第二十八章 锐角三角函数
28．1 锐角三角函数
第1课时 正弦和余弦
01 基础题
知识点1 正弦
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝(B)
A.35 B.45 C.34 D.43
2．(唐山玉田县月考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值(C)
A．扩大2倍 B．缩小12
C．不变 D．无法确定
3．(天津和平区汇文中 学单元检测)在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则sinA的值是(C)
A.512 B.125
C.513 D.1213
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，若2a＝3c，则∠A的正弦值等于32．
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a∶c＝2∶3，求sinA和sinB的值．
解：在Rt△ABC中，
∠C＝90°，a∶c＝2∶3，
设a＝2k，c＝3k(k>0)，
则b＝c2－a2＝5k.
∴sinA＝ac＝2k3k＝23，
sinB＝bc＝5k3k＝53.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝1213，AB＝26，求△ABC的周长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝26，sinA＝BCAB＝1213，∴BC＝24，
AC＝AB2－BC2＝262－242＝10.
∴△ABC的周长为26＋24＋10＝60.
知识点2 余弦
7．(湖州中考)如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(A)
A.35 B.45 C.34 D.43
8．(承德六校一模)如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为(D)
A.12 B.32 C.55 D.255
9．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则cosB的值为(B)
A.74 B.35 C.34 D.45
02 中档题
10．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为(B)
A.12 B.55 C.1010 D.255
解析：如图，连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO＝12＋12＝2，AC＝12＋32＝10.则sinA＝OCAC＝210＝55.
11．(怀化中考改编)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AC＝6 cm，求BC的长度．
解：∵sinA＝BCAB＝45，∴设BC＝4x，AB＝5x.
又∵AC2＋BC2＝AB2，
∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x＝2或x＝－2(舍去)．
∴BC＝4x＝8 cm.
12．如图，菱形ABCD的边长为10 cm，DE⊥AB，sinA＝35，求DE的长和菱形ABCD的面积．
解：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°.
在Rt△AED中，sinA＝DEAD，即DE10＝35.
解得DE＝6.
∴菱形ABCD的面积为10×6＝60(cm2)．
13．如图，已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为8 cm，P是AB延长线上一点，BP＝2 cm，求cosP的值．
解：作OC⊥AB于C点．
根据垂径定理，
AC＝BC＝4.
∴CP＝4＋2＝6(cm)．
在Rt△OAC中，OC＝52－42＝3(cm)．
在Rt△OCP中，根据勾股定理，得
OP＝CO2＋CP2＝32＋62＝35(cm)．
故cosP＝PCPO＝635＝255.
03 综合题
14．(鄂州中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝(D)
A.34 B.43
C.35 D.45
第2课时 锐角三角函数
01 基础题
知识点1 正切
1．(湖州中考)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝12，则BC的长是(A)
A．2 B．8 C．25 D．45
2．(金华中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是(A)
A.34 B.43 C.35 D.45
3．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为(B)
A.12 B.13 C.14 D.24
4．已知等腰三角形的腰长为6 cm，底边长为10 cm，则底角的正切值为115.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BC＝2，AB＝3，求tan∠BCD.
解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.
∴∠A＋∠ACD＝90°.
又∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠A.
在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝32－22＝5.
∴tanA＝BCAC＝25＝255.
∴tan∠BCD＝tanA＝255.
知识点2 锐角三角函数
6．(宜昌中考)△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是(C)
A．sinα＝cosα
B．tanC＝2
C．sinβ＝cosβ
D．tanα＝1
7．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则tanB的值为(A)
A.43 B.45 C.54 D.34
8．(福州中考)如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB?上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是(C)
A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα)
C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα)
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24.
(1)求AB的长；
(2)求sinA，cosA，tanA的值．
解：(1)由勾股定理，得
AB＝AC2＋BC2＝72＋242＝25.
(2)sinA＝BCAB＝2425，cosA＝ACAB＝725，
tanA＝BCAC＝247.
02 中档题
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为(A)
A.13 B.2－1
C．2－3 D.14
11．(河北模拟)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为(C)
A.13 B．22 C.24 D.223
12．(泸州中考)如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是(A)
A.24 B.14 C.13 D.23
解析：由AD∥BC，可得△ADF∽△EBF，根据相似三角形的性质，可得ADEB＝AFEF＝DFBF，因为点E是边BC的中点，AD＝BC，所以ADEB＝AFEF＝DFBF＝2.设EF＝x，可得AF＝2x，在Rt△ABE中，易证△AFB∽△BFE，则BF＝2x，再由ADEB＝AFEF＝DFBF＝2，可得DF＝22x，在Rt△DEF中，tan∠BDE＝EFDF＝x22x＝24，故选A.
