2018-2019学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）月考数学试卷（12月份）
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2?2 C．y=（x?2）2+2 D．y=（x?2）2?2
2．从图中的四张图案中任取一张，取出图案是中心对称图形的概率是（　　）
 
A．  B．  C．  D．1
3．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（　　）
 
A．35° B．55° C．145° D．70°
4．我市药品监察部门为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，某药品原价每盒28元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率是x，由题意，所列方程正确的是（　　）
A．28（1?2x）=16 B．16（1?2x）=28 C．28（1?x）2=16 D．16（1?x）2=28
5．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个的圆锥的高是（　　）
 
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
6．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（　　）
 
A．（?2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）
7．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（　　）
 
A．  B．  C．3 D．2
8．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③函数图象最高点的纵坐标是 ；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．已知点A（a?2b，2?4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（　　）
A．（?3，7） B．（?1，7） C．（?4，10） D．（0，10）
10．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（　　）
 
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．关于x的方程2x2?ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为　   　．
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=　   　．
 
13．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2?6x=8（x? 6）的两个实数根，那么这个直角三角形的内切圆半径为　   　．
14．已知实数x，y满足x2+3x+y?3=0，则x+y的最大值为　   　．
15．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是　   　度．
　
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x2?4x+1=0
（2）x（x?2）+x?2=0．
17．（6分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有2个完全相同的小球，分别标有数字0和?2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字?2，0和1，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）
（1）写出先Q所有可能的坐标；
（2）求点Q在x轴上的概率．
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
 
19．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
 
20．（8分） 如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
（1）求证：AB与⊙O的相切；
（2）若AB=4，求线段GF的长．
 
21．（9分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于2 8元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24 元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得 以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
 
　
 
2018-2019学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2?2 C．y=（x?2）2+2 D．y=（x?2）2?2
【解答】解：∵抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（?2，?2），
∴所得抛物线的函数关系式是y=（x+2）2?2．
故选B．
　
2．从图中的四张图案中任取一张，取出图案是中心对称图形的概率是（　　）
 
A．  B．  C．  D．1
【解答】解：在这四个图片中中心对称图形的有第1、2、3幅图片，
因此是中心对称称图形的卡片的概率是 ，
故选：C
　
3．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（　　）
 
A．35° B．55° C．145° D．70°
【解答】解：∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选D．
　
4．我市药品监察部门为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，某药品原价每盒28元，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，设该药品平均每次降价的百分率是x，由题意，所列方程正确的是（　　）
A．28（1?2x）=16 B．16（1?2x）=28 C．28（1?x）2=16 D．16（1?x）2=28
【解答】解：第一次降价后的价格为28×（1?x），
两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为28×（1?x）×（1?x），
则列出的方程是28×（1?x）2=16，故选C．
　
5．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个的圆锥的高是（　　）
 
A．4cm B．6cm C．8cm D．2cm
【解答】解：设圆锥的底面半径是r，则2πr=6π，
解得：r=3，
则圆锥的高是：  =4cm．
故选A．
　
6．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后，B点的坐标为（　　）
 
A．（?2，2） B．（4，1） C．（3，1） D．（4，0）
【解答】解：如图，正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°得到正方形CB′C′D，即旋转后B点的坐标为（4，0）．
 
故选D．
　
7．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点．若PB切⊙O于点B，则PB的最小值是（　　）
 
A．  B．  C．3 D．2
【解答】解：连结OB，作OP′⊥l于P′如图，OP′=3，
∵PB切⊙O于点B，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴PB= = ，
当点P运动到点P ′的位置时，OP最小时，则PB最小，此时OP=3，
∴PB的最小值为 = ．
故选B．
 
