第四章 一次函数
4.1函数
专题 函数图象
1. （2012莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（ ）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
A．①②③④B．③④②①C．①④②③D．③②④①
2. 小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图），若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1，v2，v3，v1＜v2＜v3，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s与所用时间t的函数关系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3. 早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与自行车向相反方向的两地上学与上班，如图是他们离家的路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象，妈妈骑车走了10分钟时接到小欣的电话，立即以原速度返回并前往学校，若已知小欣步行的速度为50米/分钟，并且妈妈与小欣同时到达学校．完成下列问题：
（1）在坐标轴两处的括号内填入适当的数据；
（2）求小欣早晨上学需要的时间．
1.D 【解析】 ③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；
②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．故顺序为③②④①．故选D．
2.C 【解析】 A.从图象上看小亮走平路的路程不变是不正确的；
B.从图象上看小亮走的路程有一段随时间变少了，不正确；
C.小亮走的路程应随时间的增大而增大，两次平路的两条直线互相平行，此图象符合，故正确；
D.因为平路和上坡路及下坡路的速度不一样，所以不应是一条直线．
故选C．
3.解：（1）x轴处填20，y轴处填1250；
（2）由图象可知，点A的坐标为（10，-2500），说明妈妈骑车速度为250米/分钟，
并且返回到家的时间为20分钟，
设小欣早晨上学需要的时间为x分钟，则妈妈到家后在B处追到小欣的时间为（x-20）分钟，根据题意得：50x=250（x-20），
解得x=25，
答：小欣早晨上学需要的时间为25分钟．
4.2一次函数与正比例函数
专题 一次函数探究题
1.用根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得______________.
2. 将长为38c、宽为5c的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为2c．
（1）求5张白纸黏合的长度；
（2）设x张白纸黏合后的总长为yc，写出y与x的函数关系式（标明自变量x的取值范围）；
（3）用这些白纸黏合的总长能否为362c？并说明理由．
3. 如图所示，结合表格中的数据回答问题：
梯形个数 123 4 5…
图形周长58 111417…
（1）设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与n的函数关系式；
（2）求n=11时图形的周长．
答案：
1．y= x- 【解析】 由图1可知：一个正方形有4条边，两个正方形有4+3条边，
∴=4+3（x-1）=1+3x;由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，
∴=7+5(y-1)=2+5y，所以1+3x=2+5y,即y= x- ．
2．解：（1）5张白纸黏合，需黏合4次，重叠2×4=8c．所以总长为38×5-8=182（c）.
（2）x张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠2（x-1）c，所以总长y=38x-2（x-1）=36x+2（x≥1，且x为整数）.
（3）能.当y=362时，得到36x+2=362，解得x=10,即10张白纸黏合的总长为362c．
3．解：（1）由图可以看出图形的周长=上下底的和+两腰长，∴l=3n+2.
（2）n=11时，图形周长为3×11+2=35．
4.3一次函数的图象
专题一 根据k、b确定一次函数图象
1. 如图，在同一直角坐标系内，直线l1：y=（k-2）x+k，和l2：y=kx的位置可能是（ ）
A B C D
2. 下列函数图象不可能是一次函数y=ax-（a-2）图象的是（ ）
A B C D
已知a、b、c为非零实数，且满足 ，则一次函数y=kx+（1+k）的图象一定经过第___________象限．
专题二 一次函数图象的综合应用
4.春节期间，某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开展海产品的运输业务，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示．已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/小时，100千米/小时，以下说法正确的是（ ）
运输
工具运输费
（元/吨•千米）冷藏费
（元/吨•小时）过路费
（元）装卸及管理费
（元）
汽车252000
火车1.8501600
A．当运输货物重量为60吨，选择汽车
B．当运输货物重量大于50吨，选择汽车
C．当运输货物重量小于50吨，选择火车
D．当运输货物重量大于50吨，选择火车
5. (2012四川绵阳) 某种子商店销售”黄金一号”玉米种子,为惠民促销,推出两种销售方案供采购者选择.
