单元检测三　函数及其图象
(时间：120分钟　总分：120分)
一、(每小题3分，共30分)
1．在平面直角坐标系中，点P(3，－x2－1)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若反比例函数y＝kx的图象经过点(－1,2)，则这个函数的图象一定经过点(　　)
A．(2，－1) B．－12，2 C．(－2，－1) D．12，2
3．如果一次函数y＝kx＋b的图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那么(　　)
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
4．在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小 莹和小梅所跑的路程s(米)与所用时间t(秒)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD．下列说法正确的是(　　)

A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C．在起跑后180秒时，两人相遇 D．在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
5．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位长度，然后向上平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为(　　)
A．y＝－(x－1)2－3 B．y＝－(x＋1)2－3C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x＋1)2＋3
6．矩形面积为4，长为y，宽为x，y是x的函数，其函数图象大致是(　　)

7．如图，A是反比例函数y＝kx图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则k的值为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
8．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 ，水面宽为4 ．如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是(　　)

A．y＝－2x2 B．y＝2x2C．y＝－12x2 D．y＝12x2
9．函数y＝x＋与y＝x(≠0)在同一坐标系内的图象如图，可以是(　　)

10．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是(　　)

A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
二、题(每小题3分，共24分)
11．在平面直角坐标系中，点A(1,2)关于y轴对称的点为B(a,2)，则a＝__________.
12．函数y＝－xx－1中自变量x的取值范围是__________．
13．如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利(收入大于成本)时，销售量必须__________．

14．已知关于x的一次函数y＝x＋n的图象如图所示，则n－－2可化简为__________．

15．函数y1＝x(x≥0)，y2＝4x(x＞0)的图象如图所示，则结论：

①两函数图象的交点A的坐标为(2,2)；
②当x＞2时，y2＞y1；
③当x＝1时，BC＝3；
④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是__________．
16．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：____ ______，__________.(对称轴方程，图象与x轴正半轴、y轴交点坐标例外)
17．在直线y＝－x－1上且位于x轴下方的所有点，它们的横坐标的取值范围是______．
18．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2－2n＋1n(n＋1)x＋1n(n＋1)与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1＋A2B2＋…＋A2 011B2 011的值是__________．
三、解答题(共66分)
19．(6分)在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝kx的图象与y＝3x的图象关于x轴对称，又与直线y＝ax＋2交于点A(,3)，试确定a的值．
20．(6分)A市有某种型号的农用车50辆，B市有40辆，现要将这些农用车全部调往C，D两县，C县需要该种农用车42辆，D县需要48辆，从A市运往C，D两县农用车的费用分别为每辆300元和150元，从B市运往C，D两县农用车的费用分别为每辆200元和250元．
(1)设从A 市运往C县的农用车为x辆，此次调运总费用为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若此次调运的总费用不超过16 000元，有哪几种调运方案？哪种方案的费用最小？并求出最小费用．
21．(8分)如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为(－2,0)，点A的横坐标是2，tan∠CDO＝12.

(1)求点A的坐标；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式；
(3)求△AOB的面积．
22．(8分)某单位准备印制一批证书．现有两个印刷厂可供选择．甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y(千元)与证书数量x(千个)的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．

(1)请你直接写出甲厂的制版费及y甲与x的函数解析式，并求出其证书印刷单价．
(2)当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用？节省费用多少元？
(3)如果甲厂想把8千个证书的 印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？
23．(9分)[探究]在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F.
(1)若A(－1,0)，B(3,0)，则E点坐标为__________；
(2)若C(－2,2)，D(－2，－1)，则F点坐标为__________．
[归纳]在图2中，无论线段AB处于坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)，AB 中点为D(x，y)时，则D点坐标为________．(用含a，b，c，d的代数式 表示)
[运用]在图3中，一次函数y＝x－2与反比例函数y＝3x的图象交点为A，B．
(1)求出交点A，B的坐标；
(2)若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

24．(9分)下列材料：
题目：已知实数a，x满足a＞2且x＞2，试判断ax与a＋x的大小关系，并加以说明．
思路：可用“求差法”比较两个数的大小，先列出ax与a＋x的差y＝ax－(a＋x)，再
说明y的符号即可．
现给 出如下利用函数解决问题的方法：
简解：可将y的代数式整理成y＝(a－1)x－a，要判断y的符号可借助函数y＝(a－1)x－a的图象和性质解决．
参考以上解题思路解决以下问题：
已知a，b，c都是非负数，a＜5，且a2－a－2b－2c＝0，a＋2b－2c＋3＝0.
(1)分别用含a的代数式表示4b,4c；
(2)说明a，b，c之间的大小关系．
25．(10分)近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 g/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 g/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图，根据题中相关信息回答下列问题．

