19.3.2正方形的判定与性质
一．选择题（共5小题）
1．下列说法错误的是（ ）
A． 有一个角为直角的菱形是正方形
B． 有一组邻边相等的矩形是正方形
C． 对角线相等的菱形是正方形
D． 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
2．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．无穷多个
3．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．8
4．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）
A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm
5．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（ ）
A．40 B．25 C．26 D．36
二．填空题（共4小题）
6．现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 _________ （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 _________ ．
7．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8 ，则另一直角边AE的长为 _________ ．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 _________ ．
9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 _________
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④
三．解答题（共11小题）
10．如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′．
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
11．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．
12．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
13．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
14．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
16．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．
17．在正方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH，连接EF，FG，GH，HE．试问四边形EFGH是否是正方形？
18．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．
（1）求证：AF?BF=EF；
（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；
（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．
19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．
19.3.2正方形的判定与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列说法错误的是（ ）
A． 有一个角为直角的菱形是正方形
B． 有一组邻边相等的矩形是正方形
C． 对角线相等的菱形是正方形
D． 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
考点： 正方形的判定．
分析： 正方形：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形；
菱形：四条边都相等，对角线互相垂直平分的平行四边形；
矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形．
解答： 解：A、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故本选项说法正确；
B、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故本选项说法正确；
C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形．故本选项说法正确；
D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．故本选项说法错误；
故选D．
点评： 本题考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性质于一身 ，是特殊的平行四边形．
2．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（ ）
A． 1个 B．2个 C．4个 D． 无穷多个
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定．
专题： 计算题．
分析： 在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．
解答： 解：无穷多个．如图正方形ABCD：
AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，
有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，
则EH=HG=GF=FE，
另外 很容易得四个角均为90°
则四边形EHGF为正方形．
故选D．
点评： 本题考查了正方形的判定与性质，难度适中，利用三角形全等的判定证明EH=HG=GF=FE．
3．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（ ）
A． 3 B．2 C．4 D． 8
考点： 正方形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．
解答： 解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故选C．
点评： 本题运用割补法，或者旋转法将四边形ABCD转化为正方形，根据面积保持不变，来求正方形的边长．
4．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（ ）
A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C． 4cm，4cm，4cm D． 2cm，3cm，5cm
考点： 正方形的判定与性质．
分析： 连接OA，OB，OC，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因为点O到三边AB、AC、BC的距离是CD，∴AB=8?CD+6?CD=10，解得CD=2，所以点O到三边AB、AC、BC的距离为2．
解答： 解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，
又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点
∴四边形OECD是正方形，
则点O到三边AB、AC、BC的距离=CD，
∴AB=8?CD+6?CD=?2CD+14，又根据勾股定理可得：AB=10，
即?2CD+1 4=10
∴CD=2，
即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm．
故选A
点评： 本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．
5．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（ ）
A． 40 B．25 C．26 D． 36
考点： 正方形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由正方形的面积公式，根据题意列出方程组解方程组得出大正方形的边长，则可求出面积．
解答： 解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，
由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab+a（b?a）=24 ①，
由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b?a）2= a2?3，②
将①②联立解方程组可得：a=4，b=5，
∴大正方形的边长为5，
∴面积是25．
故选B．
点评： 本题考查了正方形的性质及面积公式，难度较大，关键根据题意列出方程．
二．填空题（共4小题）
6．现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是 正方形 （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 cm ．
考点： 正方形的判定与性质．
专题： 压轴题．
分析： 延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形顶点8cm处的点，构造直角边长为8的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可．
解答： 解：如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点，
∴△ABC为直角边长为8cm的等腰直角三角形，
∴AB= AC=8 ，
∴阴影正方形的边长=AB=8 cm．
故答案为：正方形， cm．
点评： 本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，题目同时也渗透了转化思想．
7．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8 ，则另一直角边AE的长为 10 ．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
分析： 首先过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，易得四边形EMON是正方形，点A，O，D，E共圆，则可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的长，继而证得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，继而求得答案．
解答： 解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，
∵∠AED=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∵正方形ABCD的对角线交于点O，
∴∠AOD=90°，OA=OD，
∴∠AOD+∠AED=180°，
∴点A，O，D，E共圆，
∴ = ，
∴∠AEO=∠DEO= ∠AED=45°，
∴OM=ON，
∴四边形EMON是正方形，
∴EM=EN=ON，
∴△OEN是等腰直角三角形，
∵OE=8 ，
∴EN=8，
∴EM=EN=8，
在Rt△AOM和Rt△DON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），
∴AM=DN=EN?ED=8?6=2，
∴AE=AM+EM=2+8=10．
故答案为：10．
点评： 此题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
8．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是 3 ．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： 过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形 ，再根据等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
解答： 解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四边形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= =3 ．
故答案为：3 ．
点评： 本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．
9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 C
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形 为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答： 解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平 行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
故选C．
点评： 此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌 握这些判定定理是解本题的关键．
三．解答题（共11小题）
10．如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′．
求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 依据三角形的内角和定理可以判定四边形A′B′C′D′的三个角是直角，则四边形是矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形．
