第2章 二次函数检测题
（本检测题满分：120分，时间：120分钟）
一、（每小题3分，共30分）
1. （2012•兰州中考）已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1，则a、b的
大小关系为（ ）
A.a>bB.a<bC.a =bD.不能确定
2.已知二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ 　）
A. B.
C. D.
3. （2012•河南中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单
位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A.y=(x+2)2+2B.y=(x-2)2-2
C.y=(x-2)2+2D.y=(x+2)2-2
4.一次函数 与二次函数 在同一坐标系 中的图象可能是（ ）

5.已知抛物线 的顶点坐标是 ，则 和 的值分别是（ ）
A.2，4 B. C.2， D. ，0
6.对于函数 ，使得 随 的增大而增大的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.对于任意实数 ，抛物线 总经过一个固定的点，这个点是（ ）
A.（1， 0） B.（ ， 0） C.（ ， 3） D. （1， 3）
8.已知抛物线 经过原点和第一、二、三象限，那么（ ）
A. B.
C. D.
9 . （2012•呼和浩特中考）已知、N两点关于y轴对称，且点在双曲线y= 上，点N在直线y=x+3上，设点的坐标为（a,b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（ ）
A.有最大值，最大值为
B.有最大值，最大值为
C.有最小值，最小值为
D.有最小值，最小值为
10. （2012•重庆中考）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对
称轴为直线x=- .下列结论中，正确的是（ ）
A.abc>0B.a+b=0
C.2b+c>0D.4a+c<2b
二、题（每小题3分， 共24分）
11. （2012•苏州中考）已知点A（x1,y1）、B（x2,y2）在二次函数y=(x-1)2+1的图象上，
若x1>x2>1，则y1 y2（填“>”“=”或“ <”）.
12.如果二次函数 的图象顶点的横坐标为1，则 的值为 .
13.对于二次函数 ， 已知当 由1增加到2时，函数值减少3，则常数 的值是 .
14.将抛物线 向右平移2个单位后，再向下平移5个单位，所得抛物线的顶点坐标为_______.
15. （2012•湖北襄阳中考）某一型号飞机着陆后滑行 的距离y（单位：）与滑行时间
x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行 才能停
下来.
16. 设 三点依次分别是抛物线 与 轴的交点以及与 轴的两个交点，则△ 的面积是 .
17.函数 写成 的形式是________，其图象的顶点坐标是
_______，对称轴是__________．
18.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴为直线 ;
乙：与 轴两个交点的横坐标都是整数;
丙：与 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式___________ _______．
三、解答题（共66分）
19.（8分）（2012•杭州中考）当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
20.（8分）把抛物线 向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰
好与抛物线 重合．请求出 的值，并画出函数的示意图．
21.（8分）炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600 ，炮弹运行的最大高度为1 200 .
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若在A、B之间距离A点500 处有一高350 的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.
22.（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
23.（8分）（2012•北京中考节选）已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+ 在x=0和x=2时的函数值相等.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3,），求和k的值.
24．（8分）（2012•哈尔滨中考）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：c)的边与这条边上的高之和为40 c，这个三角形的面积S(单位：c2)随x(单位：c)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?(参考公式：当x=- 时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）有最小（大）值
25.（8分）（2012•武汉中考）如图所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截 面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时）的变化满足函数关系h=- (t-19)2+8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
26.（10分）如图，一 位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的 表达式;
（2）已 知该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少 ?

