2018-2019学年山东省聊城市临清市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下面四个图形分别是北大、清华、复旦和浙大4所大学的校标LOGO，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．3
3．（3分）在代数式 ，1+ ，?3x， ， 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如图，已知AB，CD交于点O，AO=CO，BO=DO，则在以下结论中：
①AD=BC；②AD∥BC；③∠A=∠C；④∠B=∠D；⑤∠A=∠B．
正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠BAC的度数是
（ ）
A．90° B．100° C．105° D．120°
6．（3分）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）若分式 中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．扩大4倍
9．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（ ）
A．48 B．50 C．54 D．60
11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC=60°
③∠BAD=∠B
④点D到直线AB的距离等于CD的长度．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）如图，△ABD≌△ACE，AD =8cm，AB=3cm，则BE= cm．
14．（3分）化简： 的结果是 ．
15．（3分）如图，E的矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点．若∠AEB=55°，求∠DAF= °．
16．（3分）等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 ．
17．（3分）如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=80°，则∠AOB= ．
三、解答题（本大题共8小题，共69分）
18．（12分）计算：
（1） •
（2） ÷
（3） ?
（4）（ + ）÷ ．
19．（6分）某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在D、E两处参加劳动，另外两个班的同学在道路AB、AC两处劳动（如图），现要在道路AB、AC的交叉区域内设置一个茶水供应点P，使P到AB、AC的距离相等，且使PD=PE，请你找出点P的位置．
20．（6分）先化简：（a? ）÷ ，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
21．（7分）如图，已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE，∠1=42°，求∠3的度数．
22．（8分）如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．
（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
23．（8分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
24．（10分）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
25．（12分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．
（1）如图①，若点E，F分别在边AB，AC上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，观察，猜想△DEF是否为等腰直角三角形，并证明你的猜想．
（2）如图②，若点E，F分别在边AB，CA的延长线上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，那么（1）中所得到的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明你的理由．
2018-2019学年山东省聊城市临清市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）下面四个图形分别是北大、清华、复旦和浙大4所大学的校标LOGO，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，本选项正确；
B、不是轴对称图形，本选项错误；
C、不是轴对称图形，本选项错误；
D、不是轴对称图形，本选 项错误．
故选A．
2．（3分）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，A B=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，则CD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4.5 D．3
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠A=∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（ASA），
∴AC=ED=6，
∴AD=AE?ED=10?6=4，
∴CD=AC?AD=6?4=2．
故选A．
3．（3分）在代数式 ，1+ ，?3x， ， 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在下列代数式中式 ，1+ ，?3x， ， ，
分式有，1+ ， ，共有2个．
故选B．
4．（3分）如图，已知AB，CD交于点O，AO=CO，BO=DO，则在以下结论中：
①AD=BC；②AD∥BC；③∠A=∠C；④∠B=∠D；⑤∠A=∠B．
正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：在△AOD和△COB中
，
∴△AOD≌△COB（SAS），
∴∠A=∠C，∠B=∠D，AD=CB，故①，③，④正确，
∴正确的有3个．
故选B
5．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠BAC的度数是
（ ）
A．90° B．100° C．105° D．120°
【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠A=∠BED=∠CED，∠ABD=∠EBD=∠C，
∵∠BED+∠CED=180°，
∴∠A=∠BED=∠CED=90°．
故选：A．
6．（ 3分）当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、x2+1≠0，因此此分式当x为任意实数时一定有意义，故此选项正确；
B、当x=? 时，分母等于零，分式无意义，故此选项错误；
C、当x=?1时，分母等于零，分式无意义，故此选项错误；
D、当x=0时，分母等于零，分式无意义，故此选项错误；
故选：A．
7．（3分）把一张长方形纸片按如图①、图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：重新展开后得到的图形是C，
故选C．
8．（3分）若分式 中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．扩大4倍
【解答】解：∵ =2× ，
∴分式 中的x，y都扩大2倍，则分式的值扩大2倍，
故选A．
9．（3分）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、分式的分子和分母同时乘以一个不为0的数时，分式的值不变，即 ，故A选项错误；
B、 不能再进行约分， ，故B选项错误；
C、只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分， ，故C选项错误；
D、 ，故D选项正确，
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（ ）
A．48 B．50 C．54 D．60
