：∵xy=6，
∴y= （x＞0，y＞0）．
故选C．
点评：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
二、题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（3分）在直角三角形中，若两条直角边长分别为6c和8c，则斜边上的中线为 5 c．
考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理．.
专题：常规题型．
分析：利用勾股定理求出斜边的长度，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质解答．
解答：解：根据勾股定理得，斜边= =10c，
∴斜边上的中线= ×斜边= ×10=5c．
故答案为：5．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理，熟记性质是解题的关键．
12．（3分）已知菱形的周长为40c，一条对角线长为16c，则这个菱形的面积为 96 c2．
考点：菱形的性质．.
专题：．
分析：画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
解答：解：因为周长是40c，所以边长是10c．
如图所示：AB=10c，AC=16c．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8c，
∴BO=6c，BD=12c．
∴面积S= ×16×12=96（c2）．
故答案为96．
点评：此题考查了菱形的性质及其面积计算．主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．
菱形的面积有两种求法：
（1）利用底乘以相应底上的高；
（2）利用菱形的特殊性，菱形面积= ×两条对角线的乘积．
具体用哪种方法要看已知条件来选择．
13．（3分）双曲线y= 经过点（2，?3），则k= ?6 ．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．.
专题：．
分析：把x=2，y=?3代入双曲线解析式即可求得k的值．
解答：解：∵双曲线y= 经过点（2，?3），
∴k=2×（?3）=?6，
故答案为?6．
点评：考查用待定系数法求反比例函数解析式；用到的知识点为：点在反比例函数解析式上，点的横纵坐标适合函数解析式．
14．（3分）（2002•绍兴）若一个三角形的三边长均满足方程x2?6x+8=0，则此三角形的周长为 6，10，12 ．
考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．.
专题：计算题；压轴题．
分析：求△ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
解答：解：解方程x2?6x+8=0得x1=4，x2=2；
当4为腰，2为底时，4?2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；
当2为腰，4为底时4?2≠＜2＜4+2不能构成三角形，
当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．
点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
15．（3分）如图，一个底角为70°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 220° ．
考点：多边形内角与外角；等腰三角形的性质．.
分析：首先看图，根据等腰三角形的性质可知两个底角的和，然后可得∠1+∠2=360°?（两个底角的和），易求解．
解答：解：∵三角形是等腰三角形，
∴两个底角的和为70°×2=140°，
∴∠1+∠2=360°?140°=220°．
故答案为：220°．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理和四边形的内角和为360°等知识．
16．（3分）口袋中有2个白球，1个黑球，从中任取一个球，摸到白球的概率为 ．
考点：概率公式．.
分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解答：解：根据题意可得：口袋中有2个白球，1个黑球，共3个球，
从中任取一个球，摸到白球的概率为 ．
点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
17．（3分）二次三项式为x2?4x+3，配方的结果是 （x?2）2?1 ．
考点：配方法的应用．.
专题：计算题．
分析：原式前两项加上4再减去4变形后，利用完全平方公式化简即可得到结果．
解答：解：x2?4x+3
=x2?4x+4?1
=（x?2）2?1．
故答案为：（x?2）2?1．
点评：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．（3分）若关于x的方程3x2+x+?6=0有一根是0，则= 6 ．
考点：一元二次方程的解．.
分析：本题根据一元二次方程的根的定义求解．把x=0代入方程求出的值．
解答：解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得?6=0，解此方程得到=6．
点评：本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值．
19．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC=2：1，BC=7.8c，则D到AB的距离为 2.6 c．
考点：角平分线的性质．.
分析：先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD=DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．
解答：解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD=DE
又BD：DC=2：1，BC=7.8c
∴DC=7.8÷（2+1）=7.8÷3=2.6c．
∴DE=DC=2.6c．
故填2.6．
点评：此题主要考查角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答，各角线段的比求出线段长是经常使用的方法，比较重要，要注意掌握．
20．（3分）将正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转能与△CBP′重合，若BP=4，则PP′= ．
考点：旋转的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．.
