达州市2013年高中阶段教育学校招生统一考试
数 学
本试卷分为第I卷（）和第II卷（非）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至10页。考试时间120分钟，满分120分。
第I卷（选择题，共30分）
温馨提示：
1、答第I卷前，请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上。
2、每小题选出正确答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑。
3、考试结束后，请将本试卷和机读卡一并交回。
一．选择题：（本题10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．－2013的绝对值是（ ）
A．2013 B．-2013 C．±2013 D．
答案：A
解析：负数的绝对值是它的相反数，故选A。
2．某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元。这一数据用科学记数法表示为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
答案：C
解析：科学记数法写成： 形式，其中 ，二十一万三千元＝213000＝ 元
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
答案：D
解析：A、C只是轴对称图形，不是中心对称图形；B是中心对称图形，不是轴对称轴图形，只有D符合。
4．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%。那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．一样
答案：C
解析：设原价a元，则降价后，甲为：a（1－20%）（1－10%）＝0.72a元，
乙为：（1－15%）2a＝0.7225a元，丙为：（1－30%）a＝0.7a元，所以，丙最便宜。
5．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
答案：C
解析：因为太阳从东边出来，右边是东，所以，早上的投影在左边，（3）最先，下午的投影在右边，（2）最后，选C。
6．若方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
答案：B
解析：因为方程有两个不相等的实数根，所以，△＝36－12＞0，得＜3，故选B。
7．下列说法正确的是（ ）
A．一个游戏中奖的概率是 ，则做100次这样的游戏一定会中奖
B．为了了解全国中学生的心理健康状况，应采用普查的方式
C．一组数据0，1，2，1，1的众数和中位数都是1
D．若甲组数据的方差 ，乙组数据的方差 ，则乙组数据比甲组数据稳定
答案：C
解析：由概率的意义，知A错；全国中学生较多，应采用抽样调查，故B也错；经验证C正确；方差小的稳定，在D中，应该是甲较稳定，故D错。
8．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，OF= 米，则这段弯路的长度为（ ）
A．200π米 B．100π米
C．400π米 D．300π米
答案：A
解析：CF＝300，OF＝ ，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°，
OC＝600，因此，弧CD的长为： ＝200π米
9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2 B．3
C．4 D．5
答案：B
解析：由勾股定理，得AC＝5，因为平行边形的对角线互相平分，所以，DE一定经过AC中点O，当DE⊥BC时，DE最小，此时OD＝ ，所以最小值DE＝3
10．二次函数 的图象如图所示，反比例函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
答案：B
解析：由二次函数图象，知a＜0，c＞0， ＞0，所以，b＞0，
所以，反比例函数图象在一、三象限，排除C、D，直线y＝cx＋a中，因为a＜0，所以，选B。
第II卷（非选择题，共90分）
二．题：（本题6个小题，每小题3分，共18分。把最后答案直接填在题中的横线上）
11．分解因式： =_ _.
答案：x（x＋3）（x－3）
解析：原式＝x（x2－9）＝x（x＋3）（x－3）
12．某校在今年“五•四”开展了“好书伴我成长”的读书活动。为了解八年级450名学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生本学期读书册数，并将统计数据制成了扇形统计图，则该校八年级学生读书册数等于3册的约有 名。
答案：162
解析：读书册数等于3的约占比例：1－6%－24%－30%－6%＝36%，
36%×450＝162
13．点 、 在反比例函数 的图象上，当 时， ,则k的取值可以是___ _（只填一个符合条件的k的值）.
答案：－1
解析：由题知，y随x的增大而增大，故k是负数，此题答案不唯一。
14．如果实数x满足 ，那么代数式 的值为_ _.
答案：5
解析：由知，得 ＝3，原式＝ ＝5。
15．如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x 的取值范围是 .
答案：2≤x≤6
解析：如图，设AG＝y，则BG＝6－y，在Rt△GAE中，
x2＋y2＝（6－y）2，即 （ ，当y＝0时，x取最大值为6；当y＝ 时,x取最小值2，故有2≤x≤6
16．如图，在△ABC中，∠A=°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度。
答案：
解析：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=k∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A1，∴∠A1= ，
同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，∴∠A2= ，
所以，猜想：∠A2013=
三．解答题（72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
（一）（本题2个小题，共13分）
17．（6分）计算：
解析：原式＝1＋2 － ＋9＝10＋
18．（7分）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测。如图，E、F为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从A点向正北方向巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离CF= 公里，在A点测得钓鱼岛最西端F在最东端E的东北方向（C、F、E在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（ ， ，结果精确到0.1）
解析：
由题知，在Rt△ACF中，∠ACF=90°,
∠A=30°，CF=20 公里.
∴cot30°= .
解得，AC=60（公里）.………………………(2分)
又∵E在B的东北方向，且∠ACF=90°
∴∠E=∠CBE=45°，
∴CE=CB.………………………………………………(4分)
又∵CB=AC-AB=60-22=38(公里)，
∴CE=38公里.………………………(5分)
∴EF=CE-CF=38-20 ≈3.4（公里）………………………(6分)
答：钓鱼岛东西两端的距离约为3.4公里.………………………(7分)
（二）（本题2个小题，共14分）
19．（7分）已知 ，则
……
已知 ，求n的值。
解析：由题知
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)
= + + +…+
=1- + - + - +…+ -
=1- ………………………(4分）
= .………………………(4分）
又∵f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n)= ,
∴ = .
