第2章 特殊三角形检测题
（时间:90分钟，满分:100分）
一、选择题（每小题3分,共30分）
1.有下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（2015•江苏苏州中考）如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC中点，∠BAD=35°,则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
第2题图
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E．有下列结论：①BD平分∠ABC；②AD=BD=BC；③△BCD的周长等于AB+BC；④D是AC的中点．其中正确的是（ ）
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
4.已知一个等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是( )
A.17 cm B.22 cm C.17 cm或22 cm D.18 cm
5.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在BC上，∠BAD=50°，AD=AE，则∠EDC的度数 为（ ）
A.15° B.25° C.30° D.50°
6.（2015•陕西中考） 如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ）
A.2个 B. 3个 C.4个 D.5个
7.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A.45° B.55° C.60° D.75°
8.下列说法中正确的是（ ）
A.已知 是三角形的三边，则
B.在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°，所以 (a,b,c分别为∠A, ∠B, ∠C的对边)
D.在Rt△ABC中，∠B=90°，所以 (a,b,c分别为∠A, ∠B, ∠C的对边)
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，点M，N在AB上，且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
10.已知一个直角三角形的周长是4+2 ，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积 为（ ）
A.5 B.2 C. D.1
二、填空题（每小题3分,共24分）
11. 在△ABC中，AB=AC，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= .
12.若点D为△ABC的边BC上一点，且AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=____________．
13.已知在△ABC中，DE垂直平分AC，与AC边交于点E，与BC边交于点D，∠C=15°，
∠BAD=60°，则△ABC是________三角形．
14.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是_________.
15.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为 .
16.已知等边三角形的高为2 ，则它的边长为________.
17.如图，已知∠BAC=130°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠ADB=______°.
18.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=_________.
三、解答题（共46分）
19.（6分）如图，请思考怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试一试，在图中画出裁剪的痕迹.
20.（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC于点D，求证：BC=3AD.
21.（6分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
（1）若CD=1 cm，求AC的长；
（2）求证：AB=AC+CD.
22.（7分）（2015•浙江丽水中考）如图，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数.
第22题图
23.（7分）如图，在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，B，P，Q三点在一条直线上，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
24.（7分）如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，点B，E在C，D的同侧，若AB= ，求BE的长.
25.（7分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图（1），当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图（2），当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由.
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
第2章 特殊三角形检测题参考答案
一、选择题
1.B 解析：只有②④是正确的.
2. C 解析：∵ AB=AC，D为BC中点，
∴ AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC.
∵ ∠BAD=35°，∴ ∠DAC=35°，
∴ 在Rt△DAC中，∠C=90°－∠DAC=90°－35°=55°.
3.A 解析：∵ AB=AC，∠A=36°，
∴ ∠ABC=∠C=72°．
∵ DE垂直平分AB，
∴ DA=DB，∴ ∠ABD=∠A=36°．
∴ ∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴ BD平分∠ABC，AD=BD=BC，①②正确;
△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=BC+AB，③正确.
∵ BD>CD，∴ AD>CD，故④错误．
4.B 解析：4+9+9=22（cm）.
5.B 解析：∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵ AD=AE，∴ ∠AED=∠ADE.
∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C，
∴ ∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，
即∠BAD=2∠EDC.
∵ ∠BAD=50°，∴ ∠EDC=25°，故选B．
6. D 解析：在 中，∵ ∠A=36°，AB=AC,∴ ∠ABC=∠C=72°.
∵ BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD=36°,
∴ ∠A=∠ABD,∠C=∠CDB=72°,
∴ , 都是等腰三角形，∴ BC=BD.
∵ BE=BC, ∴ BD=BE,
∴ 是等腰三角形，易得∠BED=72°.
在 中,∵∠A=36°,∴ ∠ADE=∠A =36°,
∴ 是等腰三角形.
又∵ 在 中，AB=AC,
∴ 是等腰三角形.
故共有5个等腰三角形.
7.C 解析：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABD=∠C，AB=BC.
又∵ BD=CE，∴ △ABD≌△BCE.
∴ ∠BAD=∠CBE.
∵ ∠ABE+∠EBC=60°，
∴ ∠ABE+∠BAD=60°，
∴ ∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故选C.
8.C 解析：A.不确定三角形是否为直角三角形，且c是否为斜边，故A选项错误；
B.不确定第三边是否为斜边，故B选项错误；
C.因为∠C=90°，所以其对边为斜边，故C选项正确；
D.因为∠B=90°，所以 ，故D选项错误.