13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝45，BE＝2，则tan∠DBE＝3．
14．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝33，求cosA，tanB的值．
解：∵sinA＝BCAB＝33，
∴设BC＝3k，AB＝3k(k>0)．
由勾股定理，得
AC＝AB2－BC2＝（3k）2－（3k）2＝6k.
∴cosA＝63，tanB＝2.
15．(承德六校一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，tanB＝12，点D在BC上，且BD＝AD，求AC的长和cos∠ADC的值．
解：∵在Rt△ABC中，BC＝8，tanB＝ACBC＝12，
∴AC＝12BC＝4.
设AD＝x，则BD＝x，CD＝8－x，
在Rt△ADC中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，
∴AD＝5，CD＝8－5＝3.
∴cos∠ADC＝DCAD＝35.
03 综合题
16．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果ABBC＝23，求tan∠DCF的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝90°.
∵ABBC＝23，且由折叠知CF＝BC，
∴CDCF＝23.
设CD＝2x，CF＝3x(x>0)，
∴DF＝CF2－CD2＝5x.
∴tan∠DCF＝DFCD＝5x2x＝52.
第3课时 特殊角的三角函数值
01 基础题
知识点1 特殊角的三角函数值
1．(天津中考)cos60°的值等于(D)
A.3 B．1 C.22 D.12
2．计算2×tan60°的值等于(D)
A.53 B.63 C.5 D.6
3．(防城港中考)计算：cos245°＋sin245°＝(B)
A.12 B．1 C.14 D.22
4．(百色中考)如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝(A)
A．6 B．62 C．63 D．12
5．求值：sin60°•tan30°＝12．
6．计 算：
(1)(安徽中考)|－2|×cos60°－(13)－1；
解：原式＝2×12－3＝－2.
(2)(泸州中考)(－3)2＋2 0170－18×sin45°；
解：原式＝9＋1－32×22＝7.
(3)cos30°•tan30°－tan45°；
解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12.
(4)22sin45°＋sin60°•cos45°.
解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.
知识点2 由三角函数值求特殊角
7．(聊城中考)在Rt△ABC中，cosA＝12，那么sinA的值是(B)
A.22 B.32 C.33 D.12
8．(河北模拟)在△ABC中，若角A，B满足|cosA－32|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的大小(D)
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．如果在△ABC中，sinA＝cosB＝22，那么下列最确切的结论是(C)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝60°．
知识点3 用计算器计算三角函数值
11．如图是科学计算器的面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)
A.2 × cos 5 5 ＝
B. 2 cos 5 5 0 ＝
C. 2 cos 5 5 ＝
D.2 5 5 cos ＝
12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)
A．0.90 B．0.72
C．0.69 D．0.66
13．已知sinA＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数)
02 中档题
14．(厦门中考)已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝(A)
A．a2 B．2a C．b2 D．b
15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D)
A．40° B．30°
C．20° D．10°
16．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)
A．23－2 B．0
C．23 D．2
17．(邢台县一模)关于x的一元二次方程x2－2x＋cosα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D)
A．0° B．30° C．45° D．60°
18．(滨州中考)如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为(A)
A．2＋3 B．23
C．3＋3 D．33
19．如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为27.8°．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
20．利用计算器求∠A＝18°36′的三个锐角三角函数值．
解：sinA＝sin18°36′≈0.319 0，
cosA＝cos18°36′≈0.947 8，
tanA＝tan18°36′≈0.336 5.
21．计算：
(1)(唐山玉田县月考)tan45°－3tan30°＋cos45°；
解：原式＝1－3×33＋22
＝1－1＋22
＝22.
(2)2sin60°＋22cos45°－32tan60°－3cos30°.
解：原式＝2×32＋22×22－32×3－3×32
＝62＋12－32－32
＝62－52.
22．先化简，再求代数式a2－aba2÷(ab－ba)的值，其中a＝2cos30°－tan45°，b＝2sin30°.