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
∴△ABC的面积为： ×AC×DC+ ×AB×DE=54，
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC=60°
③∠BAD=∠B
④点D到直线AB的距离等于CD的长度．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC=30°，
∴∠ADC=90°?∠CAD=60°，所以②正确；
∠BAD=∠B，所以③正确；
∵AD为角平分线，
∴点D到AC的距离等于点D到AB的距离，
而点D到直线AC的距离等于CD的长度，
∴点D到直线AB的距离等于CD的长度，所以④正确．
故选D．
12．（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，等腰△ABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
【解答】解：如图：
符合条件的点C一共有10个．
故选C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）如图，△ABD≌△ACE，AD=8cm，AB=3cm，则BE= 5 cm．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AC=AB，
又AD=8cm，AB=3cm，
∵BE=AE?AB=8?3=5，
∴BE=5cm．
故填5．
14．（3分）化简： 的结果是 m+3 ．
【解答】解：
=
=
=
=m+3．
故答案为：m+3．
15．（3分）如图，E的矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点．若∠AEB=55°，求∠DAF= 20 °．
【解答】解：∵△ABE沿AE折叠到△AEF，
∴∠BAE=∠FAE，
∵∠AEB=55°，∠ABE=90°，
∴∠BAE=90°?55°=35°，
∴∠DAF=∠BAD?∠BAE?∠FAE=90°?35°?35°=20°．
故答案为：20
16．（3分）等腰三角形的一个内角50°，则这个三角形的底角是 50°或65° ．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°．
故答案是：50°或65°．
17．（3分）如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=80°，则∠AOB= 50° ．
【解答】解：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，∠MPN=80°
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，
同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M，
∴∠P1OP2=180°?80°=100°，
∴∠AOB=50°，
故答案为：50°
三、解答题（本大题共8小 题，共69分）
18．（12分）计算：
（1） •
（2） ÷
（3） ?
（4）（ + ）÷ ．
【解答】解：（1） •
=
= ；
（2） ÷
=
=
= ；
（3） ?
=
=
=
=1；
（4）（ + ）÷
=
=（m?1）2+2m
=m2?2m+1+2m
=m2+1．
19．（6分）某中学八年级的同学参加义务劳动，其中有两个班的同学在D、E两处参加劳动，另外两个班的同学在道路AB、AC两处劳动（如图），现要在道路AB、AC的交叉区域内设置一个茶水供应点P，使P到AB、AC的距离相等，且使PD=PE，请你找出点P的位置．
【解答】解：连接DE，作DE的中垂线；作∠BAC的角平分线交DE的中垂线于点P；如图
20．（6分）先化简：（a? ）÷ ，然后给a选择一个你喜欢的数代入求值．
【解答】解：原式= • =? • =?（a?1）=1?a，
当a=2时，原式=?1．
21．（7分）如图，已知：AB=AD，BC=DE，AC=AE，∠1=42°，求∠3的度数．
【解答】解：∵在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE，（SSS）
∴∠ADE=∠B，
∵∠1+∠B+∠ADB=180°
∠3+∠ADE+∠ADB=180°
∴∠3=∠1=42°．
22．（8分）如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．
（1）若∠A=40°，求∠BCD的度数；
（2）若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵AB=AC
∴∠B=∠ACB= （180°?∠A）=70°，
∵MN垂直平分线AC
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴∠BCD=∠ACB?∠ACD=70°?40°=30°；
（2）∵MN是AC的垂直平分线
∴AD=DC，AC=2AE=10，
∴AB=AC=10，
∵△BCD的周长=BC+CD+BD=AB+BC=17，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=17+10=27．
23．（8分）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【解答】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
24．（10分）已知：如图，∠B=∠C=90°， M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
【解答】（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD，
∴MC=ME，
∵M为BC的中点，
∴BM=MC=ME，
∵∠B=90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明如下：
∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD= ∠BAD，∠MDA= ∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AM⊥DM．
25．（12分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．
（1）如图①，若点E，F分别在边AB，AC上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，观察，猜想△DEF是否为等腰直角三角形，并证明你的猜想．
（2）如图②， 若点E，F分别在边AB，CA的延长线上，且AE=CF，连接DE，DF，EF，那么（1）中所得到的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明你的理由．
【解答】解：（1）△DEF为等腰直角三角形．
证明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是斜边BC的中点，
∴AD是BC边上的中线．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×90°=45°，
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=∠C
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；
（2）成立．
证明如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵点D是斜边BC的中点，
∴AD是BC边上的中线．
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×90°=45°，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD=∠C，
∴DA=DC，
在△ADE和△CDF中
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADB=90°
∴△DEF为等腰直角三角形．
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