2014年1月期末试题分类汇编——几何综合
（2014?石景山1月期末?25）将绕点按逆时针方向旋转,旋转角为，旋转后使各边长变为原来的倍，得到,我们将这种变换记为[]．
（1）如图①,对作变换[]得，则：
= ___；直线与直线所夹的锐角为 __ °；
（2）如图②，中，，对 作变换[]得，使得四边形为梯形，其中∥,且梯形的面积为，求和的值．
25. 解：（1） 3 ， 60 ………………………………………2分
（2） 由题意可知：∽
……………………………4分
在中,
………………………………5分
在直角梯形中，
…………………………6分
………………………………7分
（2014?西城1月期末?24）已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，是BC与EF的中点，连接AD，BE.
（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；
（2）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点顺时针旋转（≤≤）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由；
（3）△ABC固定不动，将图1中的△DEF绕点旋转（≤≤）角，作DH⊥BC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．
24．（1），．2分
（2）证明：连接D，A．
在等边三角形ABC中，为BC的中点，
∴ ，，．
∴ ．
同理，，．
∴ ，．3分
∴ △AD ∽△BE．
∴ ．4分
延长BE交A于点G，交AD于点K．
∴ ，．
∴ ．
∴ ．5分
（3）解：(?)当△DEF绕点顺时针旋转(≤≤)角时，
∵ △AD ∽△BE，
∴ ．
．
∴ （3≤≤）．6分
(?) 当△DEF绕点逆时针旋转(≤≤)角时，可证△AD∽△BE，
．
∴ (≤≤3)．
综上，(≤≤)．7分
（2014?海淀1月期末?24）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形 ，且AB>CE．
（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE；
（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG//BD，BG=BD.
①求的度数；
②请直接写出正方形CEFG的边长的值.
24. （本小题满分7分）
解：（1）证明：
∵四边形和为正方形，
∴，，.
∴.
. ……………………1分
∴△≌△.
∴.………………………………2分
（2）①连接BE .
由（1）可知：BG=DE.
∵，
∴.
∴.
∵,
∴.
∴…………………………3分
∵,
∴△≌△.
∴.………………………………4分
∵,
∴.
∴△.
∴ …………………………5分
②正方形的边长为. ……………………………………………7分
（2014?朝阳1月期末?25）将△ABC绕点B逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△DBE，直线DE与直线AC相交于点F，连接BF．
（1）如图1，若α=60°，DF=2AF，请直接写出等于 ；
（2）若DF=AF，（>0，且≠1）
①如图2，求；（用含α，的式子表示）
②如图3，依题意补全图形，请直接写出等于 ．（用含α，的式子表示）
图1 图2 图3
25.解：（1）1． ………………………………1分
（2）①如图2，在DF上截取DG，使得DG=AF，连接BG．
由旋转知，DB=AB，∠D=∠A．
∴△DBG≌△ABF．
∴BG=BF，∠GBF=α． ………………3分
过点B作BN⊥GF于点N，
∴点N为GF中点，∠FBN=．
在Rt△BNF中，NF=，
∴GF=．
∵DF=DG+GF， ……………………4分
∴AF=AF+
(-1)AF=．
∴． ……………5分
②如图3，画图正确． …………………6分
． ………………………8分
注明：以上各题的其它的正确解法，酌情给分.
（2014?东城1月期末?24）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中.
（1）操作发现
如图2，固定，使绕点顺时针旋转．当点恰好落在边上时，：
图1 图2
线段与的位置关系是 ；
设的面积为，的面积为，则与的数量关系是 ，证明你的结论；
（2）猜想论证
当绕点旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．
24．解：（1）①线段与的位置关系是 平行 ． …………………..1分
②S1与S2的数量关系是 相等 ．
证明：如图2，过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作E⊥AC交AC延长线于，过C作CF⊥AB交AB于点F．
由①可知 △ADC是等边三角形，∥，
∴DN=CF, DN=E．
∴CF=E．
∵，
∴．
又∵,
∴． 图2
∵，，
∴=． …………………..3分
（2）证明：如图3，作DG⊥BC于点G，AH⊥CE交EC延长线于点H.
∵．
又∵．
又∵,
∴△AHC≌△DGC．
∴AH=DG．
又∵CE=CB, 图3
∴． ……………………..7分
（2014?丰台1月期末?25）已知和关于直线对称(点的对称点是点)，点、分别是线段和线段上的点，且点在线段的垂直平分线上，联结、，交于点．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），当时，是线段上一点，联结、、，的延长线交于点，，，试探究线段和之间的数量关系，并证明你的结论． （2）
25. (1)证明：如图1 连接FE、FC
∵点F在线段EC的垂直平分线上,
∴ FE=FC ∴∠l=∠2 ………………………1分
∵△ABD和△CBD关于直线BD对称．
∴AB=CB ,∠4=∠3，又BF=BF
∴△ABF≌△CBF， ∴∠BAF=∠2，FA=FC
∴FE=FA，∠1=∠BAF． …………………………2分
∴∠5=∠6，
∵ ∠l+∠BEF=1800，∴∠BAF+∠BEF=1800
∵∠BAF+∠BEF+∠AFE+∠ABE=3600
∴∠AFE+∠ABE=1800 ………………………………3分
又∵∠AFE+∠5+∠6=1800 ，
∴∠5+∠6=∠3+∠4
∴∠5=∠4，即∠EAF=∠ABD………………………4分
(2)解：F=FN ……………………………………………5分
证明：如图2，由(1)可知∠EAF=∠ABD，
又∵∠AFB=∠GFA ∴△AFG∽△BFA
∴∠AGF=∠BAF
又∵∠BF=∠BAF，∴∠BF=∠AGF
又∵∠AGF=∠BG+∠BG∴∠BG=∠BG
∴BG=G…………………………6分
∵AB=AD ∴∠ADB=∠ABD=∠EAF
又∵∠FGA=∠AGD．∴△AGF∽△DGA．
∵AF=AD 图2
设GF=2a，则AG=3a，
∴GD=a，∴FD=DG-GF==a
∵∠CBD=∠ABD ，∠ABD=∠ADB，∴∠CBD=∠ADB.