解：原式＝a（a－b）a2÷a2－b2ab
＝a（a－b）a2•ab（a＋b）（a－b）
＝ba＋b.
∵a＝2cos30°－tan45°＝2×32－1＝3－1，
b＝2sin30°＝2×12＝1，
∴原式＝13－1＋1＝13＝33.
23．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB为2米，一阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米．(精确到0.1米)
解：在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝75°，BC＝2，
∴AB＝2cos75°≈7.727(米)，
AC＝2×tan75°≈7.464(米)．
∴AB－AC＝7.727－7.464
≈0.3(米)．
答：这棵竹子比楼房高出0.3米．
24．若tanA的值是方程x2－(1＋3)x＋3＝0的一个根，求锐角A的度数．
解：解方程x2－(1＋3)x＋3＝0，得
x1＝1，x2＝3.
由题意知tanA＝1或tanA＝3.
∴∠A＝45°或60°.
03 综合题
25．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(B)
A．43 B．33 C．23 D.3
28.2 解直角三角形及其应用
28．2.1 解直角三角形
01 基础题
知识点1 已知两边解直角三角形
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是(C)
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
2．(温州中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(D)
A.34 B.43 C.35 D.45
3．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，则sin∠ABD的值是(D)
A.43 B.34 C.35 D.45
4．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则cosA2＝45．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝202，则∠A＝45°，∠B＝45°，b＝20．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝26，AC＝62，解此直角三角形．
解：∵tanA＝BCAC＝2662＝33，
∴∠A＝30°.
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB＝2BC＝46.
知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形
7．(兰州中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，BC＝6，则AB＝(D)
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm，那么这个三角形的面积为(B)
A．4.5 cm2 B．93 cm2
C．183 cm2 D．36 cm2
9．(保定月考)如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为(B)
A.3 B．1 C.2 D．2
10．(牡丹江中考)在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝92，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝13，则BD的长为6．
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝83，∠A＝60°，解这个直角三角形．
解：∵∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
∵sinA＝ac，
∴a＝c•sinA＝83×sin60°＝83×32＝12.
∴b＝c2－a2＝（83）2－122＝43.
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)
解：∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°.
∵tanB＝ACBC，
∴BC＝ACtanB＝4tan55°≈2.8.
∵sinB＝ACAB，
∴AB＝ACsinB＝4sin55°≈4.9.
02 中档题
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为(B)
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D.10cos50°
14．(随州中考)如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(A)
A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36°
C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是中线，若BC＝5，则△ADC的周长为(B)
A．5＋103 B．10＋53
C．153 D．203
16．(保定月考)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且sinα＝45，AB＝4，求AD的长为(B)
A．3 B.163 C.203 D.165
17．(河北模拟)如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝4，BC＝10，CD＝6，则tanC等于(A)
A.43 B.34 C.35 D.45
提示：连接BD，则△BCD为直角三角形．
18．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝35，则对角线AC的长为24．
19．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠C＝60°，AD＝4，AB＝33，则下底BC的长为10．
03 综合题
20．探究：已知，如图1，在△ABC中，∠A＝α(0°＜α＜90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；
图1
图2
应用：(孝感中考)如图2，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，试用含b，c，α的式子表示▱ABCD的面积．
解：探究：过点B作BD⊥AC，垂足为D.
∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝csinα.
∴S△ABC＝12AC•BD＝12bcsinα.
应用：过点C作CE⊥DO于点E.
∴sinα＝ECCO.
∵在▱ABCD中，AC＝a，BD＝b，
∴CO＝12a，DO＝12b.
∴S△BCD＝12CE•BD＝12×12asinα•b
＝14absinα.
∴S▱ABCD＝2S△BCD＝12absinα.
小专题(五) “四法”确定三角函数值
方法1 回归定义
1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值．
解：∵sinA＝45＝BCAB，
∴BC＝45AB＝45×15＝12.
∴AC＝AB2－BC2＝9.
∴△ABC的周长为9＋12＋15＝36，
tanA＝BCAC＝129＝43.
2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝13，AD＝1.求：
(1)BC的长；
(2)tan∠DAE的值．
解：(1)在△ABC中，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝13，AD＝1，
∴AB＝ADsinB＝3.
∴BD＝AB2－AD2＝22.
∴BC＝BD＋DC＝22＋1.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝12BC＝2＋12.