解答： 证明：在正方形ABCD中，
∵在△ABF和△BCG中，
∴△ABF≌△BCG（SAS）
∴∠BAF=∠GBC，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠GBC+∠AFB=90°，
∴∠BB′F=90°，
∴∠A′B′C′=90°．
∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°，
∴四边形A′B′C′D′是矩形．
∵在△AB′B和△BC′C中，
∴△AB′B≌△BC′C（AAS），
∴AB′=BC′
∵在△AA′E和△BB′F中，
∴△AA′E≌△BB′F（AAS），
∴AA′=BB′
∴A′B′=B′C′
∴矩形A′B′C′D′是正方形．
点评： 本题考查了正方形的判定，判定的方法是证明是矩形同时是菱形．
11．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
专题： 探究型．
分析： 猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF= AC，过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G，作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG． 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明△AMG≌△CHG即可．
解答： 猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF= AC，
证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．
则∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，
∵∠MEG=∠NED，ME=NE，
∴△MEG≌△NED，
∴MG=DN．
∵BM=DN，
∴MG=BM．
作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，
∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，
∴四边形MBHG是矩形．
∵MG=MB，
∴四边形MBHG是正方形，
∴MG=GH=BH=MB， ∠AMG=∠CHG=90°，
∴AM=CH，
∴△AMG≌△CHG．
∴GA=GC．
又∵DA=DC，
∴DG是线段AC的垂直平分线．
∵∠ADC=90°，DA=DC，
∴DF= AC
即线段DF垂直平分线段AC，且DF= AC．
点评： 本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力．
12．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
分析： （1）由于 四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．
解答： （1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
∵DG=AH=2，
∴Rt△HDG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形；
（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，
∵ ，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM，
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6?x．
∴S△FCG= CG•FM=6?x．
点评： 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
13．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理 由．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；
（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．
解答： （1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴BF=DE；
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE，
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
点评： 本题考查了正方 形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．
14．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；
（2）若DG=6，求△FCG的面积；
（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质．
专题： 计算题；压轴题．
分析： （1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；
（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7?x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤ ，从而可得当x= 时，△GCF的面积最小．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，
∴∠D=∠A=9 0°，HG=HE，又AH=DG=2，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠DHG=∠HEA，
∵∠AHE+∠HEA=90°，
∴∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠EHG=90°，
∴四边形HEFG为正方形；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG，
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此 ；
（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7?x，在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤ ，
∴S△FCG的最小值为 ，此时DG= ，
∴当DG= 时，△FCG的面积最小为（ ）．
点评： 本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．
15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线 AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；
（2）证明思路同（1）
解答： （1）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC ，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
（2）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
点评： 此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想．
16．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．
考点： 正方形的判定与性质．
专题： 证明题；压轴题．
分析： 可由Rt△ABM≌Rt△DAN，AM=DN同理可得AN=NP，所以MN=PN，进而可得其为正方形．
解答： 证明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，
∴∠QMN=∠P=∠N=90°，
∴四边形PQMN为矩形，
∵AB=AD，∠M=∠N=90°
∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，
∴∠ADN=∠BAM，
又∵AD=BA，
∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS），
∴AM=DN
同理AN=DP，
∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．
∴四边形PQMN是正方形．
点评： 本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各种几何图形的性质和判定方法．
17．在正方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH，连接EF，FG，GH，HE．试问四边形EFGH是否是正方形？
考点： 正方形的判定与性质．
分析： 根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，然后求出BE=CF=DG=AH，再利用“边角边”证明△AHE和△BEF和△CFG和△DGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG=GH=EH，全等三角形对应角相等可得∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，再求出∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，从而得到四边形EFGH是正方形．
解答： 解：四边形EFGH是正方形．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AB?AE=BC?BF=CD?CG=AD?DH，
即BE=CF=DG=AH，
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，
∴EF=FG=GH=EH，∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，
∴∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
点评： 本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出被截取的四个小直角三角形全等是解题的关键．
18．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．
（1）求证：AF?BF=EF；
（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；
考点： 正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；
分析： （1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，进而得出AE=BF，即可证明结论；
（2）首先得出四边形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，进而得出EF=EH，即可得出答案；
解答： （1）证明：∵DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，
∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
又∵∠DAE+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△AED和△BFA中，
，
∴△AED≌△BFA，
∴AE=BF，
∴AF?AE=EF，即AF?BF=EF；
（2）证明：
∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，
∴△AED≌△BFA≌△DHC，
∴DH=AE=BF，AF=DE=CH，
∴DE?DH=AF?AE，
∴EF=EH，
∴矩形EFGH是正方形；
19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．
考点： 正方形的判定；角平分线的性质．
分析： 首先利用垂直的定义证得四边形CFDE是矩形，然后利用角平分线的性质得到DE=DF，从而判定该四边形是正方形．
解答： 证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形．
点评： 本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内切圆与内心，解题的关键是利用正方形的判定方法证得四边形CFDE是正方形．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．
考点： 正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由题意先证明□AEDF是矩形，再根据两角及其一角的对边对应相等来证△BDE≌△CDF，根据有一组对边相等的矩形证明□AEDF是正方形．
解答： 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠AED=90°，∠AFD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠EDF=90°
∴□AEDF是矩形
在△BDE和△CDF中
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠DEB=∠DFC
又∵D是BC的中点
∴BD=DC
∴△BDE≌△CDF
∴DE=DF
∴□AEDF是正方形
点评： 本题考查的是正方形的判定方法，考查了矩形、全等三角形等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．
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