2014年1月期末试题分类汇编——代几综合
(2014?石景山1月期末?26.)已知点和点在抛物线上.
(1)求的值及点的坐标;
(2)点在轴上,且满足△是以为直角边的直角三角形,求点的坐标;
(3)平移抛物线,记平移后点A的对应点为,点B的对应点为. 点(2,0)在x轴上,当抛物线向右平移到某个位置时,最短,求此时抛物线的函数解析式.
26.解:(1) ……………………1分
抛物线解析式为:
……………………2分
(2) 记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点,
………………………3分
①以A为直角顶点,则
则
又
…………………4分
②以为直角顶点,则
………………………5分
(3)记点A关于x轴的对称点为
则BE:
令y=0,得
即BE与x轴的交点为……6分
故抛物线向右平移个单位时最短
此时,抛物线的解析式为…………………7分
(2014?西城1月期末?25)已知:二次函数的图象与x轴交于点A,B(A点在B点的左侧),与y轴交于点C,△ABC的面积为12.
(1)①:二次函数图象的对称轴为 ;
②求二次函数的解析式;
(2) 点D的坐标为(-2,1),点P在二次函数图象上,∠ADP为锐角,且,求点P的横坐标;
(3)点E在x轴的正半轴上,,点O与点关于EC所在直线对称.作⊥于点N,交EC于点.若E?EC=32,求点E的坐标.
25.解:(1)①该二次函数图象的对称轴为直线;1分
②∵ 当x=0时,y=-4,
∴ 点C的坐标为.
∵ =12,
∴ AB=6.
又∵点A,B关于直线对称,
∴ A点和B点的坐标分别为,.
∴ .解得 .
∴ 所求二次函数的解析式为.2分
(2)如图,作DF⊥x轴于点F.分两种情况:
(?)当点P在直线AD的下方时,如图所示.
由(1)得点A,点D,
∴ DF=1,AF=2.
在Rt△ADF中,,得.
延长DF与抛物线交于点P1,则P1点为所求.
∴ 点P1的坐标为.3分
(?)当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1,连接DG,作GH⊥x轴于点H,如图所示.
可证 △GHA≌△.
∴ HA =AF,GH = P1 F,GA =P1A.
又∵ ,,
∴ 点的坐标是.
在△ADP1中,
,DP1=5,
,
∴ .
∴ .
∴ DA⊥.
∴ .
∴ .
∴ .
设DG与抛物线的交点为P2,则P2点为所求.
作DK⊥GH于点K,作P2S∥GK交DK于点S.
设P2点的坐标为,
则,.
由,,,得.
整理,得 .
解得.
∵ P2点在第二象限,
∴ P2点的横坐标为(舍正).
综上,P点的横坐标为-2或.5分
(3)如图,连接O,交CE于T.连接C.
∵ 点O与点关于EC所在直线对称,
∴ O⊥CE,CE,∠CE .
∴ C⊥E.
∵ ON⊥E,
∴ C∥N.
∴ C E .
∴ .6分
∴ .
∵ 在Rt△ETO中,,,
在Rt△中,,,
∴ .
∵ ,
∴ .
∵ 点E在x轴的正半轴上,
∴ E点的坐标为).8分
(2014?海淀1月期末?25)如图1,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D(1,)在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点.
(1)求此二次函数的解析式和点C的坐标;
(2)当点D的坐标为(1,1)时,连接BD、.求证:平分;
(3)点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标.
25. (本小题满分8分)
解:(1)∵点D(1,)在图象的对称轴上,
∴.
∴.
∴二次函数的解析式为.………………………………………1分
∴C(1,-4). …………………………………………………………………2分
(2)∵D(1,1),且DE垂直于y轴,
∴点E的纵坐标为1,DE平行于x轴.
∴.
令,则,解得.
∵点E位于对称轴右侧,
∴E.
∴D E =.
令,则,求得点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(-1,0).
∴BD =.
∴BD = D E.……………………………………………………………………3分
∴ .
∴ .
∴平分.……………………………………………………………4分
(3)∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,
且△GDE为直角三角形,
∴△ACG为直角三角形.
∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限,
∴.
∵A(3,0)C(1,-4),,
∴求得G点坐标为(1,1).
∴AG=,AC=.
∴AC=2 AG.
∴GD=2 DE或 DE =2 GD.
设(t >1) ,
.当点D在点G的上方时,则DE=t -1,
GD = ()=.
i. 如图2,当 GD=2 DE时,
则有, = 2(t-1).
解得,.(舍负)………………………5分
ii. 如图3,当DE =2GD时,
则有,t -1=2().
解得,.(舍负)…………………6分
. 当点D在点G的下方时,则DE=t -1,
GD=1- ()= -.
i. 如图4,当 GD=2 DE时,
则有, =2(t -1).
解得,.(舍负) ………………………7分
ii. 如图5,当DE =2 GD时,
则有,t-1=2().
解得,.(舍负) …………………8分
综上,E点的横坐标为或或或.
(2014?朝阳1月期末?24)在平面直角坐标系中,抛物线过点,且与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.点D的坐标为,连接CA,CB,CD.
(1)求证:;
(2)是第一象限内抛物线上的一个动点,连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出点E的坐标;
②连接CP,当△CDP的面积最大时,求点E的坐标.
24.解:(1)∵抛物线y = x2+(+2)x+2过点(2,4),
∴.
∴抛物线表达式为. ………………………1分
∴A(-1,0),B(6,0),C(0,2) .
作B⊥CD,交CD延长线于点,
在Rt△DOC中,
∵OC=OD=2,
∴∠CDO=∠BD=45o,CD=.
在Rt△BD中,
∵BD=4,
∴D=B=.
在Rt△CB中,.
在Rt△AOC中,.
∴tan∠BC=tan∠ACO.
∴∠BCD=∠ACO. ………………………………………………2分
(2)①,. ……………………………………4分
②设,
过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交CD延长线于点Q,
直线CD的解析式为y=-x+2.
∴Q(x,-x+2).
.
∴(0<x<6).………5分
当x=4时,最大,此时. ……………6分
直线PD的解析式为 .
直线CB的解析式为 .
PD与CB的交点为. ………………………7分
∴当△CDP的面积最大时,点E坐标为.
(2014?东城1月期末?25)在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B(0,4),已知点E(0,1).
(1)求的值及点A的坐标;
(2)如图,将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′,连结A′B、BE′.
①当点E′落在该二次函数的图象上时,求AA′的长;
②设AA′=n,其中0<n<2,试用含n的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;
③当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标.
25.解:(1)由题意可知 ,.
∴ 二次函数的解析式为.
∴ 点A的坐标为(- 2, 0). …………………………..2分
(2)①∵ 点E(0,1),由题意可知,
.
解得 .
∴ AA′=. ……………………………..3分
②如图,连接EE′.
由题设知AA′=n(0<n<2),则A′O = 2 - n.
在Rt△A′BO中,由A′B2 = A′O2 + BO2,
得A′B2 =(2?n)2 + 42 = n2 - 4n + 20.
∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的,
∴EE′∥AA′,且EE′=AA′.
∴∠BEE′=90°,EE′=n.
又BE=OB - OE=3.
∴在Rt△BE′E中,BE′2 = E′E2 + BE2 = n2 + 9,
∴A′B2 + BE′2 = 2n2 - 4n + 29 = 2(n?1)2 + 27.
当n = 1时,A′B2 + BE′2可以取得最小值,此时点E′的坐标是(1,1).
……………………………..5分
③如图,过点A作AB′⊥x轴,并使AB′ = BE = 3.
易证△AB′A′≌△EBE′,
∴B′A′ = BE′,
∴A′B + BE′ = A′B + B′A′.
当点B,A′,B′在同一条直线上时,A′B + B′A′最小,即此时A′B+BE′取得最小值.
易证△AB′A′∽△OBA′,
∴,
∴AA′=,
∴EE′=AA′=,
∴点E′的坐标是(,1). ………………………………………….8分
(2014?丰台1月期末?24)已知直线y=kx-3与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动,点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.