∴DE＝CE－CD＝2－12.
∴tan∠DAE＝DEAD＝2－12.
3．(上海中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE.求：
(1)线段BE的长；
(2)tan∠ECB的值．
解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠A＝A5°，AB＝32.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°.
∴AE＝2.∴BE＝AB－AE＝22.
(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H.
在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，
∴EH＝BH＝2.
又∵BC＝3，∴CH＝1.
∴tan∠ECB＝EHCH＝2.
方法2 巧设参数
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D)
A.32 B.23 C.62 D.63
5．(定州模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为(D)
A.3－17 B.12 C.437 D.17
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．
(1)求证：△ACE≌△AFE；
(2)求tan∠CAE的值．
解：(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE＝EF.
在Rt△ACE和Rt△AFE中，
CE＝FE，AE＝AE，∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)．
(2)由(1)可知△ACE≌△AFE，
∴AC＝AF，CE＝FE.
设BF＝m，则AC＝AF＝2m，AB＝3m，
∴BC＝AB2－AC2＝9m2－4m2＝5m.
∴在Rt△ABC中，tanB＝ACBC＝2m5m＝255m.
在Rt△EFB中，EF＝BF•tanB＝255m，
∴CE＝EF＝255m.
∴在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CEAC＝255m2m＝55.
方法3 等角代换
7．(益阳中考)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(B)
A.hsinα B.hcosα C.htanα D．h•cosα
8．如图，∠1的正切值等于13．
9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是2．
10．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G.
(1)求证：△DCF≌△ADG；
(2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°.
∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°.
∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°.
∴∠AGD＝∠CFD.
又∵∠ADG＋∠CDE＝ ∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°，
∴∠ADG＝∠DCF.
在△DCF和△ADG中，∠DFC＝∠AGD，∠DCF＝∠ADG，DC＝AD，∴△DCF≌△ADG(AAS)．
(2)设正方形ABCD的边长为2a.
∵点E是AB的中点，∴AE＝12×2a＝a.
在Rt△ADE中，DE＝AD2＋AE2＝（2a）2＋a2＝5a，
∴sin∠ADG＝AEDE＝a5a＝55.
∵∠ADG＝∠DCF＝α，∴sinα＝55.
方法4 构造直角三角形
11．(迁安一模)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为32，则点P的个数为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．(河北中考改编)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝43.点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小；
(2)当tan∠ABP∶tanA＝3∶2时，求点Q与点B间的距离．(结果保留根号)
解：(1)当点Q与B在PD异侧时，由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°得∠BPD＝80°，∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°.
当点Q与B在PD同侧时，如图，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°.
∴∠APB是80°或100°.
(2)过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ.
∵tan∠ABP∶tanA＝PHHB∶PHAH＝3∶2，
∴AH∶HB＝3∶2.
∵AB＝10，∴AH＝6，HB＝4.
在Rt△PHA中，∵tanA＝PHAH＝43，
∴PH＝8.
∴PQ＝PB＝PH2＋HB2＝82＋42＝45.
∴QB＝2PB＝410.
小专题(六) 走进圆中解直角三角形
1．(衢州中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为(A)
A.12 B.22 C.32 D.33
2．如图，已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC＝4，则sinB的值为23．
3．(凉山中考)如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC?的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F，E，且BF?＝AD?.
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＋∠CDA＝180°.
又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠CDA＝∠ABE.
∵BF?＝AD?，∴∠DCA＝∠BAE.
∴△ADC∽△EBA.
(2)∵A是BDC?的中点，
∴AB?＝AC?.∴AB＝AC＝8.
∵△ADC∽△EBA，
∴∠CAD＝∠AEC，DCBA＝ACEA，即58＝8AE.
∴AE＝645.
∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝ACAE＝ 8 645＝58.
4．(河北中考)如图，AB＝16，O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O，B重合)，将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD?于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP.
(1)求证：AP＝BQ；
(2)当BQ＝43时，求QD?的长；(结果保留π)
(3)若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
解：(1)证明：连接OQ.∵AP，BQ分别与⊙O相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠APO＝∠BQO＝90°.
∵OA＝OB，OP＝OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.
∴AP＝BQ.
(2)∵BQ＝43，OB＝12AB＝8，∠BQO＝90°，
∴sin∠BOQ＝32.∴∠BOQ＝60°.
