潍坊市九年级第一学期期末练习含答案
数 学 2018.1
学校 班级 姓名 成绩
考
生
须
知 1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名。
3．试题答案一律填?或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．
1．抛物线 的顶点坐标是
A．(1，3) B．( ，3) C．( ， ) D．(1， )
2．如图，在△ABC中，D为AB中点，DE∥BC交AC于E点，则△ADE与△ABC的面积比为
A．1:1 B．1:2
C．1:3 D．1:4
3．方程 的解是
A． B．
C． D．
4．如图，在△ABC中，∠A=90°．若AB=8，AC=6，则cosC的值为
A． B．
C． D．
5．下列各点中，抛物线 经过的点是
A．(0，4) B．(1， ) C．( ， ) D．(2，8)
6．如图， 是△ABC的外接圆， ，则 的大小为
A． B．
C． D．
7．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是
A．1cm B．3cm C．6cm D．9cm
8．反比例函数 的图象经过点（ ， ），（2， ），则下列关系正确的是
A．¬¬ B． C． D．不能确定
9．抛物线 与 轴的两个交点之间的距离为4，则 的值是
A． B． C． D．
10．当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的函数，下表记录了一组实验数据：
V（单位：m3） 1 1.5 2 2.5 3
P（单位：kPa） 96 64 48 38.4 32
P与V的函数关系可能是
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．已知 为锐角，若 ，则 的大小为 度．
12．请写出一个图象在二，四象限的反比例函数的表达式 ．
13．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OD，OB=3OC），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若 cm，则AB的长为 cm．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB
与线段 是位似图形，若A( ，2)，B( ，0)， ( ，4)，
则 的坐标为 ．
15．若关于x的方程 有两个相等实根，则代数式 的值为
．
16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．
如图1，已知圆上一点A，画过A点的圆的切线．
画法：（1）如图2，将三角板的直角顶点放在圆上任一点C（与点A不重合）处，使其一直角边经过点A，另一条直角边与圆交于B点，连接AB；
（2）如图3，将三角板的直角顶点与点A重合，使一条直角边经过点B，画出另一条直角边所在的直线AD．
所以直线AD就是过点A的圆的切线．
请回答：该画图的依据是______________________________________________________．
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．计算： ° ．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D．
求证：△ABC∽△EBD．
19．若二次函数 的图象经过点 和 两点，求此二次函数的表达式．
20．已知蓄电池的电压U为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻R应控制在什么范围？请根据图象，直接写出结果 ．
21．已知矩形的一边长为x，且相邻两边长的和为10．
（1）求矩形面积S与边长x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求矩形面积S的最大值．
22．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球与楼的水平距离AD为100米，试求这栋楼的高度BC．
23．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，P为BC边上一点，△APD为等腰三角形．
（1）小明画出了一个满足条件的△APD，其中PA=PD，如图1所示，则tan 的值
为 ；
（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD（与小明的不同），并求此时tan
的值．
图1 图2
24．如图，直线 与双曲线 只有一个公共点A(1， )．
（1）求k与a的值；
（2）若直线 与双曲线 有
两个公共点，请直接写出b的取值范围．
25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）若∠D = 60°，AD = 2，射线CO与AM交于N点，请
写出求ON长的思路．
26．有这样一个问题：探究函数 的性质．
（1）先从简单情况开始探究：
① 当函数为 时， 随 增大而 （填“增大”或“减小”）；
② 当函数为 时，它的图象与直线 的交点坐标为
；
（2）当函数为 时，
下表为其y与x的几组对应值．
x …
0 1
2
3 4
…
y …
1
2
3 7
…
①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质：
．
27．在平面直角坐标系 中，抛物线 的顶点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）将线段 沿 轴向右平移2个单位得到线段 ．
①直接写出点 和 的坐标；
②若抛物线 与四边形
有且只有两个公共点，结合函数的图象，求 的取
值范围．
28．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且 ．连接PB，试探究PA，PB，PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到 ，连接 ，如图1所示．
由 ≌ 可以证得 是等边三角形，再由 可得
∠APC的大小为 度，进而得到 是直角三角形，这样可以得到PA，
PB，PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，请参考（1）中的方法，探究PA，PB，PC满足的等量关系，
并给出证明；
（3）PA，PB，PC满足的等量关系为 ．
29．定义：点P为△ABC内部或边上的点，若满足△PAB，△PBC，
△PAC至少有一个三角形与△ABC相似（点P不与△ABC顶点重合），则称点P为△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．
在平面直角坐标系xOy中，
（1）点A坐标为( ， )， AB⊥x轴于B点，在E(2，1)，F ( ， )，G ( ， )
这三个点中，其中是△AOB的自相似点的是 （填字母）；
（2）若点M是曲线C： （ ， ）上的一个动点，N为x轴正半轴上一个
动点；
① 如图2， ，M点横坐标为3，且NM = NO，若点P是△MON的自相似点，求点P的坐标；
② 若 ，点N为(2，0)，且△MON的自相似点有2个，则曲线C上满足这样条件的点M共有 个，请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．
潍坊市九年级第一学期期末练习
数 学 答 案 2018．1
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A B B B A D D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．45； 12． （答案不唯一）； 13． ；
14．（ ，0）； 15．1；
16．90°的圆周角所对的弦是直径，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17．解：原式= ， -------------------------------------------4分
= ． -------------------------------------------------5分