解得n=14.………………………(6分）
经检验，n=14是上述方程的解.
故n的值为14.………………………(7分）
20．（7分）某中学举行“中国梦•我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽。
这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明。
解析：公平.………………………(1分)
用列表法或树状图列出该事件的等可能情况如下：
由此可知该事件共有12种等可能结果.………………………(4分)
∵四张卡片中，A、B中的算式错误，C、D中的算式正确，
∴都正确的有CD、DC两种，都错误的有AB、BA两种.………………………(5分)
∴班长去的概率P（班长去）= = ，
学习委员去的概率P（学习委员去）= = ，
P（班长去）=P（学习委员去)
∴这个游戏公平.………………………(7分)
（三）（本题2个小题，共16分）
21．（8分）已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于A 、B 两点，连结AO。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标。
解析：
(1)∵y= 的图像过点（ ，-3），
∴k1=3xy=3× ×(-3)=-3.
∴反比例函数为y .………………………(1分）
∴a= =1，
∴A（-1,1）.………………………(2分）
∴
解得
∴一次函数为y=-3x-2.………………………(4分）
16、C(0, )、………………………(5分）
或（0，- ）、………………………(6分）
或（0,1）、………………………(7分）
或（0，2）.………………………(8分）
22．（8分）选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。例如
①选取二次项和一次项配方： ；
②选取二次项和常数项配方： ，
或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出 的两种不同形式的配方；
（2）已知 ，求 的值。
解析：：（1） ＝x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12
或 ＝（x-2）2-4x
(2)
X=-1,y=2.因此xy=(-1)2=1
（四）（本题2个小题，共17分）
23．（8分）今年，6月12日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为2元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。
（1）小华的问题解答：
解析：（1）解：设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得
（x-2)（500- ×10）=800 .………………………(2分）
整理得：x2-10x+24=0.
解之得：x1=4,x2=6.………………………(3分）
∵物价局规定，售价不能超过进价的240%，即2×240%=4.8（元）.
∴x2=6不合题意,舍去,得x=4.
答：应定价4元/个，才可获得800元的利润.………………………(4分）
（2）解：设每天利润为W元，定价为x元/个，得
W=（x-2)(500- ×10)
=-100x2+1000x-1600
=-100(x-5)2+900.………………………(6分）
∵x≤5时W随x的增大而增大,且x≤4.8，
∴当x=4.8 时，W最大，
W最大=-100×（4.8-5)2+900=896＞800 .………………………(7分）
故800元不是最大利润.当定价为4.8元/个时，每天利润最大.………………………(8分）
24．（9分）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。
FF
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。
根据__SAS__________，易证△AFG≌_△AFE_______，得EF=BE+DF。
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_互补___时，仍有EF=BE+DF。
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。
解：BD2+EC2=DE2
解析：(1)SAS………………………(1分）
△AFE………………………(2分）
(2)∠B+∠D=180°………………………(4分）
(3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分）
∵AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合.
∵△ABC中，∠BAC=90°.
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.
∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分）
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG.又∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）
（五）（本题12分）
25．如图，在直角体系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3。取BO的中点D，连接CD、D和OC。
（1）求证：CD是⊙的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、P，求△PD的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PD的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使 ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）证明：连结C.
∵OA 为⊙直径,
∴∠OCA=90°.
∴∠OCB=90°.
∵D为OB中点,
∴DC=DO.
∴∠DCO=∠DOC.………………………(1分）
∵O=C,
∴∠CO=∠OC.………………………(2分）
∴∠DC=∠DCO+∠CO=∠DOC+∠OC=∠DO=90°.………………………(3分）
又∵点C在⊙上，
∴DC是⊙的切线.………………………(4分）
（2）解：在Rt△ACO中,有OC= .
又∵A点坐标（5，0）, AC=3,
∴OC= =4.
∴tan∠OAC= .
∴ .解得 OB= .
又∵D为OB中点，∴OD= .
D点坐标为（0， ).………………………(5分）
连接AD，设直线AD的解析式为y=kx+b,则有
j解得
∴直线AD为y=- x+ .
∵二次函数的图象过（ ,0)、A(5,0)，
∴抛物线对称轴x= .………………………(6分）
∵点、A关于直线x= 对称，设直线AD与直线x= 交于点P,
∴PD+P为最小.
又∵D为定长，
∴满足条件的点P为直线AD与直线x= 的交点.………………………(7分）
当x= 时,y=- + = .
故P点的坐标为（ ， ）.………………………(8分）
（3）解：存在.
∵S△PD=S△DA-S△PA
= A•yD- A•yP
= A(yD-yp).
S△QA= A• ,由（2）知D（0， ),P( ， ）,
∴ ×（ - ）=yQ 解得yQ=± ………………………(9分）
∵二次函数的图像过(0， )、A(5，0），
∴设二次函数解析式为y=a(x- )（x-5).
又∵该图象过点D（0， )，
a×(- ）×(-5)= ，a= .
∴y= (x- )(x-5).………………………(10分）
又∵C点在抛物线上，且yQ=± ，
∴ (x- )(x-5)=± .
解之，得x1= ，x2= ，x3= .
∴点Q的坐标为（ ， )，或（ ， )，或（ ，- ）.…………(12分）
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