(1)求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应自变量的取值 范围．
(2)当空气中的CO浓度达到34 g/L时，井下3 k的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多快的速度撤离才能在爆炸前逃生？
(3)矿工只有在空气中的CO浓度降到4 g/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井．
26．(10分)如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4)．

(1)求抛物线解析式及顶点坐标．
(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求 OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
① OEAF的面积为24时，请判断 OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使 OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
一、1.D
2．A　将(－1,2)代入y＝kx，得k＝－2，则y＝－2x，然后将A项的横坐标代入，得y＝－22＝－1，可知A项符合，其他选项不符合．
3．B　∵当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx＋b的图象只能过第二、三、四象限，而不过第一象限，又∵函数图象与y轴负半轴相交，∴b＜0，k＞0.
4．D
5．D　将抛物线向左平移1个单位长度得到y＝－(x＋1)2，再向上平移3个单位长度得到y＝－(x＋1)2＋3.
6．B　7.D
8．C　根据题意设抛物线解析式为y＝ax2，点(2，－2)在函数图象上，所以代入y＝ax2，得a＝－12，
故解析式为y＝－12x2.
9．B　∵对于y＝x＋中，k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大；
又∵当＞0时，y＝x(≠0)的图象在第一、三象限内，且y＝x＋的图象与y轴交于正半轴，故知选B.
10．C　由图象可知，4ac－b24a＝3，可得b2－4ac＝－12a.而一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0判别式为b2－4a(c－3)＝b2－4ac＋12a＝－12a＋12a＝0，所以方程有两相等的实数根．
二、11.－1　12.x≥0，且x≠1
13．大于4　从图象上看，销量等于4时，销售收入和成本相等；销量大于4时，收入大于成本．
14．n　由图象可知＜0，n＞0，
∴n－－2＝n－＋＝n.
15．①③④　令y1＝y2，即x＝4x，得x＝±2，
∵x＞0，∴x＝2，
∴交点A的坐标为(2,2)，结论①正确；
由两个函数图象可知，当x＞2时，函数y2在函数y1的下方，即当x＞2时，y2＜y1，所以结论②错误；
当x＝1时，y1＝1，y2＝4，所以BC＝y2－y1＝3，结论③正确；
由正比例函数、反比例函数的性质可知，结论④正确．
16．答案不唯一．如①c＝3；②b＋c＝1；③c－3b＝9；④b＝－2；⑤当x＞－1时，y随x的增大而减小；⑥当x＜－1时，y随x的增大而增大，等等．
17．x＞－1　18.2 0112 012
三、19.解：由题意，得k＝－3，即y＝－3x，把A(,3)代入得＝－1，即A(－1,3)．
将A(－1, 3)代入y＝ax＋2，得－a＋2＝3，故a＝－1.
20．解：(1)根据题意得：y＝300x＋200(42－x)＋150(50－x)＋250(x－2)，
即y＝200x＋15 400.
又∵x≥0，42－x≥0，50－x≥0，x－2≥0，且x为整数，
解得2≤x≤42，且x为整数．
∴自变量x的取值范围是2≤x≤42，且x为整数．
(2)∵此次调运的总费用不超过16 000元，
∴200x＋15 400≤16 000.
解得x≤3，∴x可以取2,3.
方案一：从A市运往C县的农用车为2辆，从B市运往C县的农用车为40辆，从A市运往D县的农用车为48辆，从B市运往D县的农用车为0辆；
方案二：从A市运往C县的农用车为3辆，从B市运往C县的农用车为39辆，从A市运往D县的农用车为47辆，从B市运往D县的农用车为1辆．
∵y＝200x＋15 400是一次函数，且k＝200＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，y最小，即方案一费用最小．
此时，y＝200×2＋15 400＝15 800.
∴最小费用是15 800元．
21．解：(1)过点A作AE垂直x轴于E，因为D(－2,0)，E(2,0)，所以OD＝OE＝2.因为在Rt△ADE中，∠AED＝90°，tan∠ADE＝AEDE，因为tan∠CDO＝tan∠ADE＝12，OD＝2，OE＝2，所以AE＝tan∠ADE•DE＝12×4＝2，所以A(2,2)．

