2018-2019学年湖北省黄冈市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2?x+1=0 D．x2?x?1=0
3．（3分）如图，⊙O的直径AB= 4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（3分）已知x1，x2分别为方程2x2+4x?3=0的两根，则x1+x2的值等于（ ）
A．2 B．?2 C． D．?
5．（3分）若b＜0，则二次函数y=x2+2bx?1的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k?2）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜6 B．k≤6且k≠2 C．k＜6且k≠2 D．k＞6
7．（3分）P为⊙O内一点，且OP=2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
8．（3分）当k取任意实数时，抛物线y=?9（x?k）2?3k2的顶点所在的曲线的解析式是（ ）
A．y=3x2 B．y=9x2 C．y=?3x2 D．y=?9x2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若点（?m，n+3）与点（2，?2m）关于原点对称，则m= ，n= ．
10．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（?3，4），则点C的坐标为 ．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2?6x+17上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
12．（3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=96°，那么∠A等于 ．
13．（3分）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2?6x+n?1=0的两根，则n的值为 ．
14．（3分）已知抛物线y=2x2?x?7与x轴的一个交点为（m，0），则?8m2+4m?7的值为 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A=62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 ．
16．（3分）已知A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=?（x?h）2+2018上两点，则n= ．
三、解答题（每小题12分，共72分）
17．（12分）根据要求解方程
（1）x2+3x?4=0（公式法）；
（2）x2+4x?12=0（配方法）；
（3）（x+3）（x?1）=5；
（4）（x+4）2=5（x+4）．
18．（6分）如图，射线AM交⊙O于点B、C，射线AN交⊙O于点D、E，且 = ，求证：AB=AD．
19．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
20．（7分）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，弦CD=10，AB∥CD，求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
21．（8分） 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P480千米处．
（1）说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间．
22．（8分）若关于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是关于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0的两个实数根，且x12+x22=39，求k的值．
23．（12分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为 ，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=?0.01x2?20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的 函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
24．（12分）如图，抛物线经过A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2018-2019学年湖北省黄冈市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．（3分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）
A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2?x+1=0 D．x2?x?1=0
【解答】解：A、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2?4ac=?4＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里a=1，b=1，c=1，
∵△=b2?4ac=1?4=?3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里a=1，b=?1，c=1，
∵△=b2?4ac=1?4=?3＜0，
∴方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里a=1，b=?1，c=?1，
∵△=b2?4ac=1+4=5＞0，
∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选D
3．（3分）如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=4；
∴AC= AB=2．
故选D．
4．（3分）已知x1，x2分别为方程2x2+4x?3=0的两根，则x1+x2的值等于（ ）
A．2 B．?2 C． D．?
【解答】解 ：x1+x2=? =?2．
故选C．
5．（3分）若b＜0，则二次函数y=x2+2bx?1的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵y=x2+2bx?1=（x+b）2?b2?1，
∴二次函数y=x2+2bx?1的图象的顶点坐标为（?b，?b2?1）．
∵b＜0，
∴?b＞0，?b2?1＜0，
∴当b＜0时，二次函数y=x2+2bx?1的图象的顶点在第四象限．
故选D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程（k?2）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜6 B．k≤6且k≠2 C．k＜6且k≠2 D．k＞6
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k?2）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得：k＜6且k≠2．
故选C．
7．（3分）P为⊙O内一点，且OP=2，若⊙O的半径为3，则过点P的最短的弦是（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【解答】解：
过P作弦AB⊥OP，则AB是过P点的最短弦，连接OB，
由勾股定理得：BP= = = ，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴AB=2BP=2 ，
故选D．
8．（3分）当k取任意实数时，抛物线y=?9（x?k）2?3k2的顶点所在的曲线的解析式是（ ）
A．y=3x2 B．y=9x2 C．y=?3x2 D．y=?9x2
【解答】解：抛物线y=?9（x?k）2?3k2的顶点是（k，?3k2），
可知当x=k时，y=?3k2，即y=?3x2，[来源:学科网ZXXK]
所以（k，?3k2）在抛 物线y=?3x2的图象上．
故选C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）若点（?m，n+3）与点（2，?2m）关于原点对称，则m= 2 ，n= 1 ．
【解答】解：∵点（?m，n+3）与点（2，?2m）关于原点对称，
∴?m=?2，n+3=2m，
解得：m=2，n=1
故答案为：2，1．
10．（3分）如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（?3，4），则点C的坐标为 （3，?4） ．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称，
∴C点坐标为（3，?4）．
故答案为：（3，?4）．[来源:学科网ZXXK]
11．（3分）如图 ，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2?6x+17上运动，过点A 作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 8 ．
【解答】解：∵y=x2?6x+17=（x?3）2+8，
∴抛物线的顶点坐标为（3，8）．
∴AC的最小值为8．
∴BD的最小值为8．
故答案为：8．
