（2013•毕节地区）将二次函数y=x2的图象向右 平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（ ）
A．y=（x?1）2+3B．y=（x+1）2+3C．y=（x?1）2?3D．y=（x+1）2?3
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：由二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据平移的性质，即可求得所得图象的函数解析式．注意二次函数平移的规律为：左加右减，上加下减．
解答：解：∵二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴所得图象的函数解析式是：y=（x?1）2+3．
故选A．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；
（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；
（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．
解答：解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，
∴ ，解得：a=?1，b=1，
∴抛物线的解析式为：y=?x2+1，
抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（?1，0）．
（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：
，解得k=?1，b=1，∴y=?x+1．
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=?x+n，
∵点B（?1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=?1，
∴直线BD的解析式为：y=?x?1．
将y=?x?1代入抛物线的解析式，得：?x?1=?x2+1，解得：x1=2，x2=?1，
∵B点横坐标为?1，则D点横坐标为2，
D点纵坐标为y=?2?1=?3，∴D点坐标为（2，?3）．
如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD= ；
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD= ；
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC= ；
∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD= + + + = + ．
（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如答图②所示，
则有 ，即 ，∴PE=3BE．
设OE=（＞0），则E（?，0），BE=1?，PE=3BE=3?3，
∴点P的坐标为（?，3?3）．
∵点P在抛物线y=?x2+1上，
∴3?3=?（?）2 +1，解得=1或=2，
当=1时，点E与点B重合，故舍去；当=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．
因此，此种情况不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，
则有 ，即 ，∴BE=3PE．
设OE=（＞0），则E（，0），BE=1+，PE=BE=（1+）=+，
∴点P的坐标为（， +）．
∵点P在抛物线y=?x2+1上，
∴+=?（）2+1，解得=?1或=，
∵＞0，故=1舍去，∴=，
点P的纵坐标为： +=+×=，
∴点P的坐标为（，）．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）．
（2013•昆明）如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4,OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A、D、、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
（2013•邵阳）如图所示，已知抛物线y=?2x2?4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F．
（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：
（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．
考点：二次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质．
分析：（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答；
（2）先根据抛物线F的解析式求出顶点C，和x轴交点B的坐标，再设A点坐标为（0，y），根据点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，列出关于y的方程，解方程求出y的值，然后利用待定系数法求出AB所在直线的解析式．
解答：解：（1）∵抛物线y=?2x2?4x=?2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F，
∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=?2（x+1?2）2+2，即y=?2（x?1）2+2；
（2）∵y=?2（x?1）2+2，
∴顶点C的坐标为（1，2）．
当y=0时，?2（x?1）2+2=0，
解得x=0或2，
∴点B的坐标为（2，0）．
设A点坐标为（0，y），则y＜0．
∵点A到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，
∴?y=2×2，解得y=?4，
∴A点坐标为（0，?4）．
设AB所在直线的解析式为y=kx+b，
由题意，得 ，
解得 ，
∴AB所在直线的解析式为y=2x?4．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，运用待定系数法求函数的解析式，难度适中，求出图象F所表示的抛物线的解析式是解题的关键．
（2013•柳州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（5，0），（3，?4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）当y＞?3，写出x的取值范围；
（3）A、B为直线y=?2x?6上两动点，且距离为2，点C为二次函数图象上的动点，当点C运动到何处时△ABC的面积最小？求出此时点C的坐标及△ABC面积的最小值．
考点：二次函数综合题．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）求出y=3时x的值，结合函数图象，求出y＞?3时x的取值范围；
（3）△ABC的底边AB长度为2，是定值，因此当AB边上的高最小时，△ABC的面积最小．如解答图所示，由点C向直线y=?2x?6作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE的表达式，根据表达式求出CE的最小值，这样问题得解．
解答：解：（1）∵点（1，0），（5，0），（3，?4）在抛物线上，
∴ ，
解得 ．
∴二次函数的解析式为：y=x2?6x+5．
（2）在y=x2?6x+5中，令y=?3，即x2?6x+5=?3，
整理得：x2?6x+8=0，解得x1=2，x2=4．
结合函数图象，可知当y＞?3时，x的取值范围是：x＜2或x＞4．
（3）设直线y=?2x?6与x轴，y轴分别交于点，点N，
令x=0，得y=?6；令y=0，得x=?2．
∴（?3，0），N（0，?6），
∴O=3，ON=6，由勾股定理得：N=3 ，
∴tan∠NO= = ，sin∠NO= = ．
设点C坐标为（x，y），则y=x2?6x+5．
过点C作CD⊥y轴于点D，则CD=x，OD=?y，DN=6+y．
过点C作直线y=?2x?6的垂线，垂足为E，交y轴于点F，
在Rt△CDF中，DF=CD•tan∠NO= x，CF= = = = x．
∴FN=DN?DF=6+y? x．
在Rt△EFN中，EF=FN•sin∠NO= （6+y? x）．
∴CE=CF+EF= x+ （6+y? x），
∵C（x，y）在抛物线上，∴y=x2?6x+5，代入上式整理得：
CE= （x2?4x+11）= （x?2）2+ ，
∴当x=2时，CE有最小值，最小值为 ．
当x=2时，y=x2?6x+5=?3，∴C（2，?3）．
△ABC的最小面积为： AB•CE= ×2× = ．
∴当C点坐标为（2，?3）时，△ABC的面积最小，面积的最小值为 ．
点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、解直角三角形（或相似三角形）等知识点．难点在于第（3）问，确定高CE的表达式是解题的关键所在；本问的另一解法是：直线y=?2x+k与抛物线y=x2?6x+5相切时，切点即为所求的点C，同学们可以尝试此思路，以求触类旁通、举一反三．
（2013•铜仁）如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过
A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)．
(1)求抛物线的解析式：
(2)求△ABC的面积；
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使△AB为等腰三角形?若不存在，请说明
理由：若存在，求出点的坐标.