方案一:每千克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二:购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元,若一次性购买超过3千克的,则超过3千克的部分的种子价格打7折.
(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量 (千克)和付款金额 (元)之间的函数关系式;
(2)若你去购买一定量的种子,你会怎样选择方案？说明理由.
6.（2012新疆）库尔勒某乡A 、B两村盛产香梨,A村有香梨200吨, B村有香梨300吨,现将这批香梨运到C 、D两个冷藏仓库,已知C仓库可储存240吨, D仓库可储存260吨;从A村运往C 、D两处的费用分别为每吨40元和45元,从B村运往C 、D两处的费用分别为每吨25元和32元.
设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A 、B两村运往两仓库的香梨运输费用分别为yA和yB元.
(1)请填写下表,并求出yA、yB与x之间的函数关系式;
收地
运地CD总计
Ax吨200吨
B300吨
总计240吨260吨500吨
(2)当x为何值时,A村的运费较少?
(3)请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出最小值.
答案：
1．B 【解析】 由题意知，分三种情况：
（1）当k＞2时，y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、三象限，y=kx的图象y随x的
增大而增大，并且l2比l1倾斜程度大，故C选项错误；
（2）当0＜k＜2时，y=（k-2）x+k的图象经过第一、二、四象限，y=kx的图象y随x的增大而增大，B选项正确；
（3）当k＜0时，y=（k-2）x+k的图象经过第二、三、四象限，y=kx的图象y随x的增大而减小，但l1比l2倾斜程度大，故A、D选项错误．故选B．
2．B 【解析】 根据图象知：
A.a＞0，-（a-2）＞0．解得0＜a＜2，所以有可能；
B.a＜0，-（a-2）＜0．两不等式的解没有公共部分，所以不可能；
C.a＜0，-（a-2）＞0．解得a＜0，所以有可能；
D.a＞0，-（a-2）＜0．解得a＞2，所以有可能．
故选B．
3．二 【 解析】 由 ，化简得 .
分两种情况讨论：
当a+b+c≠0时，得k=2，此时直线是y=2x+3，过第一、二、三象限；
当a+b+c=0时，即a+b=-c，则k=-1，此时直线是y=-x，过第二、四象限．
综上所述，该直线必经过第二象限．
4.D 【解析】 设运输x吨货物，根据题意，
汽车运费：y=2x×120+5x× +200=250x+200，
火车运费：y=1.8x×120+5x× +1600=222x+1600，
①250x+200=222x+1600，解得x=50，∴运输货物为50吨时，选择汽车与火车一样；
②250x+200＜222x+1600，解得x＜50，∴运输货物小于50吨时，选择汽车运输；
③250x+200＞222x+1600，解得x＞50，∴运输货物大于50吨时，选择火车运输．
综上所述，D选项符合．故选D．
5．解：(1)方案一：y=4x；
方案二：当0≤x≤3时，y=5x ；当x>3时，y=3×5+(x-3)×5×70%=3.5x+4.5.
(2)设购买x千克的种子时，两种方案所付金额一样，则4x=3.5x+4.5，解这个方程得x=9，
∴当购买9千克种子时，两种方案所付金额相同；当购买种子0＜x＜3时，方案一所付金额少，选择方案一；
当购买种子3≤x＜9时，方案一所付金额少，选择方案一；
当购买种子质量超过9千克时，方案二所付金额少，应选择方案二.
6．解：(1)填写表格如下：
收地
运地CD总计
Ax吨(200-x)吨200吨
B(240-x)吨(60+x)吨300吨
总计240吨260吨500吨
由题意得yA=40x+45(200-x)=-5x+9000 (0≤x≤200),
yB=25(240-x)+32(60+x)=7x+7920 (0≤x≤200),
(2)若yA<yB， 则-5x+9000<7x+7920，x>90.
∴当90<x≤200时, yA<yB,即A村的运费较少.
(3)设两村运费之和为y，则y=yA+yB，
∴y=-5x+9000+7x+7920，即y=2x+16920.
又∵0≤x≤200时,y随x的增大而增大.