∵OQ＝8×cos60°＝4，
∴QD?的长为（270－60）π×4180＝14π3.
(3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM＝4.
当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.
5．(保定模拟)如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC＝∠A.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC＝12，AD＝3，求直径AB的长．
解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠D＝90°.
∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠DBC＝∠A，
∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠OBC＝90°.
∴BC是⊙O的切线．
(2)∵E是弦BD的中点，点O是AB的中点，
∴OE∥AD.∴∠COB＝∠A.
∵∠D＝ ∠OBC＝90°，∴∠C＝∠ABD.
∵tanC＝12，∴tan∠ABD＝ADBD＝12，即3BD＝12.
∴BD＝6.
∴AB＝AD2＋BD2＝32＋62＝35.
6．(河北中考)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．
发现
(1)当α＝0°，即初始位置时，点P在直线AB上．(填“在”或“不在”)
求当α是多少时，OQ经过点B?
(2)在OQ旋转的过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
(3)如图2，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影．
拓展
(4)如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x＞0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究
(5)当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．
备用图
解：(1)当OQ过点B时，在Rt△OAB中，AO＝AB，得∠DOQ＝∠ABO＝45°，
∴α＝60°－45°＝15°.
(2)在△OAP中，OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时，OA＋AP＝OP成立．
∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.
∴当α＝60°时，P，A间的距离最小．PA的最小值为1.
(3)设半圆K与BC的交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E.
在Rt△OPH中，PH＝AB＝1，OP＝2，
∴∠POH＝30°.∴α＝60°－30°＝30°.
∵AD∥BC，∴∠OPB＝∠RPQ＝∠POH＝30°.
∴∠RKQ＝2×30°＝60°.
∴S扇形RKQ＝60π×（12）2360＝π24.
在Rt△RKE中，RE＝RK•sin60°＝34，
∴S△RKP＝12PK•RE＝316.∴S阴影＝π24＋316.
(4)∵∠OAN＝∠MBN＝90°，∠ANO＝∠BNM，∴△AON∽△BMN.
∴ANBN＝AOBM，即1－BNBN＝1x.∴BN＝xx＋1.
如图4，当点Q落在BC上时，x取得最大值，作QF⊥AD于点F.
BQ＝AF＝OQ2－QF2－OA＝32－12－1＝22－1.
∴x的取值范围是0＜x≤22－1.
(5)半圆与矩形相切，分三种情况：
①如图③，半圆K与BC切于点T，设直线KT与AD和OQ的初始位置所在直线分别交于点S，O′，则∠KSO＝∠KTB＝90°，作KG⊥OO′于点G.
在Rt△OSK中，OS＝OK2－SK2＝（52）2－（32）2＝2.
在Rt△OSO′中，SO′＝OS•tan60°＝23，KO′＝23－32.
在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝12KO′＝3－34.
在Rt△OGK中，sinα＝KGOK＝3－3452＝43－310.
②半圆K与AD切于点T，如图6，
同理可得sinα＝KGOK＝12O′K52＝12（O′T－KT）52＝12×[3×（52）2－（12）2－12]＝62－110.
③当半圆K与CD相切时，点Q与点D重合，且D为切点．
∴α＝60°.∴sinα＝sin60°＝32.
综上所述，sinα的值为43－310或62－110或32.
28.2 应用举例
第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题
01 基础题
知识点1 利用解直角三角形解决简单问题
1．(丽水中考)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离．(精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)
解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F.
又∵OD⊥CD，∴AE∥OD.
∴∠A＝∠BOD＝70°.
在Rt△AFB中，AB＝2.7，
∴AF＝2.7×cosA≈2.7×0.34＝0.918.
∴AE＝AF＋BC＝0.918＋0.15＝1.068≈1.1.
答：端点A到地面CD的距离约是1.1 m.
2．(台州中考)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车 车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
解：过A作AC⊥OB于点C，
在Rt△AOC中，∠AOC＝40°，
∴sin40°＝ACOA.
又∵AO＝1.2米，
∴AC＝OA•sin40°≈1.2×0.64＝0.768(米)．
∵AC＝0.768米＜0.8米，
∴车门不会碰到墙．
知识点2 利用视角解直角三角形
3．(石家庄裕华区模拟)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7 m，则树高BC为(用含α的代数式表示)(C)
A．7sinα B．7cosα C．7tanα D.7tanα
4．(临沂中考)如图，两座建筑物的水平距离BC＝30 m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．
解：延长CD，交AE于点E，则DE⊥AE，
在Rt△AED中，AE＝BC＝30 m，∠EAD＝30°，
∴ED＝AE•tan30°＝103 m.