　
8．关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：
①当c=0时，函数的图象经过原点；
②当c＞0，且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③函数图象最高点的纵坐标是 ；
④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）c是二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点，所以当c=0时，函数的图象经过原点；
（2）c＞0时，二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴，又因为函数的图象开口向下，所以方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
（3）当a＜0时，函数图象最高点的纵坐标是 ；当a＞0时，函数图象最低点的纵坐标是 ；由于a值不定，故无法判断最高点或最低点；
（4）当b=0时，二次函数y=ax2+bx+c变为y=ax2+c，又因为y=ax2+c的图象与y=ax2图象相同，所以当b=0时，函数的图象关于y轴对称．
三个正确，故选C．
　
9．已知点A（a?2b，2?4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（　　）
A．（?3，7） B．（?1，7） C．（?4，10） D．（0，10）
【解答】解：∵点A（a?2b，2?4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，
∴（a?2b）2+4×（a?2b）+10=2?4ab，
a2?4ab+4b2+4a?8b+10=2?4ab，
（a+2）2+4（b?1）2=0，
∴a+2=0，b?1=0，
解得a=?2，b=1，
∴a?2b=?2?2×1=?4，
2?4ab=2?4×（?2）×1=10，
∴点A的坐标为（?4，10），
∵对称轴为直线x=? =?2，
∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．
故选：D．
　
10．如图，点G，D，C在直线a上，点E，F，A，B在直线b上，若a∥b，R t△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合．运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（　　）
 
A．  B．  C．  D．
【解答】解：根据题意可得：
①F、A重合之前没有重叠面积，
②F、A重叠之后到E与A重叠前，设AE=a，EF被重叠部分的长度为（t?a），则重叠部分面积为S= （t?a）•（t?a）tan∠EFG= （t?a）2tan∠EFG，
∴是二次函数图象；
③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积 ，不变，
④F与B重合之后，重叠部分的面积等于S=S△EFG? （t?a）2tan∠EFG，符合二次函数图象，直至最后重叠部分的面积为0．
综上所述，只有B选项图形符合．
故选：B．
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．关于x的方程2x2?ax+1=0一个根是1，则它的另一个根为　 　．
【解答】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得1•t= ，解得t= ．
故答案为 ．
　
12．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=　20°　．
 
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，
∴∠PAC=90°．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠P=40°，
∴∠PAB=（180 °?∠P）÷2=（180°?40°）÷2=70°，
∴∠BAC=∠PAC?∠PAB=90°?70°=20°．
故答案是：20°．
　
13．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2?6x=8（x?6）的两个实数根，那么这个直角三角形的内切圆半径为　2　．
【解答】解：解方程x2?6x=8（x?6），
可得：x1=6，x2=8，
斜边= ，
则此直角三角形的内切圆半径= ，
故答案为：2
　
14．已知实数x，y满足x2+3x+y?3=0，则x+y的最大值为　4　．
【解答】解：由x2+3x+y?3=0得
y=?x2?3x+3，把y代入x+y得：
x+y=x?x2?3x+3=?x2?2x+3=?（x+1）2+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．
　
15．已知AB、AC分别是同一个圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠BAC的度数是　15或105　度．
【解答】解：如图1中，∠BAC=∠CAO?∠BAO=60°?45°=15°，
 
如图2中，∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°+15°=105°，
 
故答案为15或105．
　
三、解答题（本大题共7小题，共55分）
16．（8分）解方程：
（1）x2?4x+1=0
（2）x（x?2）+x?2=0．
【解答】解：（1）x2?4x+4=3
（ x?2）2=3
x=2±
（2）（x?2）（x+1）=0
x=2或x=?1
　
17．（6分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有2个完全相同的小球，分别标有数字0和?2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字?2，0和1，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点Q的坐标（x，y）
（1）写出先Q所有可能的坐标；
（2）求点Q在x轴上的概率．
【解答】解：（1）画树状图为：
 
共有6种等可能的结果数，它们为（0，?2），（0，0），（0，1），（?2，?2），（?2，0），（?2，1）；
（2）点Q在x轴上的结果数为2，
所以点Q在x轴上的概率= = ．
　
18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A（?1，1），B（?3，1），C（?1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
 
