数学概念是进行运算、判断、推理、证明的基础,形成准确、清晰的概念是正确思维的前提。学生对数学概念的掌握程度直接影响其学习效果。因此,数学概念教学是数学教学的重要组成部分。

　　数学概念分为原始概念和定义概念。原始概念往往是直接从客观事物的空间形式和数量关系抽象而来的,比较直观具体。在教学中,教师若能很好地利用直观教具,使学生通过观察而明确概念所反映的对象、特性,以及概念所适用的范围,则能收到较好的效果。定义概念,虽然是对客观事物的空间形式和数量关系的反映,但其产生和发展经历了抽象和概括的过程,具有其本身的复杂性和抽象性。因此,在进行定义概念教学时,教师有针对性地引导和帮助学生逐个角度、逐个层面地认识概念反映的对象,是很有必要的。

　　1.明确概念的研究对象

　　对概念要做到能够正确理解,明确概念的研究对象是第一要义。教师在进行概念教学,特别是在初步建立新概念时,必须首先明确指出概念的研究对象是什么,同时可采用类比、反例等手段对概念的研究对象进行个性凸显。例如,对“平行线”之一概念的教学,教师在引导学生通过观察得出平行线是“同一平面内的两条不相交的直线”时,要强调平行线概念的研究对象是同一平面内的两条直线,它不是射线、线段,更不是曲线。学生对于研究对象的明确,意味着对新概念已初步地接受,有了初步的认知。

　　2.明确概念成立的条件

　　要正确理解概念,明确概念成立的条件同样是很重要的环节。有些概念的表述很相似,但随着其限制条件的不同,概念的内涵可能完全不同。比如,“在同一平面内的两条不相交的直线是平行线”,这一关于平行线的概念,如果忽视了其前提条件“在同一平面内”,“平行线”之一概念就不一定成立。因为在空间中确实存在着不相交但也确实不平行的直线??异面直线;再如“圆”之一概念的表述为“在同一平面内,到一定点的距离等于定长的点的集合”,如果没有“在同一平面内”这一前提作保障,“圆”的概念同样不能成立,因为在空间中到定点的距离等于定长的点的集合可能是球面。像这样的条件性较强的概念在中学数学中是很多的,教师要用类比的方法,使学生对概念成立的条件有明确的认识和全面的理解。

　　3.揭示概念的内涵

　　概念的内涵是概念的反映对象在一定条件下所具备的本质属性,是此概念区别于其他概念的根本标志。一个定义概念,其研究对象及相应条件的确定,即意味着概念内涵的确定。因此,概念教学的主要任务之一即是要凸显概念的内涵本质和本质特征,同时要帮助学生排除误解因素对本质理解的干扰。

　　由于在教学中,给概念下定义常用“种概念加类差”的方式,因此概念教学时要重点讲解定义中种概念和类差,使学生认识到被定义概念既拥有它的种概念的一切属性,又有自己所独有的特性即类差。例如,“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一定义中,“四边形”就是平行四边形所具有的最邻近的种概念,类差是“两组对边平行”。应强调指出平行四边形首先是四边形,具有四边形的一切属性,如内角和为360°,具有不稳定性等,同时还应强调平行四边形是特殊的四边形,特殊在“有两组对边分别平行”。

　　有些概念的种概念和类差不够明确,教学时通常还要从侧面对这些概念的内涵进行阐述。比如“互为余角”概念的教学,必须强调两点:其一,必须是两个角,单独一个90°角或和为90°的三个角及三个以上角,都不能说互为余角;其二,两个角之和必须为90°。这两点即是“互为余角”这一概念的本质所在。另外,教学实践表明,很有必要向学生说明两个角是否互余与角所处的位置无关,比如南极有一个角为30°,北极有一个角为60°,但这两个角仍然互为余角。

　　4.在应用中加深对概念的理解

　　无疑,学习概念是为了应用。学生对初学概念即使能弄清其基本含义,也未必能运用概念进行运算、证明。同时,应用是对概念的加深理解最有效的方式和途径,具体应用过程可使概念的对象属格化、抽象的条件具体化、深刻的定义浅显化。所以,必须配以典型的例题,引导学生掌握概念的适用范围和方法,从而加深学生对概念的理解。仍以“互为余角”概念为例,配以如下例题,要求学生自己先行解答。

　　例:如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,则图中互余的角共有(?摇?摇)对。

　　A.6B.7C.8D.9

　　结果多数学生选C。我们对此题作如下分析:在解决直角三角形中的互余问题时,要考虑三种情况:①直角三角形中的直角被分成两部分的两个角互余:∠1与∠2,∠3与∠4;②同一直角三角形中的两个锐角互余:∠2与∠B,∠1与∠3,∠4与∠A,∠A与∠B,∠1与∠A;③等量代换得到的互余角:∠2=∠3,故∠3+∠B=90°,∠2+∠4=90°,即∠3与∠B、∠2与∠4也是互余角,所以共有9对互余角,正确答案为D。该题中学生出错的主要原因是不自觉中对“互为余角”强调了位置关系。通过以上分析,学生可以更全面、深刻地理解“互为余角”这一概念。

　　5.梳理概念之间的关系,形成概念体系

　　在中学数学教学过程中,数学概念是分散的、渐进的,有些概念的理解不是一次能完成的。因此,教师应该有计划地进行单元总结或阶段归纳。比如绝对值、算数平方根、完全平方数,这是中学数学不同阶段的三个表述完全不同的概念,但它们之间有一个共同点,都是非负数,即|a|≥0,≥0,a2≥0.在这个意义上可把它们划归为一类,可以利用这一类的非负性解决很多相关的数学问题。

　　对所学概念进行经常性的比较和梳理,可使概念知识条理化、系统化,渐次构成一个完整的概念体系,只有这样,才能使学生对所学概念理解得更深刻,也才能使学生对所学概念运用得得心应手。

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