12．（3分）如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=96°，那么∠A等于 132° ．
【解答】解：如图所示：
∵∠α=96°，
∴∠D =48°．
∴∠A=180°?∠D=132°．
故答案为：132°．
13．（3分）等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2?6x+n?1=0的两根，则n的值为 10 ．
【解答】解：当a=2或b=2时，把x=2代入x2?6x+n?1=0得4?12+n?1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去；
当a=b时，△=（?6）2?4×（n?1）=0，解得n=10，
所以n为10．
故答案为10．
14．（3分）已知抛物线y=2x2?x?7与x轴的一个交点为（m，0），则?8m2+4m?7的值为 ?35 ．
【解答】解：把（m，0）代入抛物线解析式得：2m2?m?7=0，即2m2?m=7，
则原式=?4（2m2?m）?7=?28?7=?35，
故答案为：?35
15．（3分）如图，在△ABC中，∠A=62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是 121° ．
【解答】解：∵△ABC中∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3= （180°?∠A）= （180°?62°）=59°，
∴∠BOC=180°?（∠1+∠3）=180°?59°=121°．
故答案是：121°．
16．（3分）已知A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=?（x?h）2+2018上两点，则n= 2002 ．
【解答】解：∵A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=?（x?h）2+2018上两点，
∴A（h?4，0），B（h+4，0），
当x=h+4时，n=?（h+4?h）2+2018=2002，
故答案为2002．
三、解答题（每小题12分，共72分）
17．（12分）根据要求解方程
（1）x2+3x?4=0（公式法）；
（2）x2+4x?12=0（配方法）；
（3）（x+3）（x?1）=5；
（4）（x+4）2=5（x+4）．
【解答】解：（1）x2+3x?4=0，
△=32?4×1×（?4）=25＞0，
则x= ，
解得x1=?4，x2=1；
（2）x2+4x?12=0，
x2+4x=12，
（x+2）2=16，
x+2=±4，
解得x1=?6，x2=2；
（3）（x+3）（x?1）=5，
x2+2x?3=5，
x2+2x?8=0，
（x+4）（x?2）=0，
解得x1=?4，x2=2；
（4）（x+4）2=5（x+4），
（x+4）2?5（x+4）=0，
（x+4?5）（x+4）=0，
（x?1）（x+4）=0，
解得x1=1，x2=?4．
18．（6分）如图，射线AM交⊙O于点B、C，射线AN交⊙O于点D、E，且 = ，求证：AB=AD．
【解答】证明：连BD、CE．
∵ = ，
∴ + = ，∴ = ，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵ = ，
∴BC=DE．
∴AC?BC=AE?DE，
即AB=AD．
19．（7分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库 存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么买件衬衫应降价多少元？
【解答】解：设买件衬衫应降价x元，
由题意得：（40?x）（20+2x）=1200，
即2x2?60x+400=0，
∴x2?30x+200=0，
∴（x?10）（x?20）=0，
解得：x=10或x=20
为了减少库存，所以x=20．
故买件衬衫应应降价20元．
20．（7分）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，弦CD=10，AB∥CD，求这两条平行弦AB，CD之间的距离．
【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24，CD=10，
∴AE=12，CF=5，
∵OA=OC=13，
∴EO=5，OF=12，
∴EF=12?5=7；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24，CD=10，
∴AE=12，CF=5，
∵OA=OC=13，
∴EO=5，OF=12，
∴EF=OF+OE=17．
∴AB与CD之间的距离为7或17．
21．（8分）如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离点P480千米处．
（1）说明本次台风会影响B市； （2）求这次台风影响B市的时间．
【解答】解：（1）作BH⊥PQ于点H．
在Rt△BHP中，[来源:Zxxk.Com]
由条件知，PB=480，∠BPQ=75°?45°=30°，
∴BH=480sin30°=240＜260 ，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，以点B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1，P2，
若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2=2 =200，
∴台风影响的时间t= =4（小时）．
故B市受台风影响的时间为4小时．
22．（8分）若关于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是关于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0的两个实数根，且x12+x22=39，求k的值．
【解答】解：
（1）∵关于x的方程x2?（2k+1）x+（k2+5k+9）=0有实数根，
∴△≥0，即[?（2k+1）]2?4×1×（k2+5k+9）≥0，
解得k≤? ；
（2）根据题意可知x1+x2=2k+1，x1x2=k2+5k+9，
∵x12+x22=39，
∴（x1+x2）2?2x1x2=39，
∴（2k+1）2?2（k2+5k+9）=39，解得k=7或k=?4，
∵k≤? ，
∴k=?4．
23．（12分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为 ，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=?0.01x2?20x+30000（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出k1、k2和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；[来源:学科网]
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【解答】解：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得： ，
解得： ；
（2）当0≤x＜600时，
W=30x+（?0.01x2?20x+30000）=?0.01x2+10x+30000，
∵?0.01＜0，W=?0.01（x?500）2+32500，
∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，
W=20x+6000+（?0.01x2?20x+30000）= ?0.01x2+36000，
∵?0.01＜0，
∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，
∴当x=600时，W取 最大值为32400，
∵32400＜32500，
∴W取最大值为32500元；
（3）由题意得：1000?x≥100，解得：x≤900，
由x ≥700，
则700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，
∴当x=900时，W取得最小值27900元．
24．（12分）如图，抛物线经过A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y= x2?2x? ；
（2）∵抛物线的解析式为：y= x2?2x? ，
∴其对称轴为直线x=? =? =2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，? ），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y= x? ，
当x=2时，y=1? =? ，
∴P（2，? ）；
（3）存在．[来源:学科网]
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，? ），
∴N1（4，? ）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，
在△AN2D与△M2CO中，
∴△AN2D≌△M2CO（ASA），
∴N2D=OC= ，即N2点的纵坐标为 ．
∴ x2?2x? = ，
解得x=2+ 或x=2? ，
∴N2（2+ ， ），N3（2? ， ）；
当AC为对角线时，N4（4，? ）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，? ），（2+ ， ）或（2? ， ）．
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