9.C 解析：因为在Rt△ABC中，AC=40，BC=9，
所以由勾股定理得AB=41.
因为BN=BC=9，AM=AC=40，
所以MN=AM+BN AB=40+9 41=8.
10.B 解析：设此直角三角形为△ABC，其中∠C＝90°，BC=a，AC=b，
因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍，所以AB=4.
又因为△ABC的周长是 ，所以 .
平方得 ，即 .
由勾股定理知 ，
所以 .
二、填空题
11. 50° 65° 解析：∠C=180°－115°=65°，∠B=∠C=65°，∠A=180°－65°×2=50°.
12.108° 解析：如图，∵在△ABC中，AB=AC，∴ ∠B=∠C.
∵ AD=BD，∴ ∠B=∠C=∠1.
∵ ∠4是△ABD的外角，∴ ∠4=∠1+∠B=2∠C.
∵ AC=CD，∴ ∠2=∠4=2∠C.
在△ADC中，∵ ∠4+∠2+∠C=180°，即5∠C=180°，∴ ∠C=36°，
∴ ∠1+∠2=∠C+2∠C=3×36°=108°，即∠BAC=108°．
13.直角 解析：如图，∵ DE垂直平分AC，∴ AD=CD.
又∠C=15°，∴ ∠C=∠DAC=15°，∠ADB=∠C+∠DAC=30°.
又∵ ∠BAD=60°，∴ ∠BAD+∠ADB=90°，
∴ ∠B=90°，即△ABC是直角三角形.
14. a 解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角是120°，底角是30°.如图，在△ABC中，AC=BC，BD⊥AD，∠A=∠ABC= 30°，AB=a，则BD= .
15.22.5°或67.5° 解析：当等腰三角形为锐角三角形时，底角为67.5°；当等腰三角形为钝角三角形时，底角为22.5°.
16.4
17.50
18.6 解析：因为∠BAE=60°，所以∠AEB=30°.
所以∠AEB+∠DEC=30°+60°=90°，所以∠AED=90°.
又因为AB=CE=3，所以AE=DE=6，所以AD=6 .
三、解答题
19.解：如图所示.
20.证明：∵ AB=AC，∠BAC=120°，
∴ ∠B=∠C=30°，
∴ 在Rt△ADC中CD=2AD.
∵ ∠BAC=120°，∴ ∠BAD=120°－90°=30°，
∴ ∠B=∠BAD，∴ AD=BD，∴ BC=3AD.
21.（1）解：因为AD是∠CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，
所以CD=DE=1 cm.
因为AC=BC，所以∠CAB=∠B= .
又因为DE⊥AB，所以∠EDB=∠B= .
所以ED=EB.所以DB= （cm）.
所以AC=BC=CD+DB= cm.
（2）证明：在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，
所以△ACD≌△AED，所以AC=AE.
由（1）得CD=DE=BE，又AB=AE+EB，所以AB=AC+CD.
22. 解：(1)点D的位置如图所示(D为AB中垂线与BC的交点).
(2)∵ 在Rt△ABC中，∠B=37°，∴ ∠CAB=53°.
又∵ AD=BD，∴ ∠BAD=∠B=37°.
∴ ∠CAD=53°－37°=16°.
第22题答图
23.解：△APQ为等边三角形．证明如下：
∵ △ABC为等边三角形，∴ AB=AC．
∵ ∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，
∴ △ABP≌△ACQ（SAS）．∴ AP=AQ，∠BAP=∠CAQ．
∵ ∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°，
∴ ∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°．
∴ △APQ是等边三角形．
24. 解：因为△ABD和△CDE都是等边三角形，
所以AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.
所以∠ADB－∠CDB=∠CDE－∠CDB，即∠ADC=∠BDE.
在△ADC和△BDE中，因为AD=BD，CD=DE，∠ADC=∠BDE，
所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.
在等腰Rt△ABC中，因为AB= ，
所以AC=BC=1，故BE=1.
25.解：（1）90．
（2）①α+β=180°．
理由：因为∠BAC=∠DAE，
所以∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．
又AB=AC，AD=AE，
所以△ABD≌△ACE．所以∠B=∠ACE．
所以∠B+∠ACB =∠ACE+∠ACB，
所以∠B+∠ACB =β．
因为α+∠B+∠ACB =180°，所以α+β=180°．
②当点D在射线BC上时，α+β=180°．
当点D在射线CB上时，α=β．
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