分析：观察图形可知，旋转中心为点B，A点的对应点为C，P点的对应点为P′，故旋转角∠PBA′=∠ABC=90°，根据旋转性质可知BP=BP′，可根据勾股定理求PP′
解答：解：由旋转的性质可知，旋转角∠PBP′=∠ABC=90°，BP=BP′=4，
∴在Rt△BPP′中，由勾股定理得，
PP′= =4 ．
故答案是：4 ．
点评：本题考查了旋转性质的运用，根据旋转角判断三角形的形状，根据旋转的对应边相等及勾股定理求边长．
三、解答及证明（本大题共5小题，各题分值见题号后，共40分）
21．（5分）解方程：（x+3）2?x（x+3）=0．
考点：解一元二次方程-因式分解法．.
专题：计算题．
分析：方程左边提取公因式变形后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解答：解：（x+3）2?x（x+3）=0，
分解因式得：（x+3）（x+3?x）=0，
可得：x+3=0，
解得：x=?3．
点评：此题考查了解一元二次方程?因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
22．（5分）三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出甲的影子．（不写作法，保留作图痕迹）
考点：中心投影．.
专题：作图题．
分析：分别作过乙，丙的头的顶端和相应的影子的顶端的直线得到的交点就是点光源所在处，连接点光源和甲的头的顶端并延长交平面于一点，这点到甲的脚端的距离是就是甲的影长．
解答：解：
．
点评：两个物高与影长的连线的交点是点光源；影长是点光源与物高的连线形成的在地面的阴影部分的长度．
23．（10分）（2004•四川）已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．
考点：等腰三角形的判定；正方形的判定．.
专题：几何综合题；压轴题．
分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；
由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．
解答：（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD=∠CED=90°，
又∵BD=CD，BF=CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B=∠C．
故△ABC是等腰三角形；（3分）
（2）解：四边形AFDE是正方形．
证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴四边形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，
∴DF=DE，
∴四边形AFDE是正方形．（8分）
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定及正方形的判定方法的掌握情况．
24．（10分）将一条长为20c的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于17c2，那么这两个正方形的边长分别是多少？
考点：一元二次方程的应用．.
分析：设其中一个正方形的边长为xc，根据将一条长为20c的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于17c2，可列方程求解．
解答：解：设其中一个正方形的边长为xc，则另一个正方形的边长为 ．
依题意列方程得：x2+（5?x）2=17，
解方程得：x1=1，x2=4，
答：这两个小正方形的边长分别是1c、4c．
点评：本题考查理解题意的能力，设出一个正方形的边长，表示出另一个，以面积相等做为等量关系列方程求解．
25．（10分）（2004•黄冈）如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y= 与直线y=?x?（k+1）在第二象限的交点．AB⊥x轴于B，且S△ABO= ．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．
考点：反比例函数综合题．.
专题：计算题；综合题；数形结合．
分析：（1）欲求这两个函数的解析式，关键求k值．根据反比例函数性质，k绝对值为 且为负数，由此即可求出k；
（2）交点A、C的坐标是方程组 的解，解之即得；
（3）从图形上可看出△AOC的面积为两小三角形面积之和，根据三角形的面积公式即可求出．
解答：解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，
则S△ABO= •BO•BA= •（?x）•y= ，
∴xy=?3，
又∵y= ，
即xy=k，
∴k=?3．
∴所求的两个函数的解析式分别为y=? ，y=?x+2；
（2）由y=?x+2，
令x=0，得y=2．
∴直线y=?x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），
A、C两点坐标满足
∴交点A为（?1，3），C为（3，?1），
∴S△AOC=S△ODA+S△ODC= OD•（x1+x2）= ×2×（3+1）=4．
点评：此题首先利用待定系数法确定函数解析式，然后利用解方程组来确定图象的交点坐标，及利用坐标求出线段和图形的面积．
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