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝30 m，
∴AB＝303 m.
∴CD＝EC－ED＝AB－ED＝303－103＝203(m)．
02 中档题
5．(邵阳中考)如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是(203－20)km.
6．(东营中考)一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度．如图，在A处测得塔顶的仰角为α，在B处测得塔顶的仰角为β，又测量出A、B两点的距离为s米，则塔高为tanα•tanβ•stanβ－tanα米．
7．(唐山古冶区一模)如图，河的两岸l1与l2相互平行，A，B是l1上的两点，C，D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB＝90°，∠DAB＝30°，再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上)，测得∠DEB＝60°，求C，D两点间的距离．
解：过点D作l1的垂线，垂足为F，
∵∠DEB＝60°，∠DAB＝30°，
∴∠ADE＝∠DEB－∠DAB＝30°.
∴△ADE为等腰三角形．∴DE＝AE＝20.
在Rt△DEF中，EF＝DE•cos60°＝20×12＝10.
∵DF⊥AF，∴∠DFB＝90°.∴AC∥DF.
由已知l1∥l2，∴CD∥AF.
∴四边形ACDF为矩形，CD＝AF＝AE＋EF＝30.
∴C，D两点间的距离为30米．
03 综合题
8．(廊坊安次区二模)小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的俯角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为203米．
(1)求出大厦的高度BD；
(2)求出小敏家的高度AE.
解：(1)∵AC⊥BD，
BD⊥DE，AE⊥DE，
∴四边形AEDC是矩形．
∴AC＝DE＝203米．
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC＝AC＝203米．
在Rt△ACD中，tan30°＝CDAC，
∴CD＝AC•tan30°＝203×33＝20(米)．
∴BD＝BC＋CD＝(203＋20)米．
∴大厦的高度BD为(203＋20)米．
(2)∵四边形AED C是矩形，
∴AE＝CD＝20米．
∴小敏家的高度AE为20米．
第2课时 与方向角、坡度有关的解直角三角形应用题
01 基础题
知识点1 利用方向角解直角三角形
1．(河北中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(D)
A．40海里 B．60海里
C．70海里 D．80海里
2．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是(D)
A．253海里 B．252海里
C．50海里 D．25海里
3．(南京中考)如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．这时，E处距离港口A有多远？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
解：过点C作CH⊥AD，垂足为H，设CH＝x km，
在Rt△ACH中，∠A＝37°，
∵tanA＝CHAH，
∴AH＝CHtan37°＝xtan37°.
在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，
∵tan∠CEH＝CHEH，∴EH＝CHtan45°＝x.
∵CH⊥AD，BD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADB＝90°.
∴HC∥DB.
∴AHHD＝ACCB.
又∵C为AB的中点，
∴AC＝CB.
∴AH＝HD.
∴xtan37°＝x＋5.
∴x＝5×tan37°1－tan37°≈5×0.751－0.75＝15.
∴AE＝AH＋HE＝15tan37°＋15≈35(km)．
因此，E处距离港口A大约35 km.
知识点2 利用坡度、坡角解直角三角形
4．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为(B)
A．43米
B．65米
C．125米
D．24米
5．已知四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长(平直的)分别为300 m，250 m，200 m，200 m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度说法正确的是(B)
A．A的最高 B．B的最高
C．C的最高 D．D的最高
6．(巴中中考)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形．
由题意，得BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，
∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5，BE＝20米，
∴BEAE＝12.5.∴AE＝50米．
在Rt△CFD中，∠D＝30°，
∴DF＝CFtanD＝203米．
∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋203≈90.6(米)．
答：坝底AD的长度约为90.6米．
02 中档题
7．(唐山丰南区一模)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是(C)
A．2海里
B．2sin55°海里
C．2cos55°海里
D．2tan55°海里
8．(青岛中考)如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数．参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，3≈1.73)
解：作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，
sin∠ABD＝ADAB≈1213，
∴AD≈1213AB＝480 km.
cos∠ABD＝BDAB≈513，∴BD≈513AB＝200 km.
