初中数学重要知识点之等比数列

　　【—等比数列】等比数列知识：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。

　　等比数列

　　等比中项

　　如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

　　有关系：G^2=ab;G=±(ab)^(1/2)

　　注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

　　通项公式

　　an=a1q^(n-1) (其中首项是a1 ，公比是q)

　　an=Sn-S(n-1) (n≥2)

　　前n项和

　　当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为

　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)

　　当q=1时，等比数列的前n项和的公式为

　　Sn=na1

　　前n项和与通项的关系：

　　a={a1=s1(n=1)

　　sn-sn-1(n≥2)

　　性质

　　(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

　　(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

　　(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。

　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

　　(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

　　(6)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)

　　(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

　　注意：上述公式中a^n表示A的n次方。

　　知识拓展：日常生活中，银行有一种支付利息的方式---复利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。

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