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图形的相似2013年全国中考题汇编

编辑: 路逍遥 关键词: 九年级 来源: 记忆方法网

(2013•广东)如题22图,矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.
(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 ,
则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”);
(2)写出题22图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.
(1) S1= S2+ S3;
(2)△BCF∽△DBC∽△CDE;
选△BCF∽△CDE
证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°
在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中,∠CBF+∠BCF=90°
∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.
(2013•珠海)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.
(1)求证:∠CBP=∠ABP;
(2)求证:AE=CP;
(3)当 ,BP′=5 时,求线段AB的长.

考点:全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.3481324
专题:几何综合题.
分析:(1)根据旋转的性质可得AP=AP′,根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P,再根据等角的余角相等证明即可;
(2)过点P作PD⊥AB于D,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等,根据全等三角形对应边相等可得AE=DP,从而得证;
(3)设CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A= AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可.
解答:(1)证明:∵AP′是AP旋转得到,
∴AP=AP′,
∴∠APP′=∠AP′P,
∵∠C=90°,AP′⊥AB,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°,
又∵∠BPC=∠APP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠ABP;

(2)证明:如图,过点P作PD⊥AB于D,
∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,
∴CP=DP,
∵P′E⊥AC,
∴∠EAP′+∠AP′E=90°,
又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
∴∠PAD=∠AP′E,
在△APD和△P′AE中, ,
∴△APD≌△P′AE(AAS),
∴AE=DP,
∴AE=CP;

(3)解:∵ = ,
∴设CP=3k,PE=2k,
则AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k,
在Rt△AEP′中,P′E= =4k,
∵∠C=90°,P′E⊥AC,
∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°,
∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),
∴∠CBP=∠P′PE,
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,
∴△ABP′∽△EPP′,
∴ = ,
即 = ,
解得P′A= AB,
在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2,
即AB2+ AB2=(5 )2,
解得AB=10.

点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,旋转的性质,角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,(2)作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键,(3)利用相似三角形对应边成比例求出P′A= AB是解题的关键.
(2013•哈尔滨) 如图,在△ABC中,、N分别是边AB、AC的中点,则△AN的面积与四边形BCN的面积比为( ).
(A) (B) (C) (D)


(2013•哈尔滨)如图,在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,A点的坐标为(3,0),以0A为边作等边三角形OAB,点B在第一象限,过点B作AB的垂线交x轴于点C.动点P从0点出发沿0C向C点运动,动点Q从B点出发沿BA向A点运动,P,Q两点同时出发,速度均为1个单位/秒。设运动时间为t秒.
(1)求线段BC的长;
(2)连接PQ交线段OB于点E,过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为,求与t之间的函数关系式,并直接写出自变量t的取值范围:
(3)在(2)的条件下,将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上,点F的对应点是F1,E1F1交x轴于点G,连接PF、QG,当t为何值时,2BQ-PF= QG?

(2013•哈尔滨)已知:△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C),点E、F分别是线段BC
和线段BD上的点,且点F在线段EC的垂直平分线上,连接AF、AE,AE交BD于点G.
(1)如图l,求证:∠EAF=∠ABD;
(2)如图2,当AB=AD时,是线段AG上一点,连接B、ED、F,F的延长线交ED于点N,∠BF= ∠BAF,AF= AD,试探究线段F和FN之间的数量关系,并证明你的结论.

(2013•牡丹江)如图,在△ABC中∠A=60°,B⊥AC于点,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接P,PN,则下列结论:①P=PN;② ;③△PN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN= PC.其中正确的个数是(  )

 A.1个B.2个C.3个D.4个

考点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的判定;直角三角形斜边上的中线.3718684
分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确;
先证明△AB∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确;
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠AB=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CB=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CP=120°,从而得到∠PN=60°,又由①得P=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确;
当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,由P为BC边的中点,得出BN= PB= PC,判断④正确.
解答:解:①∵B⊥AC于点,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,
∴P= BC,PN= BC,
∴P=PN,正确;

②在△AB与△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AB=∠ANC=90°,
∴△AB∽△ACN,
∴ ,正确;

③∵∠A=60°,B⊥AC于点,CN⊥AB于点N,
∴∠AB=∠ACN=30°,
在△ABC中,∠BCN+∠CB?180°?60°?30°×2=60°,
∵点P是BC的中点,B⊥AC,CN⊥AB,
∴P=PN=PB=PC,
∴∠BPN=2∠BCN,∠CP=2∠CB,
∴∠BPN+∠CP=2(∠BCN+∠CB)=2×60°=120°,
∴∠PN=60°,
∴△PN是等边三角形,正确;

④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∴BN=CN,
∵P为BC边的中点,
∴PN⊥BC,△BPN为等腰直角三角形
∴BN= PB= PC,正确.
故选D.