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
tan∠CBD＝CDBD＝33.
∴CD＝33BD≈115 km.
∴AC＝CD＋DA≈595 km.
答：A地到C地之间高铁线路的长约为595 km.
9．(遵义中考)如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i＝1∶3，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡 面的铅直高度与水平宽度的比)
解：过点E作EF⊥BC的延长线于F，EH⊥AB于点H，
在Rt△CEF中，
∵i＝EFCF＝13＝tan∠ECF，
∴∠ECF＝30°.
∴EF＝12CE＝10米，CF＝103米．
∴BH＝EF＝10米，
HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋103)米．
在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，
∴AH＝HE＝(25＋103)米．
∴AB＝AH＋HB＝(35＋103)米．
答：楼房AB的高为(35＋103)米．
03 综合题
10．(连云港中考)如图，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C.已知AB＝1 400米，AC＝1 000米，B点位于A点的南偏西60.7°方向，C点位于A点的南偏东66.1°方向．
(1)求△ABC的面积；
(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD.试求A，D间的距离．(结果精确到0.1米．参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，2≈1.414)
解：(1)过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E.
在Rt△AEC中，
∠CAE＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°，
∴CE＝AC•sin53.2°≈1 000×0.8＝800(米)．
∴S△ABC＝12AB•CE＝12×1 400×800＝560 000(平方米)．
(2)连接AD，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，则DF∥CE.
∵D是BC的中点，
∴DF＝12CE＝400米，BF＝EF＝12BE，
AE＝AC•cos53.2°≈600米．
∴BE＝BA＋AE＝1 400＋600＝2 000(米)．
∴AF＝12BE－AE＝400米．
由勾股定理，得AD＝AF2＋DF2＝4002＋4002＝4002≈565.6(米)．
答：A，D间的距离约为565.6米．
小专题(七) 构造基本图形解直角三角形的应用题
类型1 构造单一直角三角形
1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分BD的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)
解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.
在Rt△ABC中，sin A＝BCAB，
∴BC＝AB•sinA＝2.1×sin54°≈1.701(m)，
∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．
类型2 母子三角形
2．(重庆中考)如图，小王在长江边某?望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A)
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
3．(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
(1)求∠APB的度数；
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，
∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°.
(2)过点P作PH⊥AB于点H.
在Rt△APH中，∠PAH＝30°，AH＝3PH.
在Rt△BPH中，∠PBH＝60°，BH＝33PH.
∴AB＝AH－BH＝233PH＝50.
∴PH＝253＞25.
∴海监船继续向正东方向航行仍然安全．
类型3 背靠背三角形
4．(天津中考)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，2取1.414)
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C.
由题意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120.
在Rt△APC中，sinA＝PCPA，cosA＝ACPA，
∴PC＝PA•sinA＝120×sin64°.
AC＝PA•cosA＝120×cos64°.
在Rt△BPC中，sinB＝PCBP，tanB＝PCBC，
∴BP＝PCsinB＝120×sin64°sin45°≈120×0.9022≈153.
BC＝PCtanB＝PCtan45°＝PC＝120×sin64°.
∴BA＝BC＋AC＝120×sin64°＋120×cos64°
≈120×0.90＋120×0.44≈161.
答：BP的长约为153海里，BA的长约为161海里．
5．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间距离为300(3＋1)米．求供水站M分别到小区A，B的距离．(结果可保留根号)
解：作ME⊥AB，垂足为E.设ME＝x米．
在Rt△AME中，∠MAE＝90°－60°＝30°，
∴AM＝2ME＝2x, AE＝MEtan30°＝3x.
在Rt△BME中，∠MBE＝90°－45°＝45°，
∴ME＝EB＝x，MB＝2x.
∵AE＋BE＝AB＝300(3＋1)，
即3x＋ x＝300(3＋1)，解得x＝300.
∴AM＝2ME＝2x＝600，
MB＝2x＝3002.
答：供水站M到小区A，B的距离分别是600米、3002米．
6．(德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒．已知∠B＝30°，∠C＝45°.
(1)求B，C之间的距离；(保留根号)
(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1，4)
解：(1)过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝10 m.
∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，
∴CD＝AD＝10 m.
在Rt△ABD中，tanB＝ADBD，
∵∠B＝30°，
∴33＝10BD.
∴BD＝103 m.
∴BC＝BD＋DC＝(103＋10)m.
