向量进入高中教材以后,为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,融数形于一体.但是它和以往学习的数学运算有很大的不同,致使很多学生感到困难,老师一直强调向量和数量的区别是既有大小又有方向,可是很多学生产生了这样的疑问:这个既有大小又有方向的向量不能存在除法吗?为什么课本里只出现了乘法?对于这个问题很多老师的回答是就这样规定的或者这个问题等你们以后上了大学才会研究,现在不需要知道.这样的回答显然不能使学生满意,下面就说说这个问题.
一、数学中如何理解除法
除法的定义:已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算.除法是乘法的逆运算,如果存在乘法的逆运算,那么除法就存在.
逆运算的定义:运算是一种对应法则.设A是一个非空集合,对于A中的任意两个元素a,b,根据某种法则使A中有唯一确定的元素c与它们对应,就说这个法则是A中的一种运算.这样,给了A的任意两个元素a和b,通过所给的运算,可以得到一个结果c.反过来,如果已知元素c,以及元素a,b中的一个,按照某种法则,可以得到另一个元素,这样的法则也定义了一种运算,这样的运算叫做原来运算的逆运算.逆运算的过程也就是求解逆元的过程.
设G是一数域,对于乘法运算“·”有
证:设方程的解为x=a',y=a″,即有aa'=1和a″a=1.
因为a'=1·a'=(a″a)a'=a″(aa')=a″·1=a″,所以aa'=a′a=1即a在G中的逆元是唯一确定的.
二、分析向量乘法的逆运算
这里可以采用“假设”的方法.假设的方法,就是在不知道某判断是否正确的时候,先认为它是正确的,以此为前提(条件)进行推理,看一看推理的结果是否正确,如果正确.说明这个判断是真的,如果推理的结论不正确,说明这个判断是假的[2].那么现在假设向量存在除法,下面从向量数量积和向量积的逆运算分别展开证明,可以得出向量的除法是否存在
1.向量的乘法
数量积的定义:两个非零向量的夹角记为〈a,b〉,且〈a,b〉∈[0,π].两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a·b.若a,b不共线,则a·b=|a||b|cos〈a,b〉;若a,b共线,则a·b=±|a||b|.
向量积的定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a,b不共线,则a×b的模是:|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0[3].
2.数量积的逆运算
假设数量积存在除法,设向量a,x的乘积为m,则=x,因为除法是乘法的逆运算,所以a·x=m,由定义可得:两个向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在此向量上的射影,那么如果把a固定不变,改变x的方向和大小,发现有无数个向量的射影等于原来x在a上的射影,即乘积不变.那么向量x的解是无穷多的,即向量的商不是唯一确定的.
这个结论可以从直观上去观察.如图1:
举例证明:
取两个互相垂直的向量a和b,即a和b的夹角为90°,则a·b=0;再取一个向量c,根据向量与实数的乘积仍然是个向量,可以让c=(d+λb);则a·c=a(d+λb)=a·d+a·λb,因为a·b=0,所以a·c=a(d+λb)=a·d+0=a·d,即=c,又因为λ可以取任意值,那么向量c就不能唯一确定,即向量的商为一个不确定的向量.
3.向量积的逆运算
同理,假设向量积存在除法,因为向量积的结果是一个向量,所以设a,x的乘积为m,则=x,根据逆运算可得a·x=m.由定义可知:向量积的模可以看作平行四边形的面积,假定a是不变的,那么变化x的长度和方向,也可以得到相同面积的平行四边形,显然这样的x是无穷多的,同样可以得到向量的商不是唯一确定的结论.
这个结论也可以从直观上去观察,如图2:
举例证明:
这里我们取两个互相平行的向量a和b,即a和b的夹角为0°,则a×b=0;同理,再取一个向量c,让c=(d+λb);则a×c=a×(d+λb)=a×d+a×λb,因为a×b=0,所以a×c=a×(d+λb)=a×d+0=a×d,即=c,已知λ可以取任意值,那么向量c依然不是唯一确定的.
综上所述,运用乘法的逆运算进行计算所得到的结果均是不确定的,因此向量的除法是不存在的.有人又产生了这样的疑问,不确定的结果为什么就不能作为商呢?下面从数学推理和函数的角度来说明这个问题.
三、数学的确定性
1.数学推理的确定性
正确的推理加上正确的前提条件可以使人们做出正确的判断,得到正确的结论.数学推理往往从一些不证自明的定理出发推出其他定理的正确性,这表明演绎推理的前提条件是确定的,那么由此推导出的结论必然具有确定性[4].
数学家S.T.Sanders的研究表明:目前普遍认可的数学特征是:推理的确定性和结论的一致性.很显然,只有存在数学的确定性,才意味着根据此结论推导出来的其他结论也是确定的.他认为,在推理过程中只要具备以下几个条件就可以说明推理的过程和结论具有确定性.
(1)每一个被应用的元素(数、量或者运算),有且只有一个确定的值;
(2)这些符号所代表的值是被普遍接受的;
(3)每一个运算符号都有唯一确定的意义;
(4)这些运算符号的意义也被普遍接受;
(5)模糊的或者不确定的元素不能出现在推理过程中.
如果忽视这些因素或者不承认这些因素,那么整个推理过程就不存在确定性.从古至今演绎推理(也称三段论法)是人们进行逻辑推理的基础,在演绎推理过程中出现丝毫的不确定,数学家们都将致力修正.现在用三段论法进行推理,检验向量的除法能否存在.
三段论的推理模式为:
(1)大前提
(2)小前提
(3)结论
人们都认可的一个大前提是:如果两个除法算式的被除数和除数都相等,那么算式的商也相等.
对于向量的除法小前提可以分为两种情况,第一种:被除数为实数,第二种:被除数为向量.
在这个推理过程中,由同一个假设得到了两个结论,违背了运算结果的唯一性原则,导致数学推理的不确定性,因此向量除法是不能存在的.
2.函数的确定性
从函数的角度也可以说明这个问题,先看一下函数的定义:
函数的传统定义:在某一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于在某一个范围内的任一个x的值,都有唯一的y值与它对应,则称y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量.
近代定义:给定两个集合A和B,若对于A中的每一个元素x,按照某一对应关系f,在B中都有唯一确定的一个元素y与之对应,则称f为集合A上的一个函数,记作f:A→B.集合A为函数的定义域,与A中元素对应的B中元素y构成的集合成为函数的值域.
函数的两个定义本质上是一致的,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是在从集合的观点出发,其实质都是从非空集合A到非空集合B的一个特殊的对应.对于非空集合A中每一个确定的值,非空集合B中都有唯一确定的值与之对应.自变量和因变量只能是一对一的关系或者多对一的关系,不可能是一对多的关系,这是因为函数的概念是从运动的研究中产生的,每个时刻只能对应一种运动状态,不可能对应多种状态,所以函数具有唯一确定性.
这里可把除法运算看作一个函数,若m÷a=x,把商看作函数值,那么商是由被除数和除数这两个自变量所唯一确定的,由两个数确定一个数,是二元函数.只要被除数和除数发生改变,那么会对应得到另一个唯一确定的商.如果把被除数和除数中的一个固定了,那么可以把除法的运算看作一元函数,商就被另一个数所确定.可是在这两种情况下,向量的除法均得不到唯一确定的函数值,违背了函数的唯一确定性.
综上所述,从数学推理的确定性和函数确定性两方面考虑,向量的除法是不可能存在的.确定性在数学运算中是必不可少的,它是数学得以长足发展的动因和永恒的标志.在现实当中,对数学结果的应用就是对数学确定性的一种表示。
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