【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，
线段BC旋转过程中所扫过得面积S= = ．
 
　
19．（7分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
 
【解答】解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为 = ．
 
　
20．（8分）如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G，F两点．
（1）求证：AB与⊙O的相切；
（2）若AB=4，求线段GF的长．
 
【解答】（1）证明：过点O作OM⊥AB，垂足是M．如图1所示：
∵⊙O与AC相切于点D．
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAO=∠NAO，
∴OM=OD．
∴AB与⊙O相切；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．如图：2所示：
则NG=NF= GF，
∵O是BC的中点，
∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴OM=OB•sin60°= ，BM=OB•cos60°=1．
∵BE⊥AB，
∴四边形OMBN是矩形．
∴ON=BM=1，BN=OM= ．
∵OF=OM= ，
由勾股定理得：NF= ，
∴GF=2NF=2 ．

 
　
21．（9分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设y=kx+b，
把（22，36）与（24，32）代入得： ，
解得： ，
则y=?2x+80；

（2）设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意得：（x?20）y=150，
则（x?20）（?2x+80）=150，
整理得：x2?60x+875=0，
（x?25）（x?35）=0，
解得：x1=25，x2=35，
∵20≤x≤28，
∴x=35（不合题意舍去），
答：每本纪念册的销售单价是25元；

（3）由题意可得：
w=（x?20）（?2x+80）
=?2x2+120x?1600
=?2（x?30）2+200，
此时当x=30时，w最大，
又∵售价不低于20元且不高于28元，
∴x＜30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=?2（28?30）2+200=192（元），
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
　
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．
 
【解答】解：（1）设抛物线解析 式为y=a（x?2）2+9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴ 4a+9=5，
∴a=?1，
y=?（x?2）2+9=?x2+4x+5，
（2）当y=0时，?x2+4x+5=0，
∴x1=?1，x2=5，
∴E（?1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（0，5），B（5，0），
∴m=?1，n=5，
∴直线AB的解析式为y=?x+5；
设P（x，?x2+4x+5），
∴D（x，?x+5），
∴PD=?x2+4x+5+x?5=?x2+5x，
∵AC=4，
∴S四边形APCD= ×AC×PD=2（?x2+5x）=?2x2+10x，
∴当x=? = 时，
∴即：点P（ ， ）时，S四边形APCD最大= ，
（3）方法1、如图，
过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，
∵MN∥AE，MN=AE，
∴△HMN≌△AOE，
∴HM=OE=1，
∴M点的横坐标为x=3或x=1，
当x=1时，M点纵坐标为8，
当x=3时，M点纵坐标为8，
∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），
∵A（0，5），E（?1，0），
∴直线AE解析式为y=5x+5，
∵MN∥AE，
∴MN的解析式为y=5x+b，
∵点N在抛物线对称轴x=2上，
∴N（2，10+b），
∵AE2=OA2+OE2=26
∵MN=AE
∴MN2=AE2，
∴MN2=（2?1）2+[8?（10+b）]2=1+（b+2）2
∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，  8），
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，
∵点N在抛物线对称轴上，
∴M1N=M2N，
∴1+（b+2）2=26，
∴b=3，或b=?7，
∴10+b=13或10+b=3
∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），
当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．

方法2，如图1，
∴E（?1，0），A（0，5），
∵抛物线的解析式为y=?（x?2）2+9，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴点N的横坐标为2，即：N'（2，0）
①当以点A，E，M，N组成的平行四边形为四边形AENM时，
∵E（?1，0），点N的横坐标为2，（N'（2，0）
∴点E到点N向右平移2?（?1）=3个单位，
∵四边形AENM是平行四边形，
∴点A向右也平移3个单位，
∵A（0，5），
∴M点的横坐标为3，即：M'（3，5），
∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为?（3?2）2+9=8，
∴M（3，8），即：点A再向上平移（8?5=3）个单位，
∴点N'再向上平移3个单位，得到点N（2，3），
即：当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）．

②当以点A，E，M，N组成的平 行四边形为四边形AEMN时，
同①的方法得出，当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13）．

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