答：B，C之间的距离是(103＋10)m.
(2)这辆汽车超速，理由如下：
由(1)知BC＝(103＋10)m≈27 m.
∴汽车速度为270.9＝30(m/s)＝108 km/h.
∵108＞80，
∴这辆汽车超速．
类型4 与梯形有关的解直角三角形
7．如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图，斜面坡度i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)
解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F.
在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，
∴AF＝AB•sinB＝6×sin60°＝33，
BF＝AB•cosB＝6×cos60°＝3.
∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，
∴四边形AFED是矩形．
∴DE＝AF＝33，FE＝AD＝4.
在Rt△CDE中，i＝EDEC＝13，
∴EC＝3ED＝3×33＝9.
∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.
∴S梯形ABCD＝12(AD＋BC)•DE
＝12×(4＋16)×33
≈52.0.
答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.
章末复习(三) 锐角三角函数
01 基础题
知识点1 利用定义求锐角三角函数值
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是(C)
A.35 B.34 C.45 D.43
2．(广州中考)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝158，则AB＝17．
3．(龙岩中考)如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝32．
知识点2 特殊角的三角函数值
4．(贵港一模)若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为(C)
A.13 B.12 C.33 D.32
5．在△ABC中，若cosA＝22，tanB＝3，则这个三角形一定是(D)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
6．(武威中考)已知α，β均为锐角，且满足|sinα－12|＋（tanβ－1）2＝0，则α＋β＝75°．
知识点3 解直角三角形
7．如图是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tanA＝33，则边BC的长为(C)
A．303 cm B．203 cm
C．103 cm D．53 cm
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，则AD的长为4．
知识点4 解直角三角形的应用
9．(宁波中考)如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了280米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)
10．(唐山玉田县模拟)如图，在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝(21＋73)米．(结果保留根号)
11．(绍兴中考)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶点D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m．(结果精确到0.1 m．参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)
(1)求∠BCD的度数．
(2)求教学楼的高BD.
解：(1)过点C作CE⊥BD于点E，则∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.
(2)由已知得CE＝AB＝30 m，
在Rt△CBE中，BE＝CE•tan20°≈30×0.36＝10.8(m)，
在Rt△CDE中，DE＝CE•tan18°≈30×0.32＝9.6(m)，
∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.8＋9.6＝20.4(m)．
答：教学楼的高约为20.4 m.
02 中档题
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ba.则下列关系式中不成立的是(D)
A．tanA•cotA＝1
B．sinA＝tanA•cosA
C．cosA＝cotA•sinA
D．tan2A＋cot2A＝1
13．(重庆中考B卷)如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)(A)
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
14．如图，AD是△ABC的中线，tanB＝13，cosC＝22，AC＝2.求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．
解：(1)过点A作AE⊥BC于点E，
∵cosC＝22，
∴∠C＝45°.
∴在Rt△ACE中，CE＝AC•cosC＝1，
AE＝AE•sinC＝1.
在Rt△ABE中，tanB＝13，即AEBE＝13，
∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝12BC＝2.∴DE＝CD－CE＝1.
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°.
∴sin∠ADC＝22.
15．(白银中考)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考 数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)
解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE＝DEBE.
∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°.
又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE.
∴132＋x＝xtan65°，解得x≈115.8.
∴DE≈248米．
答：观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
03 综合题
16．(唐山路南区一模)如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm.
(1)当∠AOB＝20°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)
(2)保持∠AOB＝20°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)
(参考数据：sin10°≈0.174，cos10°≈0.985，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940)
解：(1)连接BA，作OC⊥AB于点C.由题意可得，OA＝OB＝10 cm，∠OCB＝90°，∠AOB＝20°，
∴∠BOC＝10°.
∴AB＝2BC＝2OB•sin10°≈2×10×0.174≈3.5(cm)，即所作圆的半径约为3.5 cm.
(2)作AD⊥OB于点D，作AE＝AB.
∵保持∠AOB＝20°不变，则折断的部分为BE.
∵∠AOB＝20°，OA＝OB，∠ODA＝90°，
∴∠OAB＝80°，∠OAD＝70°.
∴∠BAD＝10°.
∴BE＝2BD＝2AB•sin10°≈2×3.5×0.174≈1.2(cm)，即铅笔芯折断部分的长度是1.2 cm.
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