第2章 二次函数检测题参考答案
一、
1. A 解析:∵ 二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,
∴ a>0且x=-1时，-b=1.∴ a>0,b=-1.∴ a>b.
2.C 解析:由函数图象可知 ，所以 .
3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位得y=(x-2)2-4，再向上平移2个单位得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.
4.C 解析:当 时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合.又由二次函数图象的对称轴在 轴左侧，所以 ，即 ，只有C符合.同理可讨论当 时的情况.
5.B 解析: 抛物线 的顶点坐标是（ ），所以 ，解得 .
6.D 解析:由于函数图象开口向下，所以在对称轴左侧 随 的增大而增大，由对称轴为直线 ，知 的取值范围是 .
7.D 解析:当 时， ，故抛物线经过固定点（1，3）.
8.D 解析:画出抛物线简图可以看出 ，所以 .
9. B 解析:∵ 点的坐标为（a,b）,∴ 点N的坐标为（-a,b）.
∵ 点在双曲线y= 上，∴ ab= .
∵ 点N（-a,b）在直线y=x+3上,∴ -a+3=b.∴ a+b=3.
∴ 二次函数y=-abx2+（a+b）x=- x2+3x=- （x-3）2+ .
∴ 二次函数y=-abx2+(a+b)x有最大值,最大值是 .
10. D 解析:由图象知a＞0,c＜0,又对称轴x=- =- ＜0,∴ b＞0,∴ abc＜0.又- ＝- ，∴ a＝b，a+b≠0.∵ a=b,∴ y=ax2+bx+c=bx2+bx+c.由图象知,当x＝1时，y＝2b+c＜0，故选项A,B,C均错误.∵ 2b+c＜0，∴ 4a-2b+c＜0.∴ 4a+c＜2b,D选项正确.
二、题
11. ＞ 解析:∵ a＝1＞0，对称轴为直线x=1，∴ 当x＞1时，y随x的增大而增大.故由x1＞x2＞1可得y1＞y2.
12.
13. 解析:因为当 时， ， 当 时， ，所以 .
14.(5,-2)
15. 600 解析:y=60x-1.5x2=-1.5（x-20）2+600,当x=20时,y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 才能停下来.
16. 解析:令 ，令 ，得 ，所以 ，所以△ 的面积是 .
17.
18.本题答案不唯一，只要符合题意即可，如
三、解答题
19. 分析：先求出当k分别取-1，1，2时对应的函数，再根据函数的性质讨论最大值.
解：（1）当k=1时，函数y=-4x+4为一次函数，无最值.
（2）当k=2时，函数y=x2-4x+3为开口向上的二次函数，无最大值.
（3）当k=-1时，函数y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8为开口向下的二次函数，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，8），所以当x=-1时，y最大值=8.
综上所述，只有当k=-1时，函数y=(k-1)x2-4x+5-k有最大值，且最大值为8.
点拨：本题考查一次函数和二次函数的基本性质，熟知函数的性质是求最值的关键.
20.解:将 整理得 .
因为抛物线 向左平移2个单位，再向下平移
1个单位得 ，
所以将 向右平移2个单位，
再向上平移1个单位即得 ，故 ，所以 .示意图如图所示.

21.解:（1）建立直角坐标系，设点A为原点，
则抛物线过点（0，0），（600，0），
从而抛物线的对称轴为直线 .
又抛物线的最高点的纵坐标为1 200，
则其顶点坐标为（300，1 200） ，
所以设抛物线的解析式为 ，
将（0，0）代入所设解析式得 ，
所以抛物线的解析式为 .
（2）将 代入解析式，得 ，
所以炮弹能越过障碍物.
22.分析：日利润=销售量×每件利润，每件利润为 元，销售量
为[ 件，据此得关系式．
解：设售价定为 元/件.
由题意得， ，
∵ ，∴ 当 时， 有最大值360.
答：将售价定为14元/件时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润是360元．
23. 分析：（1）根据抛物线的对称轴为直线x= =1,列方程求t的值，确定二次函数解析式.
（2）把x=-3,y=代入二次函数解析式中求出的值，再代入y=kx+6中求出k的值.
解：（1）由题意可知二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
则- =1，∴ t=- .∴ y=- x2+x+ .
(2)∵ 二次函数图象必经过A点，
∴ =- ×(-3)2+(-3)+ =-6.
又一次函数y=kx+6的图象经过A点，
∴ -3k+6=-6,∴ k=4.
24. 分析：（1）由三角形面积公式S= 得S与x之间的关系式为S= •x（40-x）=- x2+20x.
（2）利用二次函数的性质求三角形面积的最大值.
解：（1）S=- x2+20x.
（2）方法1：∵ a=- ＜0,∴ S有最大值.
∴ 当x=- =- =20时，S有最大值为 = =200.
∴ 当x为20 c时,三角形面积最大，最大面积是200 c2.
方法2：∵ a=- ＜0,∴ S有最大值.
∴ 当x=- =- =20时，S有最大值为S=- ×202+20×20=200.
∴ 当x为20 c时，三角形面积最大，最大面积是200 c2..
点拨：最值问题往往转化为求二次函数的最值.
25. 分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+b,将(0,11)和（8，8）代入即可求出a,b;(2)令h=
6,解方程 （t-19）2+8=6得t1,t2，所以当h≥6时，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜.
解：(1)依题意可得顶点C的坐标为（0，11），设抛物线解析式为y=ax2+11.
由抛物线的对称性可得B(8,8),
∴ 8=64a+11.解得a=- ,抛物线解析式为y=- x2+11.
(2)画出h= (t-19)2+8(0≤t≤40)的图
象如图所示.
当水面到顶点C的距离不大于5米时，
h≥6,当h=6时，解得t1=3,t2=35.
由图象的变化趋势得，禁止船只通行的时间为｜t2-t1｜=32(小时）.
答：禁止船只通行的时间为32小时.
点拨：（2）中求出符合题意的h的取值范围是解题的关键，本题考查了二次函数在实
际问题中的应用.
26.分析：（1）由函数的图象可设抛物线的表达式为 ，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得 的值．进而求出抛物线的表达式．
（2）当 时， ，从而可求得他跳离地面的高度.
解：（1）设抛物线的表达式为 ．
由图象可知抛物线过点（0，3.5），（1.5，3.05）,
所以 解得
所以抛物线的表达式为 ．
（2）当 时， ，
所以球出手时，他跳离地面的高度是 （米）.

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