点评:本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.
(2013•牡丹江)如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,连接CD,请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC(答案不唯一) ,使△ABC∽△ACD.(只填一个即可)

考点:相似三角形的判定.3718684
专题:开放型.
分析:相似三角形的判定有三种方法:
①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;
②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;
③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.
由此可得出可添加的条件.
解答:解:由题意得,∠A=∠A(公共角),
则可添加:∠ACD=∠ABC,利用两角法可判定△ABC∽△ACD.
故答案可为:∠ACD=∠ABC.
点评:本题考查了相似三角形的判定,解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法,本题答案不唯一.

(2013•乌鲁木齐)如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,CD=3,则GH的长为   .

考点:平行线分线段成比例.3797161
分析:根据平行线分线段成比例定理,由AB∥GH,得出 = ,由GH∥CD,得出 = ,将两个式子相加,即可求出GH的长.
解答:解:∵AB∥GH,
∴ = ,即 = ①,
∵GH∥CD,
∴ = ,即 = ②,
①+②,得 + = + ,
∵CH+BH=BC,
∴ + =1,
解得GH= .
故答案为 .
点评:本题考查了平行线分线段成比例定理,熟练运用等式的性质进行计算.本题难度适中.
(2013•安徽)如图,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),将线段OP0按逆时针方向旋转45°,将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;再将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;如此下去,得到线段OP3,OP4,…,OPn(n为正整数)
(1)求点P6的坐标;(2)求△P5OP6的面积;
(3)我们规定:把点Pn(xn,yn)(n=0,1,2,3,…)的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标(xn, yn)称之为点Pn的“绝对坐标”.根据图中点Pn的分布规律,请你猜想点Pn的“绝对坐标”,并写出来.

1)根据旋转规律,点P6落在y轴的负半轴,而点Pn到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的 倍,故其坐标为P6(0,26),即P6(0,64);
(2)由已知可得,△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△Pn-1OPn.
设P1(x1,y1),则y1=2sin45°= ,∴S△P0OP1= ×1× = ,又

(3)由题意知,OP0旋转 次之后回到x轴正半轴,在这 次中,点Pn分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上,但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数,因此,点Pn的坐标可分三类情况:令旋转次数为n,
①当n=8k或n=8k+4时(其中k为自然数),点Pn落在x轴上,此时,点Pn的绝对坐标为(2n,0);
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时(其中k为自然数),点Pn落在各象限的平分线上,此时,点Pn的绝对坐标为( ×2n, ×2n),即(2n—1 ,2n—1 );
③当n=8k+2或n=8k+6时(其中k为自然数),点Pn落在y轴上,
此时,点Pn的绝对坐标为(0,2n).

(2013•上海)如图1,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,
DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB = 3∶5,那么CF∶CB等于( )
(A) 5∶8 ; (B)3∶8 ; (C) 3∶5 ; (D)2∶5.

(2013•邵阳)如图所示,在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点,点P′是点P关于直线BC的对称点,连结PP′交BC于点,BP′交AC于D,连结BP、AP′、CP′.
(1)若四边形BPCP′为菱形,求B的长;
(2)若△BP′∽△ABC,求B的长;
(3)若△ABD为等腰三角形,求△ABD的面积.

考点:相似形综合题.
分析:(1)由菱形的性质可知,点为BC的中点,所以B可求;
(2)△ABC为等腰直角三角形,若△BP′∽△ABC,则△BP′必为等腰直角三角形.证明△BP′、△BP、△BPP′均为等腰直角三角形,则BP=BP′;证明△BCP为等腰三角形,BP=BC,从而BP′=BC=4,进而求出B的长度;
(3)△ABD为等腰三角形,有3种情形,需要分类讨论计算.
解答:解:(1)∵四边形BPCP′为菱形,而菱形的对角线互相垂直平分,
∴点为BC的中点,
∴B= BC= ×4=2.

