高中函数值域的12种求法

　　一．观察法

　　通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

　　例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。

　　点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。

　　解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，

　　故3+√(2－3x)≥3。

　　∴函数的知域为.

　　点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。

　　本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。

　　练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）

　　二．反函数法

　　当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

　　例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。

　　点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

　　解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y?y≠1,y∈R｝。

　　点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

　　练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y?y<－1或y>1｝）

　　三．配方法

　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域

　　例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。

　　点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

　　解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]

　　点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。

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