∴当x=0时,y有最小值,y最小值=16920(元).
因此,由A村调往C仓库的香梨为0吨,调往D仓库为200吨,B村调往C仓库为240吨,调往D仓库60吨时,两村的运费之和最小,最小费用为16920元.
4.4确定一次函数的表达式
专题 利用数形求一次函数的表达式
1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，斜边AB在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0）．则直角边BC所在直线的表达式为____________.
2. 如图，已知一条直线经过A（0，4）、点B（2，0），将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC．求直线CD的函数表达式．
3. 平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P在直线y=-x+上，且AP=OP=4．求的值．
答案：
1.y= x+4 【解析】 点A的坐标为（2，0），则OA=2，又AC= ，OC AO，所以OC=4，即C（0,4）.在△ABC中，∠ACB=90°，AC= ，OC⊥AB与O，则AB=10，则OB=8，
因而B的坐标是（-8，0），直线BC的表达式是y= x+4．
2．解：设直线AB的表达式为y=kx+b，把A（0，4）、点B（2，0）代入得k=-2，b=4，故直线AB的表达式为y=-2x+4.
将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC时，因为平移后的图形与原图形平行，故平移以后的函数表达式为：y=-2x-4．
3．解：由已知AP=OP，点P在线段OA的垂直平分线P上,为垂足．
∵A(4,0),∴OA=AP=OP=4，
∴△AOP是等边三角形．
如图，当点P在第一象限时，O=2，OP=4．
在Rt△OP中，P= ，
∴P（2， ）．
∵点P在y=-x+上，
∴=2+ ．
当点P在第四象限时，根据对称性，得P′（2，? ）．
∵点P′在y=-x+上，
∴=2? ．
则的值为2+ 或2- ．
4.5一次函数图象的应用
专题 一次函数图象的应用
1. （2012湖北武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起
点、同终点、同方向匀速跑步500米，
先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.
在跑步过程中，甲、乙两人的距离（米）
与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，
给出 以下结论：
①a=8;②b=92;③c=123,其中正确的是（ ）
A．①②③ B. 仅有①②
C.仅有①③ D. 仅有②③
2. 如图，点A的坐标为（4，0），点P在第一象限且在直线x+y=6上．
（1）设点P坐标为（x，y），写出△OPA的面积S与x之间的关系式（其中P点横坐标在O与A点之间变化）；
（2）当S=10时，求点P坐标；
（3）若△OPA是以OA为底边的等腰三角形，你能
求出P 的坐标吗？若能，请求出坐标；若不能，
请说明理由．
3. 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中放有一圆柱形铁块（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示.根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是 ；
（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）.
答案：
1.A 【解析】 ∵乙出发时甲行了2秒，相距8，∴甲的速度为8÷2＝4/s.∵100秒后乙开始休息,∴乙的速度是500÷100＝5/ s,∵a秒后甲乙相遇，∴a＝8÷(5－4)＝8, 即①正确;100秒后乙到达终点，甲走了，4×(100＋2)＝408米∴b＝500－408＝92米 即②正确
甲走到终点一共需耗时500÷4＝125(秒), ∴c＝125－2＝123, 即③正确.故选A.
2.解：（1） ．
（2）P点坐标为（1，5）．
（3）P点坐标为（2，4）．
3.解：（1）乙 甲 铁块的高度
（2）设线段AB、DE的解析式分别为：y1=k1x+b，y2=k2x+b，
∵AB经过点（0，2，）和（4，14），DC经过（0，12）和（6，0）,分别代入得b=12，k=-2，∴解析式为y=3x+2和y=?2x+12，
令3x+2=?2x+12，解得x=2，
∴当注水2分钟时两个水槽中的水的深度相同．
（3）由图象知：当水面没有没过铁块时4分钟水面上升了12c，即1分钟上升3c，
当水面没过铁块时，2分钟上升了5c，即1分钟上升2.5c，
设铁块的底面积为xc ，则3×（36?x）=2.5×36，解得x=6，
∴铁块的体积为：6×14=84(c3) ．
（4）60c2．
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