(2)因为反比例函数y＝kx过点A(2,2)，所以k＝4，所以y＝4x.因为一次函数y＝ax＋b过A(2,2)，D(－2,0)，所以2a＋b＝2，－2a＋b＝0，解得a＝12，b＝1，所以y＝12x＋1.
(3)因为4x＝12x＋1，所以x2＋2x－8＝0，即(x＋4)(x－2)＝0，所以x1＝－4，x2＝2，所以B(－4，－1)，所以S△AOB＝S△AOD＋S△BOD＝12×2×2＋12×2×1＝3.
22．解：(1)制版费1千元，y甲＝12x＋1，证书单价0.5元．
(2)把x＝6代入y甲＝12x＋1中得y甲＝4.
当x≥2时，由图象可设y乙与x的函数关系式为y乙＝kx＋b，由已知得2k＋b＝3，6k＋b＝4，解得b＝52，k＝14，得y乙＝14x＋52.
当x＝8时，y甲＝12×8＋1＝5 ，y乙＝14×8＋52＝92，5－92＝0.5(千元)．
即当印制8千张证书时，选择乙厂， 节省费用500元．
(3)设甲厂每个证书的印刷费用应降低a元，
8 000a＝500，
解得a＝0.062 5.
答：甲厂每个证书印刷费最少降低0.062 5元．
23．解：[探究](1)(1,0)　(2)－2，12
[归纳]a＋c2，b＋d2
[运用](1)由题意得y＝x－2，y＝3x，
解得x＝3，y＝1或x＝－1，y＝－3.
∴即交点的坐标为A(－1，－3)，B(3,1)．
(2)以AB为对角线时，由上面的结论知AB中点的坐标为(1，－1)．∵平行四边形对角线互相平分，∴O＝P，即为OP的中点．∴P点坐标为(2，－2)．同理可得分别以OA，OB为对角线时，点P坐标分别为(4,4)，(－4，－4)．
∴满足条件的点P有 3个，坐标分别是(2 ，－2)，(4,4)，(－4，－4)．
24．解：(1)∵a2－a－2b－2c＝0，a＋2b－2c＋3＝0，
∴2b＋2c＝a2－a，2c－2b＝a＋3.
消去b并整理，得4c＝a2＋3.
消去c并整理，得4b＝a2－2a－3.
(2)∵4b＝a2－2a－3＝(a－3)(a＋1)＝(a－1)2－4，
将4b看成a的函数，由函数4b＝(a－1)2－4的性质结合它的图象(如图1所示)，以及a，b均为非负数得a≥3.
又∵a＜5，
∴3≤a＜5.
∵4(b－ a)＝a2－6a－3＝(a－3)2－12，
将4(b－a)看成a的函数，由函数4(b－a)＝(a－3)2－12的性质结合它的图象(如图2所示)可知，当3≤a＜5时，4(b－a)＜0.

∴b＜a.
∵4(c－a)＝a2－4a＋3＝(a－1)(a－3)，a≥3，
∴4(c－a)≥0.
∴c≥a.∴b＜a≤c.
25．解：(1)∵爆炸前浓度呈直线型增加，
∴可设y与x的函数关系式为y＝k1x＋b.
由图象知y＝k1x＋b过点(0,4)与(7,46)，
∴b＝4，7k1＋b＝46，解得k1＝6，b＝4.
∴y＝6x＋4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7.
∵爆炸后浓度成反比例下降，
∴可设y与x的函数关系式为y＝k2x.
由图象知y＝k2x过点(7,46)，∴k27＝46，∴k2＝322，
∴y＝322x，此时自变量x的取值范围是x＞7.
(2)当y＝34时，由y＝6x＋4得6x＋4＝34，x＝5.
∴撤离的最长时间为7－5＝2(h)．
∴撤离的最小速度为3÷2＝1.5(k/h)．
(3)当y＝4时，由y＝322x得x＝80.5,80.5－7＝73.5(h)．
∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．
26．解：(1)由抛物线的对称轴是x＝72，可设解析式为y＝ax－722＋k，
把A，B两点坐标代入上式，得a6－722＋k＝0，a0－722＋k＝4，
解得a＝23，k＝－256，故抛物线解析式为
y＝23x－722－256，顶点为72，－256.
(2)∵点E(x，y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合y＝23x－722－256，
∴y＜0，即－y＞0，－y表示点E到OA的距离．
∵OA是 OEAF的对角线，
∴S＝2S△OAE＝2×12×OA•y＝－6y＝－4x－722＋25.
∵抛物线与x轴的两个交点是(1,0)和(6,0)，
∴自变量x的取值范围是1＜x＜6.
①根据题意，当S＝24时，即－4x－722＋25＝24，
化简，得x－722＝14，解得x1＝3，x2＝4，
故所求的点 E有两个，分别为E1(3，－4)，E2(4，－4)，
点E1(3，－4)满足OE＝AE，此时 OEAF是菱形；
点E2(4，－4)不满足OE＝AE，此时 OEAF不是菱形．
②当OE⊥EA，且OE＝EA时， OEAF是正方形，此时点E的坐标只能是(3，－3)，而坐标为(3，－3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使 OEAF为正方形．

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