18．证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB=90°． -------------------------------------------1分
∵∠C=90°， -----------------------------------------------2分
∴∠EDB=∠C． ------------------------------------------3分
∵∠B=∠B， ---------------------------------------------4分
∴ ∽ ． ----------------------------------5分
19．解：∵二次函数 的图象经过（0，1）和（1， ）两点，
∴ --------------------------------------------------2分
解得 -------------------------------------------------------4分
∴二次函数的表达式为 ． --------------------------------------5分
20．（1）解：设反比例函数的表达式为 ，
由图象可知函数 的图象经过点（9，4），
∴ ． ----------------------------------------------------------1分
∴ ． -----------------------------------------------------------2分
∴反比例函数的表达式为 （ ）． ------------------------3分
（2） ．（答 得1分，其它错误不得分） -------------------------5分
21．解：（1） ， -----------------------------------------------------2分
其中 ； ---------------------------------3分
（2） = ． -------------------------------------------------------4分
∴当 时， 有最大值25． ---------------------------5分
22．解：∵ °， °， °，AD=100， -------------------2分
∴在Rt 中， ， --------------3分
在Rt 中， . --------------4分
∴ ． ------------------------------------------5分
23．（1）1． ----------------------------------------------2分
（2）解法一：
----------------------------------3分
∵矩形ABCD，
∴ °．
∵AP=AD=6，AB=3，
∴在Rt 中， ． ---------------------4分
∴ ． ----------------------------------5分
解法二：
---------------------------------------------------3分
∵矩形ABCD，
∴ °．
∵PD=AD=BC=6，AB=CD=3，
∴在Rt 中， . -----------------------4分
∴ ．
∴在Rt 中， ． ------------------5分
24．（1）∵直线 与双曲线 只有一个公共点A（1， ），
∴ -------------------------------------------1分
∴
（2） 或 ．（答对一个取值范围得1分） ----------------------------5分
25．（1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴ ．
∴ ．
∵AM是∠DAF的角平分线，
∴ ．
∵ °，
∴ °．
∴OA⊥AM．
∴AM是⊙O的切线．-------------------------------------------------2分
（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直径，可得 ， ，
；
②由 °， ，可得 为
边长为2的等边三角形， °；
③由 ，可得 °；
④由 °，可得
°， ；
⑤由 为含有30°的直角三角形，可求 的长．
（本题方法不唯一） ------------------------------------------------5分
26．（1）①增大； ------------------------------------------------------------------------1分
②（1，1），（2，2）； -------------------------------------------------------3分
（2）①
--------------------------------------------------------------------------------4分
（2）该函数的性质：
①y随x的增大而增大；
②函数的图象经过第一、三、四象限；
③函数的图象与x轴y轴各有一个交点．
……
（写出一条即可） --------------------------------------------------------5分
27．（1）∵ ，
∴抛物线的顶点A的坐标为（2，3）． --------------------------------2分
（2） （2，0）， --------------------------------------------------------3分
（4，3）． -----------------------------------------------------------------4分
（3）依题意， ． --------------------------------------5分
将（0，0）代入 中，
得 . --------------------------------------------6分
∴ ． --------------------------------------7分
28．（1）150， -----------------------------------------------------1分
． ----------------------------------3分
（2）如图，作 °，使 ，连接 ， ．过点A作AD⊥ 于D点．
∵ °，
即 ，
∴ ．
∵AB=AC， ，
∴ . --------------------------------4分
∴ ， °．
∵AD⊥ ，
∴ °.
∴在Rt 中， .
∴ ．
∵ °，
∴ °.
∴ °．
∴在Rt 中， .
∴ ． -------------------------------------------------------6分
（3） ． ----------------------------------------------7分
29．（1）F，G．（每对1个得1分） ------------------------------------------------2分
（2）①如图1，过点M作MH⊥x轴于H点．
∵M点的横坐标为3，
∴ .
∴ .
∴ ，直线OM的表达式为 ．
∵MH⊥x轴，
∴在Rt△MHN中， °， ．
设NM=NO=m，则 .
∴ .
∴ON=MN=m=2． --------------------------------------------3分
如图2， ∽ ，过点 作 ⊥x轴于Q点，
∴ ， ．
∵ 的横坐标为1，
∴ .
∴ ． ------------------------------------------------4分
如图3， ，
∴ .
∴ ．
∵ 的纵坐标为 ，
∴ .
∴ .
∴ ． ------------------------------------------------------5分
综上所述， 或 ．
②4． ---------------------------------------------------------------------------------6分
（每标对两个点得1分）--------------------------------------------------------8分
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