(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式;
(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似;
(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大.若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
24.解:(1)∵ 直线y=kx-3过点A(4,0),∴ 0 = 4k -3,解得k=.
∴ 直线的解析式为 y=x-3.……………………………………1分
由直线y=x-3与y轴交于点C,可知C(0,-3) .
∴ ,解得 =.
∴ 抛物线解析式为 ………………………2分
(2)对于抛物线,
令y=0,则,解得x1=1,x2=4.
∴ B(1,0). ………………………………………………3分
∴ AB=3,AO=4,OC=3,AC=5,AP=3-t,AQ=5-2t.
若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC(如图1),
∴ △AP1Q1∽△AOC.
∴ , ∴.解得t= ; ………4分
② 若∠P2Q2A=90°, ∵∠P2AQ2 =∠OAC,∴ △AP2Q2∽△AOC.
∴ , ∴ .解得t=; ………………5分
综上所述,当t的值为或时,以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似.
(3)答:存在.
过点D作DF⊥x轴,垂足为E,交AC于点F(如图2).
∴ S△ADF=DF?AE,S△CDF=DF?OE.
∴ S△ACD= S△ADF + S△CDF=DF×(AE+OE) =×4 (DE+EF)
=2×()=.…………6分
∴ S△ACD=(0<x<4).
又0<2<4且二次项系数,∴ 当x=2时,S△ACD的面积最大.
而当x=2时,y=.∴ 满足条件的D点坐标为D (2, ). …………………7分
(2014?大兴1月期末?25.)已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A在x轴负半轴上,点B在x轴正半轴上,且,抛物线的顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)点E(0,n)在y轴正半轴上,且位于点C的下方. 当n在什么范围内取值时
<?当n在什么范围内取值时>?
(3)若过点B的直线垂直于BD且与直线CD交于点P,求点P的坐标.
25. 解:(1)设
,
.
.
. …………………1分
. …………………………2分
(2)二次函数的图象的顶点D的坐标为(1,4)
过点D作
………………………………………………………3分
∴OE=1
……………………………………4分
(3)为直角三角形
设直线CD的解析式为,
∵C点坐标(0,3),D点坐标(1,4)
∴直线CD的解析式为
∴直线CD与x轴交点K的坐标为(-3,0)
∴OC=OK=3
过点P作轴于F
………………………………………………8分
(2014?怀柔1月期末?25)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧),已知点坐标为(6,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)联结 AB,过点作线段的垂线交抛物线于点,如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切,先补全图形,再判断直线与⊙的位置关系并加以证明;
(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间.问:当点运动到什么位置时,的面积最大?求出的最大面积.
25. (本小题满分8分)
(1)解:∵抛物线的顶点为(4,1),
∴设抛物线解析式为.
∵抛物线经过点(6,0),∴.∴.
∴.
所以抛物线的解析式为………………………………3分
(2) 补全图形、判断直线BD与⊙相离. ………………………………4分
证明:令=0,则,. ∴点坐标(2,0).
又∵抛物线交轴于点,∴A点坐标为(0,-3),∴.
设⊙与对称轴l相切于点F,则⊙的半径CF=2,
作⊥BD于点E,则∠BEC=∠AOB=90°.
∵,∴.
又∵,∴.
∴∽,∴.
∴,∴.
∴直线BD与⊙相离 ………………………………6分
(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.
∵A(0,-3),(6,0).
∴直线解析式为.
设点坐标为(,),
则点的坐标为(,).
∴PQ=-()=.
∵,
∴当时,的面积最大为.………………………………7分
∵当时,=
∴点坐标为(3,). ………………………………8分
综上:点的位置是(3,),的最大面积是
(2014?密云1月期末?24)已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.
(1)如图①,当PA的长度等于 ▲ 时,∠PAB=60°;
当PA的长度等于 ▲ 时,△PAD是等腰三角形;
(2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.坐标为(a,b),试求2 S1 S3-S22的最大值,并求出此时a,b的值.
(2014?房山1月期末?25)如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是半⊙O’的切线,AD⊥CD于点D.
(1)求证:∠CAD =∠CAB;
(2)已知抛物线过A、B、C三点,AB=10 ,tan∠CAD=.
