一、选择题
1.(2011四川),,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ).
A.⊥,⊥?∥ B.⊥,∥?⊥
C.∥∥?,,共面 D.,,共点?,,共面
考查目的:考查空间中直线与直线的位置关系及有关性质.
答案:B.
解析:在空间中,垂直于同一直线的两条直线有可能相交或异面,故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.
2.若三个平面两两相交,有三条交线,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成( ).
A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分
考查目的:考查空间平面的位置关系和空间想象能力.
答案:C.
解析:如图所示,三个平面,,两两相交,交线分别是,,,且∥∥.观察图形,可得,,把空间分成7部分.
3.(2010重庆文)到两条互相垂直的异面直线的距离相等的点( ).
A.只有1个 B.恰有3个 C.恰有4个 D.有无穷多个
考查目的:考查异面直线的概念、性质和空间想象能力 高二.
答案:D.
解析:可以将异面直线放在正方体中研究,显然,线段、EF、FG、GH、HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等,所以排除A、B、C,选D.也可以在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等.
二、填空题
4.(2010江西改编)过正方体的顶点A作直线,使与棱AB,AD,所成的角都相等,这样的直线可以作_______.
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
考查目的:考查空间直线所成的角概念与求法.
答案:8.
解析:如图,连结体对角线,显然与棱AB、AD,所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线,如连结,则与棱BC、BA、所成的角都相等,∵∥,BC∥AD,∴体对角线与棱AB、AD、所成的角都相等,同理,体对角线、也与棱AB、AD、所成的角都相等,过A点分别作、、的平行线都满足题意,故这样的直线可以作4条.
5.正方体中,P、Q、R分别是AB、AD、的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是 .
考查目的:考查空间几何的公理3,判断空间点线的共面关系.
答案:六边形.
解析:如图,作RG∥PQ交于G,连接QP并延长与CB交于M,连接MR交于E,连接PE、RE为截面的部分外形.同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交于F,连接QF,FG,∴截面为六边形PQFGRE.
6.(2012安徽文)若四面体的三组对棱分别相等,即,,,则____________(写出所有正确结论编号).
①四面体每组对棱相互垂直
②四面体每个面的面积相等
③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于
④连接四面体每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长
考查目的:考查空间直线与直线的位置关系.
答案:②④⑤.
解析:①连接四面体每组对棱中点构成菱形;②四面体每个面是全等三角形,面积相等; ③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于; ④连接四面体每组对棱中点构成菱形,菱形对角线垂直平分;⑤连结四面体棱的中点可得,该三角形三边分别等于长度的一半.
三、解答题
7.正方体中,E、F分别是AB和的中点.求证:
⑴E,C,,F四点共面;
⑵CE,,DA三线共点.
考查目的:考查空间几何公理,会证明共线、共面问题.
解析:⑴如图,连接EF,,.∵E、F分别是AB、的中点,∴EF∥.又∵∥,∴EF∥,∴E、C、、F四点共面.
⑵∵EF∥,EF<,∴CE与必相交.设交点为P,则由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面.又∵平面ABCD∩平面=DA,∴P∈直线DA,∴CE、、DA三线共点.
8.A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
⑴求证:直线EF与BD是异面直线;
⑵若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
考查目的:考查异面直线的判定,求异面直线所成角的基本方法.
答案:⑴略;⑵.
解析:⑴假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾,故直线EF与BD是异面直线. ⑵如图,设G为CD的中点,连接EG、FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的,即等于异面直线EF与BD所成的角.同理即为异面直线AC和BD所成的角,又∵AC⊥BD,∴为直角,在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=,即异面直线EF与BD所成的角为.
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