∴．∴，设EG=2k，则G=BG=3k
过点F作FQ∥ED交AE于Q，
……………………7分
∴GQ=EG=．∴QE=， Q=G+GQ=3k+=
∵FQ∥ED，.∴F=FN……………8分
（2014?昌平1月期末?25）已知：四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，点E是射线CD上的一个动点（与C、D不重合），将△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'，连接EE'.
（1）如图1，∠AEE'= °；
（2）如图2，如果将直线AE绕点A顺时针旋转30°后交直线BC于点F，过点E作E∥AD交直线AF于点，写出线段DE、BF、E之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，如果CE=2，AE=，求E的长.
25．解：(1) 30°. …………………………………………………… 1分
(2)当点E在线段CD上时，； ………………………………………… 2分
当点E在CD的延长线上，
时，； ………………… 3分
时，； 时，. …………………………………………4分
(3)作于点G, 作于点H.
由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，
易知四边形AGHD是矩形和两个全等的直角三角形.
则GH=AD , BG=CH.
∵,
∴点、B、C在一条直线上.
设AD=AB=CD=x,则GH=x,BG=CH=,.
作于Q.
在Rt△EQC中，CE=2, ,
∴, .
∴E'Q=.…………………………………5分
作于点P.
∵△ADE绕点A顺时针旋转120°后，得到△ABE'.
∴△A EE'是等腰三角形，.
∴在Rt△AP E'中，E'P=.
∴EE'=2 E'P=. ……………………………………………………………………6分
∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.
∴.
∴. ………………………………………………………… 7分
∴，.
∴
在Rt△E'AF中,,
∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.
∴
∴.
∴.
由（2）知：.
∴. ………………………………………………………… 8分
（2014?怀柔1月期末?24）（1）如图1，在等边△ABC中，点是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结A，以A为边作等边△AN，联结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点是边BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点是边BC上的任意一点（不含端点B、C），联结A，以A为边作等腰△AN，使顶角∠AN=∠ABC．联结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
24.（（本小题满分7分）
（1）证明：∵△ABC、△AN是等边三角形，
∴AB=AC，A=AN，∠BAC=∠AN=60°，∴∠BA=∠CAN，
∴△BA≌△CAN（SAS），………………………………1分
∴∠ABC=∠ACN．………………………………2分
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．………………………………3分
理由如下：∵△ABC、△AN是等边三角形，∴AB=AC，A=AN，
∠BAC=∠AN=60°，∴∠BA=∠CAN，
∴△BA≌△CAN（SAS），………………………………4分
∴∠ABC=∠ACN．………………………………5分
（3）∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，A=N，顶角∠ABC=∠AN，
∴底角∠BAC=∠AN，∴△ABC∽△AN，……………………6分
∴=，又∵∠BA=∠BAC?∠AC，∠CAN=∠AN?∠AC，
∴∠BA=∠CAN，∴△BA∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．………………………………7分
（2014?顺义1月期末?24）如图，和都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，连结BD，BE，CE，延长CE交AB于点F，交BD于点G．
（1）求证：；
（2）若是边长可变化的等腰直角三角形，并将绕点旋转，使CE的延长线始终与线段BD（包括端点B、D）相交．当为等腰直角三角形时，求出的值．
24．解：（1）证明：∵，
∴．
∴．…………………………………………………1分
∵，且，
∴，
∴．…………………………………………………2分
又， …………………………………………… 3分
∴．………………………………………………4分
（2）解：∵，
∴．
①当，DE=BE时，如图①所示，
设AD=AE=x，则．
∵为等腰直角三角形，
∴．
∴．
∵+， 图①
∴．
∴． ……………………………………………5分
②当，DE=DB时，如图②所示，
同理设AD=AE=x，则．
∴．
∵，
∴．
∴． ……………… 6分 图②
③当，BD=BE时，如图③所示，
同理设AD=AE=x，则．
∴BD=BE=x．
∴四边形ADBE是正方形，
∴．
∴． …………7分 图③
（2014?延庆1月期末?24）如图①，已知点O为菱形ABCD的对称中心，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在点O处，OE ，OF分别交AB，BC于点 ，N.
（1）求证：O=ON；
（2）写出线段B ，BN与AB之间的数量关系，并进行证明；
（3）将图①中的△OEF绕O点顺时针旋转至图②所示的位置，请写出线段B ，BN
与AB之间的数量关系，并进行证明.
24.
（1）证明：取BC的中点G，连接OG
∵菱形ABCD,∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°,AB=BC=CD=DA……1分
∵点O为菱形ABCD的对称中心
∴OD=OB
∴，OG//CD ………………2分
∴∠BGO=∠C=60°, OG=OB
∵等边△OEF ∴∠EOF=60° ∴∠1=∠2
∵∠BGO=∠ABD=60°
∴△OB≌△OGN
∴O=ON ………………3分
(2)由（1）可知，B=NG
∵OB=OD，BG=GC ∴ ………………4分
∵BG=BN+NG，AB=BC ∴ ………………5分
（3）取BC中点G 同理可证：∴△OB≌△OGN
∴B=GN ………………6分
∴BG=BN-NG
∵ ∴ ………………7分
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