① 求抛物线的解析式;
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;
③ 在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
解:
25. (1)证明:连接O'C,∵ CD是⊙O’的切线 ∴ O'C⊥CD.....................................1分
∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD
∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB ∴ ∠CAD=∠CAB ............................................2分
(2)∵AB是⊙O’的直径,∴∠ACB=90°.
∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴即OC²=OA∙ OB
∵tan∠CAO=tan∠CAD=, ∴AO=2CO
又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO), ∵CO>0 ∴CO=4,AO=8,BO=2
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..................................................................................................3分
∵ 抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点,∴c=4
∴ 解得 .............................4分
设直线DC交x轴于点F,易得∆AOC∽∆ADC
∴ AD=AO=8, ∵O'C‖AD ∴∆FO’C∽∆FAD ∴
∴8(BF+5)=5(BF+10), ∴ BF=, F(,0)
设直线DC的解析式为y=kx+,则 即
∴ ..................................................................................5分
由
将E(-3,)代入直线DC的解析式中
右边=
∴ 抛物线顶点E在直线CD上 ..................................................................................6分
存在, .................................................................................8分
(2014?顺义1月期末?25)已知:如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点A(6,0)和点B(3,).
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线沿x轴翻折得抛物线,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点,使与相似?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.
25.解:(1)依题意,得 解得
∴抛物线的解析式为.……………………… 2分
(2)将抛物线沿x轴翻折后,仍过点O(0,0),A(6,0),还过点B关于x轴的对称点.
设抛物线的解析式为,
∴ 解得
∴抛物线的解析式为.………………………5分
(3)过点B作BC⊥x轴于点C,
则有.
∴,.
∵OC=3,OA=6,
∴AC=3.
∴,.
∴OB=AB.
即是顶角为120⩝的等腰三角形.
分两种情况:
①当点在x轴下方时,
就是,此时点的坐标为.
②当点在x轴上方时,假设,
则有A=OA=6,.
过点作D⊥x轴于点D,则.
∴,. ∴OD=9.
而(9,)满足关系式,
即点在抛物线上.
根据对称性可知,点也满足条件.
综上所述,点的坐标为,,.
……………………………… 8分
(2014?燕山1月期末?25.)定义:把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形,我们把这个封闭图形称为“蛋圆”.如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,A,B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,8),AB为半圆的直径,半圆的圆心的坐标为(1,0),半圆半径为3.
(1)请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式 ,
自变量的取值范围是 ;
(2)请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的
交点坐标;
(3)求经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
解:(1)“蛋圆”抛物线部分的解析式为, …………………2分
自变量的取值范围是; …………………3分
(2)如图,连接,设过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点为.
∴. …………………4分
∵,
在中,∵,,
∴,
…………………5分
∵∽,
∴,∴.
∴点的坐标为(-8.,0). ……………6分
(3)设过点,“蛋圆”切线的解析式为.
由题意得,方程组只有一组解,……………7分
即有两个相等实根, ∴
∴过点“蛋圆”切线的解析式为. ………8分
(2014?平谷1月期末?25)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上两点,经过A、C、B的抛物线的一部分与经过点A、D、B的抛物线的一部分组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点是抛物线:的顶点.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得的面积最大?若存在,求出 面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当为直角三角形时,直接写出的值.______
25. 解:(1)在中,
令y=0,则,解得x=3或x= -1.
∴A、B两点的坐标为:A(-1,0)、B(3,0).-------------------------------2分
(2)设过A、B、C三点的抛物线解析式为,
把A(-1,0)、B(3,0)、C(0,)代入中,得
解得
∴ .-------------------3分
设过B(3,0)、C(0,)两点的解析式为
,
代入,得.-----------------------------------------------------------------------4分
设“蛋线”在第四象限上存在一点P,过P点作PH⊥AB,垂足为H,交BC于点G.
设H点坐标为(x,0),则G(x,),P(x,).
则PG=-()=.----------------------------------------5分
∵
∴“蛋线”在第四象限上存在使得面积最大的点P,
最大面积是.---------------------------------------------------------6分
(3)或-----------------------------------------------------8分
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