(2)△ABC为等腰直角三角形,若△BP′∽△ABC,
则△BP′必为等腰直角三角形,B=P′.
由对称轴可知,P=P′,PP′⊥BC,则△BP为等腰直角三角形,
∴△BPP′为等腰直角三角形,BP′=BP.
∵∠CBP=45°,∠BCP= (180°?45°)=67.5°,
∴∠BPC=180°?∠CBP?∠BCP=180°?45°?67.5°=67.5°,
∴∠BPC=∠BCP,
∴BP=BC=4,
∴BP′=4.
在等腰直角三角形BP′中,斜边BP′=4,
∴B= BP′= .

(3)△ABD为等腰三角形,有3种情形:
①若AD=BD,如题图②所示.
此时△ABD为等腰直角三角形,斜边AB=4,
∴S△ABD= AD•BD= × × =4;
②若AD=AB,如下图所示:

过点D作DE⊥AB于点E,则△ADE为等腰直角三角形,
∴DE= AD= AB=
∴S△ABD= AB•DE= ×4× = ;
③若AB=BD,则点D与点C重合,可知此时点P、点P′、点均与点C重合,
∴S△ABD=S△ABC= AB•BC= ×4×4=8.
点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形的性质、等腰直角三角形、等腰三角形、菱形、勾股定理等知识点,难度不大.第(3)问考查了分类讨论的数学思想,是本题的难点.
 (2013•柳州)小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图),然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为(  )

 A.10米B.12米C.15米D.22.5米

考点:相似三角形的应用.
专题:.
分析:在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.根据相似三角形的对应边的比相等,即可求解.
解答:解:∵ =
即 = ,
∴楼高=10米.
故选A.
点评:本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.
(2013•临沂)如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则 的值为   ;
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求 的值;
(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且使AP:PC=1:2时,如图3, 的值是否变化?证明你的结论.

考点:几何变换综合题
分析:(1)证明△APE≌△PCF,得PE=CF;在Rt△PCF中,解直角三角形求得 的值;
(2)如答图1所示,作辅助线,构造直角三角形,证明△PE∽△PNF,并利用(1)的结论,求得 的值;
(3)如答图2所示,作辅助线,构造直角三角形,首先证明△AP∽△PCN,求得 的值;然后证明△PE∽△PNF,从而由 求得 的值.与(1)(2)问相比较, 的值发生了变化.
解答:解:(1)∵矩形ABCD,
∴AB⊥BC,PA=PC;
∵PE⊥AB,BC⊥AB,
∴PE∥BC,
∴∠APE=∠PCF;
∵PF⊥BC,AB⊥BC,
∴PF∥AB,
∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE与△PCF中,

∴△APE≌△PCF(ASA),
∴PE=CF.
在Rt△PCF中, =tan30°= ,
∴ = .

(2)如答图1,过点P作P⊥AB于点,PN⊥BC于点N,则P⊥PN.

∵P⊥PN,PE⊥PF,
∴∠EP=∠FPN,
又∵∠PE=∠PNF=90°,
∴△PE∽△PNF,
∴ .
由(1)知, = ,
∴ = .

(3)答:变化.
证明:如答图2,过点P作P⊥AB于点,PN⊥BC于点N,则P⊥PN,P∥BC,PN∥AB.

∵P∥BC,PN∥AB,
∴∠AP=∠PCN,∠PA=∠CPN,
∴△AP∽△PCN,
∴ ,得CN=2P.
在Rt△PCN中, =tan30°= ,∴ = .
∵P⊥PN,PE⊥PF,
∴∠EP=∠FPN,
又∵∠PE=∠PNF=90°,
∴△PE∽△PNF,
∴ = .
∴ 的值发生变化.
点评:本题是几何综合题,考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点.本题三问的解题思路是一致的:即都是直接或作辅助线构造直角三角形,通过相似三角形或全等三角形解决问题.
(2013•重庆B)已知 ∽ ,若 与 的相似比为3:4,则 与 的面积之比为
A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16



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