解：（1）求出A（1，0），B（0，-3）……………………1分
把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得
解得：b=2,c=-3………………………………………………3分
∴抛物线为：y=x2+2x-3……………………………………4分
（2）令y=0得：0=x2+2x-3
解之得：x1=1,x2=-3
所以C（-3，0），AC=4…………………………6分
S△ABC=
（3）抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在（-1，）满足题意
讨论：
①当A=AB时
∴1（-1， ），2（-1，- ）………………………… …………10分
②当B=BA时
∴3=0，4=-6……………………………………10分
∴3（-1，0），4（-1，-6）……………………………………12分
③当B=A时
=-1
∴5（-1，-1）……………………………………13分
答：共存在五个点1（-1， ），2（-1，- ），3（-1，0），4（-1，-6），5（-1，-1），
使△AB为等腰三角形……………………………………14分
（2013•临沂）如图，抛物线经过A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：探究型．
分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三点代入求出a、b、c的值即可；
（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵A（?1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y= x2?2x? ；
（2）∵抛物线的解析式为：y= x2?2x? ，
∴其对称轴为直线x=? =? =2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，? ），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y= x? ，
当x=2时，y=1? =? ，
∴P（2，? ）；
（3）存在．
如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，? ），
∴N1（4，? ）；
②当点N在x轴上方时，
如图，过点N作ND⊥x轴于点D，
在△AND与△CO中，
∴△AND≌△CO（ASA），
∴ND=OC= ，即N点的纵坐标为 ．
∴ x2?2x? = ，
解得x=2+ 或x=2? ，
∴N2（2+ ， ），N3（2? ， ）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，? ），（2+ ， ）或（2? ， ）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．
（2013•茂名）下列二次函 数的图象，不能通过函数 的图象平移得到的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（2013•茂名）如图，抛物线 与 轴交于点 A和点B，与 轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）.
（1）求 的值和抛物线的顶点坐标；
（2）分别连接AC、BC.在 轴下方的抛物线上求一点，使 与 的面积相等 ；
（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点， .
探究：是否 存在一点N，使 的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和 的最大值；若不存在，请简单说明理由.
（2013•大兴安岭）如图，已知二次函数y = 过点A(1,0) C(0,－3)
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标.
（2013•红河）如图，抛物线 与 轴交于A、B两点，与 轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象 限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．
（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；
（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；
（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）在 中，当 =0时，即 ，解得 ．
当 时，即 ，解得 ．
所以点 A、B、C的坐标依次是A（-2，0）、
B（2，0）、C（0，4）．
设直线BC的解析式为 （ ），
则 ，解得 ．
所以直线BC的解析式为 ． ……………………… ………3分
（2）∵点E在直线BC上，∴设点E的坐标为 ，则△ 的面积S可表示为： ．
∴当 时，△ODE的面积有最大值1．
此时， ，∴点E的坐标为（1，2）． …………………5分
（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设点P的坐标为 , ．
因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：
①当△ＰDO∽△COA时， ，
，
解得 ， （不符合题意，舍去）．
当 时， ．
此时，点P的坐标为 ．
②当△PDO∽△AOC时， ，
，
解得 ， （不符合题意，舍去）．
当 时， = ．
此时，点P的坐标为 ．
综上可得，满足条件的点P有两个：
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